何銀年，馮新龍

(1.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017；2.西安交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710049)

0 引言

3維非定常不可壓縮Navier-Stokes方程組（簡(jiǎn)稱N-S方程組）[1?14]:

其中:u=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示速度向量,p=p(x,t)表示壓力,f=f(x,t)表示給定外力,u0(x)表示初始速度,ν ＞0 表示粘性系數(shù)及T ＞0表示大時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度,Ω ?R3表示有界區(qū)域.3維非定常不可壓縮N-S方程組的初邊值問題是描述不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)最一般的規(guī)律,是典型的非線性問題,在工程應(yīng)用和非線性科學(xué)研究方面具有廣泛的應(yīng)用背景和重要的科學(xué)意義.然而,由于人們對(duì)N-S方程組的非線性現(xiàn)象本質(zhì)和解的特性認(rèn)識(shí)有限,使得數(shù)值求解N-S方程組成為一種十分重要的研究手段.但數(shù)值求解N-S方程組面臨三大困難:即如何處理不可壓縮約束條件div u=0,強(qiáng)非線性(u·?)u和長(zhǎng)時(shí)間區(qū)間[0,T]積分的問題[1?3].

對(duì)于依賴于空間時(shí)間變量(x,t)的非定常N-S方程組的數(shù)值求解,人們首先是設(shè)計(jì)空間變量離散化,考慮半離散解(uh(x,t),ph(x,t))所滿足的近似N-S方程組,然后再考慮時(shí)間變量離散化,即全離散解所滿足的有限維近似N-S方程組;或者相反先設(shè)計(jì)時(shí)間變量離散化,考慮半離散解(un(x),pn(x))所滿足的近似N-S方程組,然后再考慮空間變量離散化,即考慮全離散解所滿足的有限維近似N-S方程組.由于篇幅有限,本文僅考慮前一種情形,且僅考慮有限元的空間離散情形,不考慮有限差分方法、有限體積元方法、譜方法等其它方法的空間離散化情形.在設(shè)計(jì)空間變量離散化時(shí),人們首先考慮的是如何克服不可壓縮約束條件div u=0的困難.通常采取的方法是:(1)設(shè)計(jì)滿足inf-sup條件的協(xié)調(diào)或非協(xié)調(diào)的有限元空間對(duì)(Xh,Mh)[1?8,13];(2)對(duì)一般的有限元空間對(duì)(Xh,Mh)構(gòu)造穩(wěn)定化的弱變分形式[15?18];(3)設(shè)計(jì)滿足不可壓縮約束條件div uh=0的有限元空間對(duì)(Xh,Mh)[19?22].考慮文章的篇幅限制,本文僅考慮滿足inf-sup條件的一階協(xié)調(diào)有限元空間對(duì)(Xh,Mh)情形.

非定常N-S方程組在經(jīng)過空間變量離散化后,得到關(guān)于時(shí)間變量的一個(gè)非線性常微分方程組.因此為了得到非定常N-S方程組的數(shù)值解,還需要對(duì)時(shí)間變量實(shí)施有限差分離散化.為了克服長(zhǎng)時(shí)間區(qū)間[0,T]積分的困難,需要設(shè)計(jì)一個(gè)大時(shí)間步長(zhǎng)的有限差分?jǐn)?shù)值方法.高階時(shí)間精度的離散差分格式可以使得時(shí)間離散步長(zhǎng)取大一些.考慮到非定常N-S方程組解的正則性限制,人們通常選取時(shí)間二階精度的差分離散化格式.時(shí)間二階精度的離散格式有全隱格式(例如Crank-Noclson差分格式[7]),半隱格式(例如Crank-Noclson外推差分格式[23?25]) 和隱式/顯式差分格式(例如Crank-Noclson/Adams-Bashforth差分格式[26?27])等.眾所周知,盡管二階精度的全隱格式是無條件穩(wěn)定的,但是對(duì)于每個(gè)時(shí)間層n,需要求解關(guān)于的非線性方程組,人們承受不了這個(gè)巨大的計(jì)算量耗費(fèi).其次時(shí)間二階精度的半隱離散格式也具有線性化和無條件穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn),克服了非線性的困難,但是對(duì)于每個(gè)時(shí)間層n,求解關(guān)于的線性方程組時(shí),需要求解變系數(shù)矩陣的大型代數(shù)方程組,即其系數(shù)矩陣仍然依賴前兩步的速度向量人們?nèi)匀浑y以承受這個(gè)大的計(jì)算量耗費(fèi).最后,用時(shí)間二階精度的隱式/顯式差分格式求解時(shí),對(duì)每個(gè)時(shí)間層n,僅僅需要求解常系數(shù)矩陣的大型代數(shù)方程組.這樣既克服了長(zhǎng)時(shí)間積分和非線性的困難,又花費(fèi)較少的計(jì)算量耗費(fèi).因此,把空間離散的滿足inf-sup條件的一階協(xié)調(diào)有限元空間對(duì)(Xh,Mh)方法和時(shí)間離散的二階精度的隱式/顯式差分格式結(jié)合起來,就得到求解非定常N-S方程組的高效有限元方法.對(duì)于時(shí)間二階精度的隱式/顯式差分格式,除了Crank-Nicolson/Adams-Bashforth(CN/AB)差分格式,還有二階后差隱式/顯式差分格式或稱Gear外推差分格式[28?29]等可以被應(yīng)用于求解非定常N-S方程組.

眾所周知,盡管時(shí)間二階精度的CN/AB全離散有限元方法吸引了眾多學(xué)者的極大興趣,然而在以往數(shù)值分析方面,許多學(xué)者認(rèn)為即使在初值足夠光滑的條件下,該數(shù)值方法的CFL穩(wěn)定性和收斂性條件都要求時(shí)間離散步長(zhǎng)τ嚴(yán)格地依賴于空間離散尺度h.在文獻(xiàn)[3]中,Marion及Temam提出了下列的穩(wěn)定性和收斂性條件:

其中d=2,3表示空間區(qū)域Ω的維數(shù).最近,Tone[27]給出了下列的收斂性條件:

另外,在修正的CN/AB情形下（非線性項(xiàng)和壓力項(xiàng)都是顯式的）,Johnston及Liu[30]提出了下列的穩(wěn)定性條件:

最近,He及Sun[26]證明了求解二維非定常N-S方程組時(shí)穩(wěn)定性和收斂性條件是τ ≤C,即是幾乎無條件穩(wěn)定和收斂的.此外,He及Sun[26]也證明了下列的收斂性結(jié)論:對(duì)每一時(shí)間步tn∈(0,T],全離散解滿足下列的收斂率

其中:σ(t)=min{1,t},κ是一個(gè)依賴于參數(shù)(ν,Ω,T,u0,f)的一般性常數(shù).這里數(shù)值速度在L2范數(shù)意義下關(guān)于時(shí)空變量(x,t)達(dá)到了最優(yōu)收斂階,數(shù)值速度和壓力在H1-L2范數(shù)意義下關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)τ沒有達(dá)到二階最優(yōu)收斂.

在最新的研究中,He,Zhang及Zou證明了求解三維非定常N-S方程組時(shí)穩(wěn)定性和收斂性條件是τ ≤C,并且也證明了下列的收斂性結(jié)論:對(duì)每一時(shí)間步tn∈(0,T],全離散解滿足下列的收斂率

本文第一節(jié)主要介紹3維非定常N-S方程組有關(guān)數(shù)學(xué)描述和已有的存在性、唯一性和正則性結(jié)論.第二節(jié)主要介紹3維非定常N-S方程組有限元空間離散的有關(guān)數(shù)學(xué)描述和已有的收斂性和穩(wěn)定性結(jié)論.第三節(jié)主要介紹3維非定常N-S方程組的時(shí)間二階精度的CN/AB全離散有限元方法的有關(guān)數(shù)學(xué)描述和最新收斂性結(jié)論.第四節(jié)給出本文主要結(jié)論.

1 3維非定常N-S方程組的有關(guān)數(shù)學(xué)描述及預(yù)備知識(shí)

令Ω ?R3是具有Lipschitz連續(xù)邊界的有界單連通區(qū)域,Banach空間Lp(Ω)是區(qū)域Ω上的p次Lebesgue可積函數(shù)全體,且賦予范數(shù)

為了書寫簡(jiǎn)便,我們常常利用記號(hào)u(t)表示函數(shù)u(x,t).對(duì)于p=2,L2(Ω)是Hilbert空間且賦予內(nèi)積和范數(shù):

進(jìn)一步,我們也引進(jìn)下列Hilbert空間H1(Ω),H2(Ω):

以及下列內(nèi)積和范數(shù).

由Green公式,可以導(dǎo)出(1)的變分形式:求u ∈L∞(0,T;L2(Ω)3)∩L2(0,T;X) 及p ∈L2(0,T;M),使得對(duì)任意(v,q)∈X×M 滿足

其中:X=(H10(Ω))3,M=L20(Ω)={q ∈L2(Ω);∫Ωq(x)dx=0},以及

如果(u,p)滿足(4),被稱為非定常N-S方程組的弱解.此外,如果弱解(u,p)還滿足正則性u(píng) ∈L∞(0,T;X)∩L2(0,T;(H2(Ω))3∩X)及p ∈L2(0,T;H1(Ω)∩M),則(u,p)被稱為非定常N-S方程組的強(qiáng)解.目前,對(duì)于一般的數(shù)據(jù)(ν,Ω,u0,f,T),非定常N-S方程組的弱解的唯一性和強(qiáng)解的存在性還是一個(gè)未解的重大難題[1?3,8?12,14].

本文中我們關(guān)于問題(1)中已知信息u0及f(t)作下列假設(shè).

假設(shè)(A0):初始速度u0∈H2(Ω)3∩X且滿足?·u0=0,以及外力項(xiàng)f滿足

這里κ及以下κ0被用來表示依賴于數(shù)據(jù)(ν,Ω,T,u0,f)的正常數(shù).

進(jìn)一步,如果3維區(qū)域Ω是一凸多面體或邊界?Ω是C1,1的,則下列的正則性假設(shè)成立.

假設(shè)(A1):如果f ∈(L2(Ω))3,則Stokes方程組：

允許有唯一解(u,p)滿足下列正則性：

其中c0=c0(Ω)是依賴于Ω的常數(shù).

為了以后研究非定常N-S方程組解的正則性及其數(shù)值解的收斂性,我們需要引進(jìn)下列Gadliardo-Nirenberg不等式[1?7]:

其中c1和γ0為依賴于Ω的常數(shù).利用不等式(6)～(7),我們可以導(dǎo)出非線性算子B(w,u)的下列關(guān)系式:

其中N0=N0(Ω)是依賴于Ω的常數(shù)及

應(yīng)用(8)并在(4)中取檢驗(yàn)函數(shù)(v,q)=(u,p),我們得到下列的關(guān)系式:

為了進(jìn)一步得到解的正則性結(jié)論,我們需要對(duì)弱解(u,p)做出進(jìn)一步的假設(shè).

假設(shè)(A2):假定問題(4)的弱解(u,p)滿足

利用假設(shè)(A0)～(A2)及估計(jì)式(8)～(10),可以導(dǎo)出(u,p)如下的正則性結(jié)果[4].

定理1如果假設(shè)(A0)～(A2) 成立,則問題(4)的弱解(u,p)滿足:

2 3維非定常N-S方程組的有限元離散化

為了方便,本文僅考慮3維有界的凸多面體區(qū)域Ω,對(duì)Ω進(jìn)行擬一致正則的四面體網(wǎng)格剖分四面體單元K的直徑表示為hK,并定義網(wǎng)格尺度為引進(jìn)有限元空間Xh?X及Mh?M滿足下列的一階逼近和inf-sup條件假設(shè)[4].

假設(shè)(A3):假定有限元空間對(duì)Xh×Mh滿足

(1) 對(duì)每一v ∈H2(Ω)3∩X及q ∈H1(Ω)∩M,存在逼近函數(shù)πhv ∈Xh及ρhq ∈Mh使得

成立及inf-sup條件:對(duì)每一qh∈Mh,存在vh∈Xh,vh/=0 使得

成立,其中c2及β是依賴于Ω的正常數(shù).

根據(jù)文獻(xiàn)[2,32-33],存在一系列有限元空間對(duì)Xh×Mh滿足假設(shè)(A3),比如P2-P0元:

由于有限元空間對(duì)Xh×Mh滿足假設(shè)(A3),可以定義有限元空間

及離散Stokes算子Ah=-PhΔh,其中Ph是由(L2(Ω))3到Vh的L2-投影算子,滿足

以及離散拉普拉斯算子-Δh被定義為

由此可以定義離散的Sobolev范數(shù)

根據(jù)離散Stokes算子Ah的定義,結(jié)合(7),可得下列離散Gadliardo-Nirenberg不等式[4]:

于是可以由(14)推出非線性項(xiàng)B(wh,uh)滿足下列的有界性:

現(xiàn)在我們定義非定常N-S方程組(4)的有限元變分形式：對(duì)每一t ∈(0,T] 求(uh(t),ph(t))∈Xh×Mh使得對(duì)每個(gè)(vh,qh)∈Xh×Mh滿足

其中uh(0)=Phu0.在(17)中,取(vh,qh)=(uh,ph)及利用(8),我們可得到

再利用假設(shè)(A0)～(A3)和B(w,u)性質(zhì)及定理1關(guān)于(u,p)的正則性結(jié)論,我們可以導(dǎo)出(uh,ph)關(guān)于(u,p)的下列誤差估計(jì)結(jié)果.

定理2如果假設(shè)(A0)～(A3)成立,則問題(17)的有限元解(uh,ph)滿足下列誤差估計(jì):

由于假設(shè)(A2)～(A3),(18)～(19),我們可以證明有限元解(uh,ph)滿足下列穩(wěn)定性[7]:

最后根據(jù)(15)～(20),我們可以證明對(duì)于每一t ∈(0,T],有限元解(uh,ph)滿足下列進(jìn)一步的穩(wěn)定性:

上述穩(wěn)定性結(jié)果是進(jìn)行全離散有限元解的基礎(chǔ)保障.

3 3維非定常N-S方程組的NS/AB全離散有限元解及其最優(yōu)誤差估計(jì)

成立.利用不等式關(guān)系(8),(15)～(16),(24),定理2,有限元解(uh,ph)的穩(wěn)定性以及歸納法原理,可以得到滿足誤差估計(jì)結(jié)果.

4 結(jié)論

求解三維非定常N-S方程組的CN/AB全離散有限元方法在每個(gè)時(shí)間步都是解線性方程組(Stokes方程組),對(duì)每一時(shí)間層n,其系數(shù)矩陣是固定不變的.在該數(shù)值格式中線性項(xiàng)用隱式格式離散以增加其格式的穩(wěn)定性能,非線性項(xiàng)用顯式格式離散以保證格式的簡(jiǎn)單性.此外,現(xiàn)有研究分析表明該方法是幾乎無條件穩(wěn)定和收斂的,并且關(guān)于時(shí)間步長(zhǎng)τ是最優(yōu)階收斂的,即該方法不要求時(shí)間離散步長(zhǎng)τ不隨著空間網(wǎng)格尺度h的縮小而影響時(shí)間步長(zhǎng)τ的選取,從而允許選取大的時(shí)間步長(zhǎng)τ,因此該方法也克服了求解3維非定常N-S方程組的強(qiáng)非線性和長(zhǎng)時(shí)間區(qū)間積分的困難,另外由于使用滿足inf-sup條件的協(xié)調(diào)有限元空間對(duì)Xh×Mh克服了不可壓縮約束條件的困難.綜上所述,CN/AB全離散有限元方法是求解三維非定常N-S方程組的高效有限元方法.