楊田田 魏新玉 魏佳

◆摘要：采用鮑建生的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，分別從探究、背景、運(yùn)算、推理以及知識(shí)含量等五個(gè)方面對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題進(jìn)行分析。由此得出增加探究習(xí)題，激發(fā)求知欲望;巧用背景素材，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值;挖掘習(xí)題深度，培養(yǎng)推理能力;理解方程本質(zhì)，強(qiáng)化思維能力;側(cè)重知識(shí)綜合，深化建模思想。

◆關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);教科書(shū);式與方程;習(xí)題難度

改革開(kāi)放初期，教育部頒布的《全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》中首次加入了“簡(jiǎn)易方程”，這是小學(xué)數(shù)學(xué)引進(jìn)代數(shù)知識(shí)的標(biāo)志性?xún)?nèi)容。距離新一輪基礎(chǔ)教育課程改革發(fā)布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》已有三十多年，在此期間，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)已逐漸演變成了具有自身特色，比較獨(dú)立和完善的教材體系?！笆脚c方程”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占據(jù)著至關(guān)重要的位置，它是學(xué)生從算數(shù)學(xué)習(xí)到代數(shù)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變，從對(duì)“數(shù)量”的理解到對(duì)“關(guān)系”的探討，是中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。因此本研究以2012年教科書(shū)為例，將人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題進(jìn)行難度分析。

一：研究設(shè)計(jì)

本研究采用鮑建生數(shù)學(xué)題難度模型，將2012年人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中的“式與方程”習(xí)題分別從探究、背景、運(yùn)算、推理以及知識(shí)含量等五個(gè)難度因素進(jìn)行量化，分析其難度特點(diǎn)。

（一）研究對(duì)象

以2012年人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)為研究對(duì)象，以“式與方程”為主題。“式與方程”主要包括用字母表示數(shù)、簡(jiǎn)易方程和列方程解應(yīng)用題等內(nèi)容。（其內(nèi)容安排與習(xí)題分布的具體情況如表1所示）

此外，在學(xué)習(xí)完“式與方程”后出現(xiàn)的含有未知數(shù)或明確標(biāo)明用方程解的習(xí)題也均作為本文的研究對(duì)象。

（二）研究難度模型

本研究將采用鮑建生的數(shù)學(xué)題綜合難度模型，此模型由五個(gè)難度要素組成，分別是探究、背景、運(yùn)算、推理以及知識(shí)含量，每個(gè)難度要素劃分為3-4個(gè)不同的水平，將不同的水平由低到高依次賦值1，2，3，…，將其作為權(quán)重，如“探究”因素分為“識(shí)記”、“理解”和“探究”三個(gè)水平，它們則分別賦值1，2，3。（如表2所示）

通過(guò)此模型，根據(jù)以下公式計(jì)算每一組題目在每個(gè)因素上的加權(quán)平均值。

其中di依次表示探究、背景、運(yùn)算、推理、知識(shí)含量等五個(gè)因素上的取值，dij為第i難度因素的第j個(gè)水平的權(quán)重（依次取1，2，3，4，5），nij則表示這組題目中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)水平的題目個(gè)數(shù)，其總和等于該組題目的總n。

二、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”難度分析

（一）探究水平的分析

探究水平分為“識(shí)記、理解、探究”三個(gè)水平，依次賦值“1、2、3”。（其具體界定標(biāo)準(zhǔn)如表3所示）

將2012年小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題分別在“探究”因素的三個(gè)水平上進(jìn)行了數(shù)量統(tǒng)計(jì)。（其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示）

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以看出，“識(shí)記”水平和“理解”水平的習(xí)題分別占所有習(xí)題的41.3%和46.8%，二者百分比差異不大，僅差五個(gè)百分點(diǎn)。而“探究”水平的習(xí)題則相對(duì)較少，僅占全部習(xí)題的11.9%?！白R(shí)記”水平的習(xí)題主要是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，難度較低。“理解”水平和“探究”水平的習(xí)題考查的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用情況，它們的難度是循序漸進(jìn)、逐步提高的。探究性習(xí)題能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲望，給予學(xué)生成就感，但由于這類(lèi)習(xí)題的數(shù)量較少，學(xué)生得不到充足的練習(xí)，從而不利于探究能力的培養(yǎng)。

（二）背景水平的分析

背景水平分為“無(wú)實(shí)際背景、個(gè)人生活、公共常識(shí)、科學(xué)情景”四個(gè)水平，依次賦值“1、2、3、4”。（其具體界定標(biāo)準(zhǔn)如表5所示）

將2012年小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題分別在背景因素的四個(gè)水平上進(jìn)行了數(shù)量統(tǒng)計(jì)。（其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表6所示）

通過(guò)以上數(shù)據(jù)得知，“式與方程”中有一半的習(xí)題是沒(méi)有任何實(shí)際背景的，關(guān)于“個(gè)人生活”和“公共常識(shí)”的習(xí)題分別占全部習(xí)題的29.4%和23.8%。而“科學(xué)情境”的習(xí)題少之又少，僅占全部習(xí)題的1.6%。其中，“無(wú)實(shí)際背景”的習(xí)題主要是“省略乘號(hào)”、“用字母表示圖形面積、運(yùn)算定律”以及“解簡(jiǎn)易方程”的習(xí)題。此類(lèi)型的習(xí)題主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，但數(shù)量過(guò)多不易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！靶抡n標(biāo)”要求“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際……要重視直觀，課程內(nèi)容的呈現(xiàn)要注意層次性和多樣性”因此習(xí)題所設(shè)置的背景大多符合學(xué)生的實(shí)際生活，并且以圖畫(huà)或圖畫(huà)加文字的形式更加直觀的呈現(xiàn)給學(xué)生，有利于學(xué)生體驗(yàn)和理解。習(xí)題的背景是培養(yǎng)學(xué)生情感態(tài)度、價(jià)值觀的重要法寶，因此背景的選擇則顯得尤為重要。例如教科書(shū)中五年級(jí)上冊(cè)練習(xí)十六的第6題，是以故宮和天安門(mén)廣場(chǎng)的面積關(guān)系為背景，根據(jù)故宮的面積求出天安門(mén)廣場(chǎng)的面積。這道習(xí)題既讓學(xué)生鞏固了數(shù)學(xué)知識(shí)，又能讓學(xué)生對(duì)故宮和天安門(mén)有了一定的了解，具有現(xiàn)實(shí)的意義，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?？茖W(xué)技術(shù)在現(xiàn)代社會(huì)得到了廣泛的應(yīng)用，科學(xué)意識(shí)在基礎(chǔ)教育中的滲透也非常重要，然而“式與方程”中以科學(xué)情境為背景的習(xí)題卻很少，這不利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)意識(shí)，因此“科學(xué)情境”水平的習(xí)題還有待增加。

（三）運(yùn)算水平的分析

運(yùn)算水平分為“無(wú)運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算、簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算、復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算”四個(gè)水平，依次賦值“1、2、3、4”。（其具體界定標(biāo)準(zhǔn)如表7所示）

將2012年小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題分別在運(yùn)算因素的四個(gè)水平上進(jìn)行了數(shù)量統(tǒng)計(jì)。（其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表8所示）

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以看出，“式與方程”中的習(xí)題主要以符號(hào)運(yùn)算為主，其中，簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算的習(xí)題最多，占所有習(xí)題的42.8%，而復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算的習(xí)題則相對(duì)較少，占所有習(xí)題的17.5。這類(lèi)習(xí)題考查學(xué)生解決含有多個(gè)運(yùn)算步驟的方程的能力?！盁o(wú)運(yùn)算”與“數(shù)值運(yùn)算”的習(xí)題分別占所有習(xí)題的23.8%和15.9%?！盁o(wú)運(yùn)算”水平的習(xí)題主要考查用字母表示常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系以及方程的概念和性質(zhì)?！皵?shù)值運(yùn)算”的習(xí)題大多是用字母表示數(shù)以及將未知數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值代入式子中，也有少數(shù)不含未知數(shù)的計(jì)算題，目的是提升學(xué)生的計(jì)算能力。在整體運(yùn)算水平上，習(xí)題具有層次性，不同運(yùn)算水平的習(xí)題分布也較為均勻?？梢钥闯觯炭茣?shū)比較側(cè)重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。CB9A1394-2F5E-4AA8-8C73-785AF39F3AE5

（四）推理水平的分析

推理水平分為“無(wú)推理、簡(jiǎn)單推理、復(fù)雜推理”三個(gè)水平，依次賦值“1、2、3”。（其具體界定標(biāo)準(zhǔn)如表9所示）

將2012年小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題分別在推理因素的三個(gè)水平上進(jìn)行了數(shù)量統(tǒng)計(jì)。（其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表10所示）

通過(guò)以上數(shù)據(jù)可以看出，大多數(shù)習(xí)題是不需要推理就能解決的，有11.9%的習(xí)題需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，而僅有3.2%的習(xí)題需要進(jìn)行復(fù)雜推理。需要進(jìn)行推理的題目較少，其原因可分為兩方面，一方面是學(xué)生首次接觸方程知識(shí)，所以需要推理的習(xí)題不多;另一方面，由于大多數(shù)習(xí)題只需要計(jì)算，也導(dǎo)致了推理題目的減少。而推理習(xí)題的不足會(huì)影響學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，因此“推理”水平的習(xí)題應(yīng)適當(dāng)增加。

（五）知識(shí)含量的分析

知識(shí)含量分為“1個(gè)知識(shí)點(diǎn)、2個(gè)知識(shí)點(diǎn)、3個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)”三個(gè)水平，依次賦值“1、2、3”。（其具體界定標(biāo)準(zhǔn)如表11所示）

將2012年小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題分別在知識(shí)含量的三個(gè)水平上進(jìn)行了數(shù)量統(tǒng)計(jì)。（其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表12所示）

通過(guò)以上數(shù)據(jù)可以看出，“式與方程”中過(guò)半的習(xí)題綜合了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，42%的習(xí)題只包含單個(gè)知識(shí)點(diǎn)，僅有4.8%的習(xí)題綜合了三個(gè)知識(shí)點(diǎn)。單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題更多的是考查這一單元基礎(chǔ)性知識(shí)，比如方程的概念和性質(zhì)、解方程以及用字母表示數(shù)等。含有“2個(gè)知識(shí)點(diǎn)”和“3個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)”的習(xí)題比較注重知識(shí)的綜合性，有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用多個(gè)知識(shí)解決問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。

（六）綜合難度的分析

對(duì)前面五個(gè)難度因素的不同水平的題目數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并利用各水平等級(jí)量表計(jì)算各因素的加權(quán)平均。（所得結(jié)果匯總成表13）

由此得到人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)“式與方程”習(xí)題難度的如下直觀模型（如圖1所示）：

從總體而言，“式與方程”習(xí)題更加注側(cè)重“運(yùn)算”因素，這是源于方程本身的特點(diǎn)。涉及推理的習(xí)題數(shù)量較少，其中關(guān)于復(fù)雜推理的習(xí)題最少。習(xí)題在知識(shí)含量上更多的是包含一到兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，較少綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。很多考查基礎(chǔ)性知識(shí)的習(xí)題沒(méi)有設(shè)置任何實(shí)際背景，在有實(shí)際背景的習(xí)題中，有些是離學(xué)生生活實(shí)際較遠(yuǎn)的，不便于學(xué)生理解，并且關(guān)于“科學(xué)背景”的習(xí)題較少，不利于豐富學(xué)生的科學(xué)知識(shí)。 然而，這五個(gè)難度因素達(dá)到怎樣的難度取值才適中，仍有待探究。

三、啟示

（一）增加探究習(xí)題，激發(fā)求知欲望

在“式與方程”習(xí)題中，更加注重學(xué)生對(duì)概念、性質(zhì)的識(shí)記以及對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單理解，側(cè)重對(duì)學(xué)生基本知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)。而對(duì)于學(xué)生所學(xué)知識(shí)的探究性應(yīng)用，則關(guān)注較少?！白R(shí)記”水平的習(xí)題過(guò)于基礎(chǔ)性，適當(dāng)?shù)木毩?xí)可以鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，而數(shù)量過(guò)多會(huì)則使學(xué)生感到枯燥乏味，缺少挑戰(zhàn)性。而探究性習(xí)題則恰恰相反，恰當(dāng)?shù)奶骄繂?wèn)題能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)學(xué)生完整的思考能力及邏輯方法，提高學(xué)生的探究意識(shí)。同時(shí)也具有挑戰(zhàn)性，可以使學(xué)生獲得成就感，因此應(yīng)適當(dāng)減少“識(shí)記”水平的習(xí)題，增加“探究”水平的習(xí)題，使學(xué)生在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上能夠得到更深層次的練習(xí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的求知欲望。

（二）巧用背景素材，體會(huì)數(shù)學(xué)價(jià)值

“式與方程”中有一半的習(xí)題是沒(méi)有任何實(shí)際背景的，無(wú)背景的習(xí)題數(shù)量過(guò)多會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不利于學(xué)生情感態(tài)度的培養(yǎng)。而“科學(xué)情境”水平的習(xí)題也大量缺失，這些都導(dǎo)致了習(xí)題在“背景”因素上的不足。設(shè)有背景的習(xí)題，對(duì)學(xué)生的閱讀能力和理解能力都有一定的要求，因此背景素材的選擇則顯得至關(guān)重要。在習(xí)題背景的選擇上應(yīng)更多考慮學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況，盡量選擇便于學(xué)生理解的素材，并且這些背景素材應(yīng)具有真實(shí)性。習(xí)題設(shè)置背景不僅能夠使學(xué)生獲得更多的知識(shí)，也能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高應(yīng)用意識(shí)。將數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域的知識(shí)進(jìn)行更多的結(jié)合，讓數(shù)學(xué)體現(xiàn)出更多的價(jià)值?！翱茖W(xué)情境”水平的習(xí)題中包含了大量的科學(xué)知識(shí)，能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)創(chuàng)新性的應(yīng)用價(jià)值。因此應(yīng)適當(dāng)減少“無(wú)背景”的習(xí)題，將更多的習(xí)題賦予背景，增加以“科學(xué)情境”為背景的習(xí)題。從而豐富學(xué)生的科學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

（三）理解方程本質(zhì)，強(qiáng)化思維能力

“式與方程”習(xí)題主要是以符號(hào)運(yùn)算為主，比較注重培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算水平，由于小學(xué)生對(duì)新鮮事物的接受能力也較差，在此之前學(xué)過(guò)的運(yùn)算都是利用四則運(yùn)算解決的，因此在初次接觸方程時(shí)，難以理解方程的本質(zhì)，難以熟練的運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程，易導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械性地解方程，雖然運(yùn)算步驟不會(huì)錯(cuò)，但解題的靈活性不足，遇到信息量較大的問(wèn)題時(shí)，則不會(huì)主動(dòng)運(yùn)用方程解決問(wèn)題，因此學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)的理解則顯得至關(guān)重要，從最初的方程概念的表層認(rèn)知，逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)方程概念的本質(zhì)揭示，逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展。只有深刻理解了方程的本質(zhì)，才能在根本上提升學(xué)生的思維能力，面對(duì)較復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，能夠主動(dòng)運(yùn)用方程，輕松自如地根據(jù)已知條件和未知條件列方程、解方程。

（四）挖掘習(xí)題深度，培養(yǎng)推理能力

學(xué)生首次接觸“式與方程”，在習(xí)題設(shè)置中主要是以符號(hào)運(yùn)算為主，較少出現(xiàn)“推理”水平的習(xí)題。新課標(biāo)明確要求“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中”，并且在最新PISA2021的數(shù)學(xué)能力框架中，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地推理是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)核心部分。小學(xué)階段是小學(xué)生推理能力培養(yǎng)的起始階段，而教科書(shū)中的“式與方程”是發(fā)展學(xué)生合情推理能力的主要領(lǐng)域之一，因此在學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)適當(dāng)挖掘習(xí)題的深度，增設(shè)一些“推理”水平的習(xí)題。其中，“簡(jiǎn)單推理”水平的習(xí)題應(yīng)適當(dāng)增加多一些，“復(fù)雜推理”水平的習(xí)題相對(duì)增加少一些，使不同水平的學(xué)生都能進(jìn)行推理習(xí)題的訓(xùn)練，從而使所有學(xué)生都能提高邏輯推理能力。

（五）側(cè)重知識(shí)綜合，深化建模思想

“式與方程”中習(xí)題注重建模思想的滲透。但由于習(xí)題中涉及的知識(shí)點(diǎn)較少，大多只包含一至二個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生利用方程只能解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。在學(xué)生已經(jīng)能夠利用方程熟練解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用題后，應(yīng)適當(dāng)增加習(xí)題中的知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生不局限在只用方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而使學(xué)生對(duì)建模思想有更深刻的理解和體會(huì)，還能加深學(xué)生對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解。學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)不斷豐厚、不斷建模的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)循環(huán)再生的過(guò)程，并且這個(gè)過(guò)程也能夠有效提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力以及問(wèn)題解決能力。

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