李智， 歐陽芳， 肖增佳， 劉欣澤， 賀艷曉， 趙建國*

1 中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室， 北京 102249 2 中國石油天然氣股份有限公司玉門油田環(huán)慶分公司， 甘肅慶陽 745700

0 引言

地震波在地下介質(zhì)中傳播會引起孔隙流體與巖石骨架的相對流動，即所謂的波致流(wave induced fluid flow, WIFF).已有研究表明，WIFF是引起地震波速度頻散和能量衰減的重要原因(Biot，1956a，b； Brennan and Stacey，1977；Winkler，1985；Han，1986；Han et al.，1986；Batzle et al.，2006； Gurevich et al.，2009，2010；He et al.，2010；Carcione and Gurevich，2011；Tang，2011；Chen et al.，2012；Tang et al.，2012，2013；Pimienta et al.，2016；Szewczyk et al.，2017；Ma et al.，2019；Yang et al.，2020).

為了揭示誘發(fā)WIFF的物理機制，長期以來國內(nèi)外學(xué)者在巖石物理實驗和理論方面進行了深入的研究.在理論研究方面，Biot(1956a，b)建立了經(jīng)典的孔彈性理論，并從理論上發(fā)現(xiàn)了慢縱波的存在；之后，Dvorkin和Nur(1993)以及Dvorkin等(1994)將宏觀Biot機制與微觀噴射機制結(jié)合，建立了BISQ模型.另一方面，現(xiàn)有研究表明，巖石的速度頻散、衰減與軟孔的孔隙縱橫比密切相關(guān).為此，Mavko和Jizba(1991)假設(shè)巖石由干燥硬孔和含流體的軟孔(如顆粒接觸和微裂隙等)構(gòu)成，提出了濕骨架模型，并推導(dǎo)了高頻極限條件下巖石濕骨架彈性模量的計算公式；Dvorkin等(1995)進一步將Mavko-Jizba理論拓展到全頻段，并建立了全頻噴射流模型.然而，Dvorkin全頻噴射流模型的低頻極限并不滿足公認(rèn)的Gassmann方程.鑒于此，Gurevich等(2010)引入壓力弛豫法與不連續(xù)張量公式重新定義了噴射流模型，其模型與Gassmann方程和Mavko-Jizba方程自洽，且模型中用來描述軟孔的參數(shù)(孔隙度和縱橫比)比BISQ模型的特征長度R具有更明確的物理意義.然而，該模型僅考慮了某一特定縱橫比的軟孔隙所引起的噴射流效應(yīng)，從而難以描述實際巖石復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)的影響.為此，Deng等(2015)基于巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征將不同縱橫比的軟孔隙逐步迭代加入噴射流模型中，分析了彈性波的速度頻散和衰減規(guī)律.之后，歐陽芳等(2021b)在此基礎(chǔ)上對經(jīng)典Gurevich噴射流模型進行了進一步擴展，不僅考慮了微裂隙與硬孔隙間的局部流動、硬孔隙與硬孔隙間的Biot宏觀流，還引入了微裂隙與微裂隙間的噴射流作用.

盡管巖石物理頻散理論已有相當(dāng)發(fā)展，但由于低頻實驗技術(shù)仍處于起步階段，這些理論模型的可靠性仍有待巖石物理實驗的檢驗.目前，已有部分國內(nèi)外研究機構(gòu)基于低頻巖石物理實驗技術(shù)對地震頻段速度頻散和衰減的影響因素進行了研究，尤其是孔隙流體黏度的影響.Batzle等(2006)通過改變溫度(22 ℃和63 ℃)調(diào)節(jié)甘油的流體黏度，研究了地震頻段飽和甘油砂巖樣品的速度頻散和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著甘油黏度的增加，實驗測量的速度頻散曲線向較低頻方向移動，與噴射流模型的預(yù)測結(jié)果一致.Subramaniyan等(2014)在水-甘油飽和條件下研究了地震頻段內(nèi)混合流體黏度對楓丹白露砂巖速度頻散和衰減的影響，該研究通過調(diào)整含水飽和度改變混合流體的黏度，并發(fā)現(xiàn)隨著飽和流體黏度的降低，實驗測得的衰減曲線逐漸向高頻移動，該實驗再次證明了噴射流是引起衰減的重要機制.與此同時，Mikhaltsevitch等(2011)也對甘油飽和條件的Berea砂巖進行了低頻實驗測量，其研究發(fā)現(xiàn)甘油飽和樣品的衰減峰值出現(xiàn)在約0.6 Hz(23 ℃)和約1.5 Hz(31 ℃)左右.Yin等(2017)在2～200 Hz頻帶內(nèi)對完全飽和致密砂巖進行了低頻實驗測量，研究了流體類型、有效壓力等實驗條件對實驗結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)流體黏度或有效壓力增加時，速度頻散曲線會向低頻移動.

盡管上述研究針對流體黏度對速度頻散和衰減的影響給出了一些重要實驗結(jié)論，但這些實驗研究所選用的巖石樣品通常為礦物成分相對單一的Berea砂巖或楓丹白露砂巖.而在絕大多數(shù)情況中，巖石樣品的礦物組分通常會比較復(fù)雜.其次，這些研究所選用的流體為黏度較大的甘油，其物理性質(zhì)與實際儲層流體差異較大，故實驗結(jié)果難以應(yīng)用于儲層流體識別研究.此外，這些研究僅從實驗的角度研究了速度頻散規(guī)律，而并未從理論上對實驗結(jié)果進行有效解釋.

鑒于此，本文利用低頻應(yīng)力-應(yīng)變技術(shù)和超聲傳輸技術(shù)在不同圍壓下，在1 Hz～3 kHz和1 MHz的頻率范圍內(nèi)對3塊中孔隙度砂巖和2塊低孔隙度砂巖樣品進行了飽和不同黏度流體的彈性模量(楊氏模量、泊松比和衰減)測量，利用本課題組歐陽芳等(2021b)提出的擴展噴射流模型對實驗數(shù)據(jù)進行解釋，該模型考慮各類孔隙之間的噴射流效應(yīng)，可以在微觀尺度上描述砂巖的頻散和衰減.

1 測試系統(tǒng)及實驗標(biāo)定

1.1 低頻應(yīng)力-應(yīng)變測試系統(tǒng)

我們在Batzle等(2006)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了低頻應(yīng)力-應(yīng)變測試系統(tǒng)(圖1a).基于應(yīng)力應(yīng)變法，該系統(tǒng)可以獲得巖石樣品在地震頻段的彈性模量和相關(guān)衰減.

實驗時計算機控制函數(shù)發(fā)生器、功率放大器以及激振器產(chǎn)生特定頻率的軸向正弦應(yīng)力，將這個力施加在由巖石樣品和兩端標(biāo)準(zhǔn)鋁塊組成的測試樣品上，此時測試樣品表面的應(yīng)變片可以記錄粘貼位置的應(yīng)變響應(yīng).測試樣品表面間隔90°共粘貼16片應(yīng)變片(圖1b)，其中標(biāo)準(zhǔn)鋁塊上有8片縱向應(yīng)變片，巖石樣品上有縱向、橫向應(yīng)變片各4片.假設(shè)應(yīng)力在測試樣品中分布均勻，巖石樣品的楊氏模量E、泊松比υ和衰減Q-1可通過式(1—3)進行計算.

(1)

(2)

(3)

圖1 低頻應(yīng)力-應(yīng)變測試系統(tǒng)(a) 裝置示意圖; (b) 樣品制備示意圖.Fig.1 Low frequency stress-strain testing system(a) Device diagram; (b) Sample preparation diagram.

1.2 實驗標(biāo)定

為了測試系統(tǒng)的可靠性，本文選擇鋁和有機玻璃作為標(biāo)準(zhǔn)樣品進行實驗標(biāo)定，這兩種材料的物理性質(zhì)在諸多文獻中均有記載(Batzle et al.，2006； Madonna and Tisato，2013；Pimienta et al.，2015b，2016；Tisato and Madonna，2012).鋁和有機玻璃均可以視為無孔、均勻且各向同性的材料，其中鋁被認(rèn)為是一種彈性性質(zhì)不會隨頻率而變化的材料，而有機玻璃則是一種典型的黏彈性材料，其彈性性質(zhì)與頻率密切相關(guān)(Toks?z et al.，1979；Pimienta et al.，2015a，b；Huang et al.，2015；Gao et al.，2018).

圖2展示了標(biāo)準(zhǔn)樣品的測量結(jié)果并與Batzle等(2006)、Pimienta等(2015b)、Huang等(2015)、殷晗鈞(2018)、趙立明(2019)的數(shù)據(jù)進行對比，可以看出：(1)1 Hz到3000 Hz范圍內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)鋁塊楊氏模量的平均值為67.35 GPa，泊松比的平均值為0.333，與超聲測試的結(jié)果67.61 GPa和0.331相差不大，衰減的值也很小，在0值附近，這一現(xiàn)象正好對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)鋁塊完全彈性的本征物理特性.同時，整體趨勢與殷晗鈞(2018)和趙立明(2019)的測試結(jié)果一致.(2)在有效穩(wěn)定觀測范圍內(nèi)，有機玻璃的楊氏模量從4.19 GPa上升至5.24 GPa，增加25%，出現(xiàn)較為明顯的頻散現(xiàn)象，并且其最高值仍低于超聲測量的6.04 GPa.通過黏彈性Cole-Cole模型將測試數(shù)據(jù)延展到超聲頻段，可以驗證低頻測量數(shù)據(jù)的正確性，并且可以看出有機玻璃的楊氏模量隨頻率并不是線性增加，其衰減整體呈現(xiàn)隨頻率降低的趨勢. 有效觀測范圍內(nèi)，有機玻璃的泊松比大體呈現(xiàn)減小的趨勢，平均值為0.323，其衰減從0.07逐漸減小接近0，除與Batzle等(2006)、Huang等(2015)測量的衰減變化趨勢不同外，文獻中的測量數(shù)據(jù)與本文的測量數(shù)據(jù)變化相一致，尤其與Pimienta等(2015b)、趙立明(2019)在數(shù)值也近似.其中泊松比和楊氏模量具體數(shù)值差異可能是由于有機玻璃的制備工藝及批次不同造成(Batzle et al.，2006).標(biāo)定實驗驗證了低頻應(yīng)力-應(yīng)變測試系統(tǒng)的可靠性和準(zhǔn)確性.

圖2 不同標(biāo)準(zhǔn)樣測量結(jié)果(a) 標(biāo)準(zhǔn)鋁塊; (b) 有機玻璃.Fig.2 Measurement results of different standard samples(a) Aluminum; (b) Lucite.

圖3 砂巖樣品的孔隙結(jié)構(gòu)描述與分析Fig.3 Pore structure description of sandstone samples

2 樣品描述及實驗過程

2.1 樣品描述

本文以5塊中國南海某油田的砂巖為例，在1～3 kHz和1 MHz進行彈性模量測試，測試時飽和不同黏度的流體以驗證流體黏度對于頻散和衰減的影響.

5塊砂巖樣品主要物理性質(zhì)如表1所示，按照其孔滲情況可以分成兩個對照實驗組：(1)兩塊孔隙度在10%左右，滲透率小于1×10-3μm2的低孔隙度砂巖(30#和31#)；(2)三塊孔滲條件良好的中孔隙度砂巖(52#、64#和65#).從整體上看，樣品直徑約25.4 mm，長度為40～50 mm；礦物成分均以石英為主中孔隙度砂巖孔隙發(fā)育且分布均勻(圖3a—c)，孔隙類型以原生粒間孔為主，孔隙發(fā)育，分布均勻；低孔隙度砂巖孔隙類型以粒間溶孔為主(圖3d—e)，由于壓實作用強烈，顆粒接觸較緊密，孔隙不發(fā)育.

表1 樣品基本信息Table 1 Sample description

2.2 實驗過程

為了研究不同孔隙類型流體以及流體黏度的影響，本文分別選用水、3#白油、7#白油、15#白油和甘油(表2)作為飽和流體，其中白油為物理性質(zhì)接近煤油的礦物油，密度介于0.831～0.883 g·cm-3之間，運動黏度為(50 ℃)5.7～26 mm-2·s-1，并且耐酸、光和熱.相較于煤油，白油更適用于實驗室條件.本文所選用的3#、7#和15#白油，其密度約為0.83 g·cm-3，黏度分別為水的2倍、5倍和10倍；甘油是一種黏度和密度均較大的流體，密度約為1.26 g·cm-3，黏度為水的1500倍.本文選用甘油作為飽和流體的主要目的是研究流體黏度較大情況下，孔隙流體對速度頻散和衰減的影響.由于測試樣品的制備過程復(fù)雜(龍騰等，2020)，且在拆裝過程中可能會出現(xiàn)樣品損壞，樣品質(zhì)量減少，孔隙被堵塞等情況，我們盡量減少對同一樣品反復(fù)拆裝，具體的低頻實驗飽和流體情況如表3所示.

表2 孔隙流體物理屬性Table 2 Physical properties of the pore fluids

表3 樣品低頻實驗飽和流體情況Table 3 Low frequency saturated fluid status of samples

實驗整體可分為三個階段：預(yù)處理-超聲實驗-低頻實驗.預(yù)處理時需要對巖石樣品進行切割、打磨、洗油等，使樣品的尺寸和平整度滿足實驗要求，同時排除地層殘余流體的影響.進行流體飽和之前通常需將巖石樣品置于60～80 ℃的烘箱48 h以上，再取出置于空氣中24 h，達到與環(huán)境濕度一致的程度(約含2%～3%的水分).通過加壓飽和或真空飽和的方式對巖石樣品進行流體飽和后，利用AutoLab 1000實驗系統(tǒng)進行1 MHz超聲縱橫波速度測試.實驗中，圍壓的壓力范圍5 MPa到40 MPa，每隔5 MPa記錄一次，壓力點之間間隔30 min至5 h.持續(xù)時間的長短取決于樣品的滲透性和飽和流體的黏度.流體黏度越高，達到孔隙壓力平衡所需的時間就越長.完成超聲縱橫波速度測試后對樣品重新進行洗油、烘干、飽和流體再進行低頻應(yīng)力-應(yīng)變實驗，低頻實驗中有效壓力范圍5 MPa到20 MPa，在每個有效壓力下，進行兩到三次1 Hz～3 kHz的應(yīng)力-應(yīng)變測量，并用式(1—3)計算樣品的楊氏模量、泊松比和衰減.

3 實驗結(jié)果

3.1 高頻實驗結(jié)果

三塊中孔隙度砂巖和兩塊低孔隙度砂巖在干燥條件下分別表現(xiàn)出相似的壓力依賴性(圖4)：中孔隙度砂巖縱橫波速度隨圍壓的增加而增加，而當(dāng)壓力達到某一臨界值后，該增加趨勢趨于平緩；而低孔隙度砂巖縱橫波速度隨圍壓的增加而增加，未見轉(zhuǎn)平的趨勢.這些速度-壓力曲線表明了不同有效壓力下巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)的變化，并且可以根據(jù)壓力相關(guān)的速度數(shù)據(jù)，估計出巖石軟孔隙縱橫比的分布(Walsh, 1965; Deng et al.，2015; Subramaniyan et al.，2014; Pimienta et al., 2015a; Yin et al.，2017；歐陽芳等，2021a).在飽和水后，巖石的縱波速度顯著增加，而橫波速度變化不明顯，其原因在于孔隙中液體的存在增大了巖石的孔隙壓力及巖石整體的彈性模量，從而導(dǎo)致巖石的縱波速度增大；而盡管流體不傳播橫波，但孔隙流體會引起巖石密度增加，因此橫波速度略有下降.此外，對于低孔隙度砂巖樣品，其橫波速度在飽水前后變化較小.

圖4 巖石樣品超聲速度隨壓力變化曲線(a) 64#中孔隙度砂巖樣品; (b) 30#低孔隙度砂巖樣品.Fig.4 Variation curve of ultrasonic velocity with pressure for rock samples(a) 64# conventional sandstone sample; (b) 30# tight sandstone sample.

(圖5續(xù))

3.2 低頻實驗結(jié)果

中孔隙度砂巖在飽和水、3#白油、7#白油條件下1～3 kHz范圍內(nèi)楊氏模量、泊松比、衰減以及楊氏模量的增量如圖5(a—c)所示，從圖中可以看出：楊氏模量一般隨頻率的增加而增加，且隨著壓力的增大，楊氏模量增加，衰減量和頻散程度逐漸減弱.在低有效壓力下衰減有明顯的峰值，增加有效壓力抑制了頻散和衰減，有效壓力增加到20 MPa時，楊氏模量的頻散變得不明顯且衰減變得可以忽略.飽水樣品的頻散很小，飽和7#白油樣品的頻散程度最大，飽和3#白油樣品的頻散大小介于兩者之間.從楊氏模量的增量曲線可以看出，頻散梯度的大小與流體黏度呈正相關(guān)，即流體黏度越大，頻散梯度越大.從衰減曲線中可以看出，特征頻率飽水時(約400 Hz)>飽和3#白油(約200 Hz)>飽和7#白油(約100 Hz)，即特征頻率隨流體黏度的增加而減小(Batzle et al.，2006).

圖5 楊氏模量和衰減在地震頻段的測量結(jié)果(a) 52#樣品飽和水; (b) 64#樣品飽和3#白油; (c) 65#樣品飽和7#白油; (d) 31#樣品飽和水; (e)30#樣品飽和15#白油; (f) 30#樣品飽和甘油.Fig.5 Measurement results of Young′s modulus and attenuation in seismic frequency band(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

低孔隙度砂巖在飽和水、15#白油、甘油條件下1～3 kHz范圍內(nèi)楊氏模量、泊松比、衰減以及楊氏模量的增量如圖5(d—f)所示，除飽和甘油情況外，另兩種情況下樣品整體表現(xiàn)出與中孔隙度砂巖一致的規(guī)律.飽和甘油條件下，曲線呈線性增長趨勢，楊氏模量的頻散程度和衰減值很大，特征頻率移動至10 Hz以內(nèi).此外需要注意的是在模量頻散曲線和衰減曲線中會有一些異常的數(shù)據(jù)點，這些數(shù)據(jù)點是由于低頻測量系統(tǒng)的共振效應(yīng)產(chǎn)生(Sun et al.，2018)，Batzle等(2006)也觀測到了類似的異常數(shù)據(jù)點.

為了更好地觀察飽和不同黏度流體時頻散梯度的大小，我們以測量起始頻率1 Hz時的楊氏模量為標(biāo)準(zhǔn)，計算了5 MPa下各個樣品的歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)，由圖6ab可見，在中孔隙度砂巖和低孔隙度砂巖中流體黏度與頻散梯度均呈正相關(guān)關(guān)系，即黏度越大，頻散梯度越大.并且兩組實驗中飽和水時的歸一化參數(shù)在趨勢上相近，于是我們將六組數(shù)據(jù)繪制在同一張圖(圖6c)中，可以進一步驗證流體黏度與頻散梯度的正相關(guān)關(guān)系.這意味著，我們可以將歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)作為儲層流體識別的有效指示因子之一，通過流體黏度來進行儲層流體識別.但在有效壓力增加的過程中，除飽和甘油曲線外，其余各曲線斜率均有不同程度減小，意味著流體黏度的影響在減弱.有效壓力較高時(圖6d)，流體黏度便不再是速度頻散的主要影響因素，此時利用歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)的差異進行流體識別將會存在一定的難度.

圖6 歸一化參數(shù)圖(a) 中孔隙度砂巖5 MPa； (b) 低孔隙度砂巖5 MPa； (c) 5 MPa匯總； (d) 20 MPa匯總.Fig.6 Normalized parameter diagram(a) Medium porosity sandstone 5MPa; (b) Low porosity sandstone 5 MPa; (c) 5 MPa summary; (d) 20 MPa summary.

4 實驗解釋與模型拓展

4.1 利用現(xiàn)有理論模型解釋實驗結(jié)果

Gassmann方程在巖石物理理論、實驗研究及生產(chǎn)實際中應(yīng)用廣泛，可以由巖石干骨架的體積(剪切)模量，巖石基質(zhì)顆粒的體積模量，孔隙中充填流體的體積模量得到飽和流體巖石的體積(剪切)模量，表達式如下：

(4)

其中，Ksat、Km、Kdry分別為飽和巖石、基質(zhì)顆粒、巖石干骨架的體積模量，μsat、μdry分別為飽和巖石、巖石骨架的剪切模量，φ為孔隙度，Kfl為孔隙中充填流體的體積模量.Gassmann方程難以解釋巖石彈性性質(zhì)的頻散及衰減，Biot進一步考慮巖石骨架與孔隙流體之間的黏性和慣性作用，推導(dǎo)出與頻率有關(guān)的飽和流體巖石彈性性質(zhì)，低頻極限下的彈性性質(zhì)與Gassmann方程的預(yù)測相同，具體表達式見附錄A，其特征頻率為：

(5)

其中，κ、ρfl、η分別為樣品的滲透率、流體的密度和黏度.Dvorkin和Nur(1993)將宏觀Biot機制與微觀噴射機制結(jié)合，建立了BISQ模型，具體表達式見附錄B.Gurevich等(2010)假設(shè)巖石孔隙空間中含有兩種孔隙，即軟孔和硬孔，在考慮了軟孔與硬孔之間噴射流效應(yīng)的條件下，形成了模擬孔隙尺度局部流體流動的噴射流模型，具體表達式見附錄C，其特征頻率為：

(6)

其中，γ為巖石中主要的微裂隙縱橫比.本文應(yīng)用現(xiàn)有的經(jīng)典巖石物理模型：Biot模型、噴射流模型、BISQ模型和Gassmann方程分別對巖樣中地震波頻散進行了模擬，模型所需的參數(shù)如表4，再與64#樣品飽和3#白油的實測數(shù)據(jù)進行對比，如圖7所示.其中，Biot模型的特征頻率出現(xiàn)在高頻段，超出實驗有效觀測范圍，在觀測范圍內(nèi)與Gassmann方程表現(xiàn)一致，并沒有明顯的頻散；BISQ模型頻散的程度相對較小，趨勢上也不能與實測數(shù)據(jù)對應(yīng)；噴射流模型能夠得到在地震頻段中隨頻率近似線性遞增的頻散趨勢，這與多數(shù)低頻測量數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的趨勢較為吻合，但經(jīng)典的噴射流模型距離表征低頻實驗數(shù)據(jù)還有一定的差距.

表4 模型所需物理參數(shù)Table 4 Physical parameters required for the model

圖7 幾種理論模型與實測數(shù)據(jù)對比圖(a) 縱波速度; (b) 橫波速度.Fig.7 Comparison diagram of several theoretical models and measured data(a) P-wave velocity; (b) S-wave velocity.

由公式(5)(6)可以看出，流體黏度對于Biot理論和噴射流機制特征頻率的作用是相反的，Biot理論認(rèn)為流體黏度增大，特征頻率向高頻方向移動；噴射流機制認(rèn)為流體黏度增大，特征頻率向低頻移動.由實驗結(jié)果來看，隨著流體黏度的增大，特征頻率有向低頻移動的趨勢，與噴射流機制的解釋一致(Yang等,2020).這是因為噴射流發(fā)生的關(guān)鍵因素是波在傳播過程中，在半個周期內(nèi)孔隙壓力難以在軟孔和硬孔之間平衡，流體黏度增大時，就會表現(xiàn)出顯著的噴射流效應(yīng).在本文中，實驗的結(jié)果與國內(nèi)外學(xué)者的實驗研究一致(Batzle et al.，2006；Mikhaltsevitch et al.，2011；Subramaniyan et al.，2014；Yin et al.，2017)，可以證實噴射流機制適用于在微觀尺度下描述流體流動對巖石彈性模量的影響.基于此，本文以本課題組歐陽芳等(2021b)提出的擴展Gurevich噴射流模型為理論基礎(chǔ)，對實驗數(shù)據(jù)進行解釋與匹配.

4.2 擴展的噴射流模型

經(jīng)典Gurevich噴射流模型中只考慮了一種縱橫比的軟孔隙與硬孔隙之間的噴射流效應(yīng)(圖8a)，但實際上巖石中的軟孔隙縱橫比是多種多樣的(圖8b)，而且不同縱橫比的軟孔隙與硬孔隙之間的噴射流效應(yīng)對巖石彈性性質(zhì)產(chǎn)生的貢獻不同，巖石受到的是全部軟孔隙噴射流效應(yīng)的綜合影響.Deng等(2015)在Gurevich理論中單一軟孔隙縱橫比的基礎(chǔ)上，考慮巖石中所有的軟孔隙的縱橫比呈一定范圍內(nèi)連續(xù)分布的狀態(tài)，對噴射流模型進行了改進(圖8c).該模型以α=0.01作為軟硬孔隙的分界，采用單一硬孔隙縱橫比，迭代加入具有不同孔隙縱橫比的軟孔隙.然而實際巖石的孔隙類型復(fù)雜，僅用單一縱橫比來表征硬孔隙也不能全面的反映實際情況，De Paula等(2012)提出將硬孔隙分為縱橫比接近1的圓孔和孔隙縱橫比大于0.01但遠(yuǎn)小于1的中尺度孔隙.當(dāng)中尺度孔隙、軟孔隙和硬孔隙并存時，會出現(xiàn)軟孔隙與中尺度孔隙之間、軟孔隙與硬孔隙之間和中尺度孔隙與硬孔隙之間的噴射流.在此基礎(chǔ)上，我們認(rèn)為當(dāng)?shù)趇種軟孔隙產(chǎn)生噴射流時，會將流體擠入比該種軟孔隙縱橫比大的所有孔隙中(包含軟孔隙與硬孔隙)，見圖8d；隨后該種軟孔隙閉合，縱橫比更大的軟孔隙開始發(fā)生噴射流作用，見圖8e.歐陽芳等(2021b)基于此得到的擴展模型不僅描述了微裂隙與硬孔之間的局部流體流動，還依據(jù)孔隙縱橫比的大小加入了N種微裂隙之間的噴射流效應(yīng)(圖8f).

圖8 巖石“濕骨架”建模示意圖(a) 經(jīng)典Gurevich模型-單一軟孔隙縱橫比噴射流； (b) 巖石中多種縱橫比孔隙分布； (c) 含 一定分布的軟孔隙及單一縱橫比的硬孔隙噴射流； (d) 第i種縱橫比軟孔隙發(fā)生噴射流； (e) 第i種縱橫比軟孔隙閉合后，縱橫比更大的軟孔隙發(fā)生噴射流； (f) 擴展的噴射流模型，考慮軟孔隙之間噴射流效應(yīng).Fig.8 Schematic diagram of building “wet-frame” of rock(a) Classical Gurevich model of squirt flow from a single soft pore aspect ratio; (b) Pore distribution in rock with multiple aspect ratios; (c) Squirt flow from soft pores with a certain distribution and stiff pores with a single aspect ratio; (d) Squirt flow from the ith aspect ratio soft pore; (e) Squirt flow from a larger aspect ratio soft pore after the closure of the ith aspect ratio soft pore (f) Extended squirt flow model that takes into account squirt flow effects between soft pore spaces.

擴展噴射流模型中迭代求取濕骨架模量時，假設(shè)巖石中僅含有一種孔隙縱橫比為αc的微裂隙，其孔隙度為φc，則在有效壓力P下，此種微裂隙的體積壓縮系數(shù)Cp(P)滿足(Zimmerman, 1991)

φc(P)Cp(P)=1/Kd(P)-1/Kh，

(7)

Kd(p)和φc(p)分別為有效壓力p下的干燥巖石體積模量和軟孔隙孔隙度；而Kh為在極高有效壓力作用下所有軟孔隙閉合而使巖石骨架僅含有硬孔隙時等效基質(zhì)的體積模量.將式(7)代入Gurevich濕骨架的體積模量Kmf(P,ω)(附錄B1)中，可得：

(8)

(9)

(10)

其中，αc為微裂隙的特征孔隙縱橫比，ω為角頻率，η和Kf分別為孔隙流體的黏度和體積模量；J0和J1分別表示0階和1階貝塞爾函數(shù).對于存在N種微裂隙的情形，我們可以得到相應(yīng)的推廣公式，即

(11)

式中，φn(P)，αn(P)和Cpn(P)表示有效壓力P下第n種微裂隙的孔隙度、縱橫比和體積壓縮系數(shù)，其中φn和αn可以從干燥巖石的超聲速度-壓力數(shù)據(jù)中反演得到，具體反演方法參見附錄D.對于孔隙壓縮系數(shù)Cp n，我們可以利用如下關(guān)系計算得到(Zimmerman, 1991; David and Zimmerman, 2012)

(12)

(13)

最后將式(13)代入式(11)中得到擴展后Gurevich濕骨架模型

(14)

將計算的Kmf代入Biot理論就可以得到速度頻散和衰減曲線.

4.3 利用擴展的噴射流模型解釋實驗結(jié)果

基于巖石樣品干燥高頻數(shù)據(jù)可以反演得到軟孔孔隙縱橫比和孔隙度分布(圖9)從圖中可以看出，中孔隙度砂巖樣品(圖9a)的軟孔孔隙縱橫比分布范圍為0～0.002，其中孔隙縱橫比介于0～0.001之間的軟孔體積含量最高；隨著有效壓力的增加，巖石中的軟孔隙逐漸閉合，軟孔隙度隨之減小，開口較小(孔隙縱橫比較大)的孔隙逐漸減小甚至消失.低孔隙度砂巖相較于中孔隙度樣品，其軟孔孔隙度更小、隨有效壓力的變化更小，其中孔隙縱橫比介于0～0.001之間的軟孔體積含量最高.

圖9 樣品軟孔隙孔隙度分布(a) 64#中孔隙度砂巖樣品; (b) 30#低孔隙度砂巖樣品.Fig.9 Distribution of soft porosity porosity of samples(a) 64# medium porosity sandstone samples; (b) 30# low porosity sandstone samples.

將上述反演得到的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)代入擴展的噴射流模型中，可以預(yù)測出不同流體飽和條件下巖石樣品的楊氏模量頻散和衰減曲線.在對比模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)時，我們進行了三個方面的對比：

(1)數(shù)值的直接對比，圖10為樣品的實驗數(shù)據(jù)與模型預(yù)測結(jié)果的對比.模型預(yù)測的楊氏模量和衰減表現(xiàn)出與實驗數(shù)據(jù)一致的壓力依賴性，即隨壓力的增加表現(xiàn)出頻散程度與衰減量均減小的現(xiàn)象.從衰減曲線可以看出，特征頻率隨流體黏度的增加而減小.中孔隙度砂巖(圖10a—c)的模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)在部分?jǐn)?shù)據(jù)點處存在數(shù)值上的差異但總體吻合較好，且特征頻率基本一致；低孔隙度砂巖的吻合情況并不理想，模型預(yù)測結(jié)果略高于實驗數(shù)據(jù).由此可見，擴展的噴射流模型考慮了多種孔隙間的流體流動，相比經(jīng)典Gurevich噴射流模型與實驗數(shù)據(jù)更吻合，可能是由于甘油的填充放大了空間不均勻性的影響，造成飽和甘油的數(shù)據(jù)與模型預(yù)測的結(jié)果差距很大.(2)為了觀察實驗數(shù)據(jù)與模型預(yù)測結(jié)果趨勢上的規(guī)律，我們以測試最高頻率3 kHz時的楊氏模量為標(biāo)準(zhǔn)，分別計算了歸一化楊氏模量E(f)/E(3 kHz)(圖11).可以發(fā)現(xiàn)除飽和甘油條件的曲線外，歸一化后的實驗數(shù)據(jù)與模型預(yù)測結(jié)果吻合情況更好，尤其是低孔隙度砂巖實測值與預(yù)測值的吻合情況得到明顯改善(圖11(d—e))，這也能說明擴展的理論模型與實際測量在趨勢上保持一致，可以用來描述不同流體飽和條件下的頻散規(guī)律.

圖10 楊氏模量和衰減測量與模型預(yù)測結(jié)果對比(a) 52#樣品飽和水; (b) 64#樣品飽和3#白油; (c) 65#樣品飽和7#白油; (d) 31#樣品飽和水; (e) 30#樣品飽和15#白油; (f) 30#樣品飽和甘油.Fig.10 Comparison of Young′s modulus and attenuation measurements with rock physics model(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

圖11 歸一化的樣品實驗測量與巖石物理模型計算楊氏模量結(jié)果對比(a) 52#樣品飽和水; (b) 64#樣品飽和3#白油; (c) 65#樣品飽和7#白油; (d) 31#樣品飽和水; (e) 30#樣品飽和15#白油; (f) 30#樣品飽和甘油.Fig.11 Comparison of normalized Young′s modulus of experimental measurement and normalized result from rock physics model of sample(a) 52# samples saturated with water; (b) 64# samples saturated with 3# white oil; (c) 65# samples saturated with 7# white oil; (d) 31# samples saturated with water; (e) 30# samples saturated with 15# white oil; (f) 30# samples saturated with glycerol.

(3)為了驗證流體黏度對于頻散的影響，我們以測量起始頻率1 Hz時的楊氏模量為標(biāo)準(zhǔn)分別計算了模型預(yù)測結(jié)果的歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)，由圖12可以看出，模型預(yù)測結(jié)果與實測結(jié)果的規(guī)律保持一致，即除飽和甘油的曲線外，流體黏度越大，頻散梯度越大.

圖12 歸一化參數(shù)模型預(yù)測與實驗數(shù)據(jù)對比(a) 中孔隙度砂巖； (b) 低孔隙度砂巖.Fig.12 Comparison of normalized parameter model predictions and experimental data(a) Medium porosity sandstone; (b) Low porosity sandstone.

5 結(jié)論與認(rèn)識

本文應(yīng)用低頻應(yīng)力-應(yīng)變測試系統(tǒng)在1 Hz～3 kHz的頻率范圍內(nèi)測量了2塊低孔隙度砂巖、3塊中孔隙度砂巖飽和不同黏度流體(水、白油、甘油)時的楊氏模量、泊松比和衰減.從實驗結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)：(1)兩種砂巖樣品都表現(xiàn)出壓力依賴性，即隨著壓力增加，楊氏模量增加，衰減量和頻散程度逐漸減弱；(2)頻散梯度的大小與流體黏度呈正相關(guān)，即流體黏度越大，頻散梯度越大；(3)從衰減曲線上可以看出，特征頻率隨流體黏度增大而減小.

利用現(xiàn)有理論模型(Biot模型、噴射流模型、BISQ模型以及Gassmann方程)并不能很好地解釋實驗數(shù)據(jù)，同時對比Biot模型和噴射流模型關(guān)于特征頻率的計算公式發(fā)現(xiàn)，實驗數(shù)據(jù)的趨勢(流體黏度增大，特征頻率向較低頻率移動)與噴射流機制的解釋一致.于是利用擴展Gurevich噴射流模型對實驗數(shù)據(jù)進行解釋，發(fā)現(xiàn)：(1)模型基于巖石孔隙均勻分布假設(shè)，所以相較于低孔隙度砂巖，中孔隙度砂巖模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)數(shù)值上吻合更好；(2)通過歸一化模量E(f)/E(3 kHz)可以看出低孔隙度砂巖模型預(yù)測結(jié)果的趨勢與實驗數(shù)據(jù)是一致的，這也能說明擴展的理論模型可以用來描述不同流體飽和條件下的頻散規(guī)律；(3)進一步計算歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)驗證了實驗數(shù)據(jù)中觀測到的流體黏度與頻散梯度正相關(guān)關(guān)系.

這些實驗觀測和模型預(yù)測的結(jié)果對于定量地震解釋和儲層預(yù)測有重要的意義，其中歸一化參數(shù)E(f)/E(1 Hz)可以在較低有效壓力的條件下定性識別儲層流體黏度，在時移地震分析、流體預(yù)測和儲層監(jiān)測中具有潛在的應(yīng)用和重要的意義.

附錄A Biot理論表達式

Biot理論考慮巖石骨架與孔隙流體之間的黏性和慣性作用，低頻極限下的彈性性質(zhì)與Gassmann方程的預(yù)測相同.Stoll(1977)、Berryman(1980)給出Biot方程的縱、橫波速度解為

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

其中，Kdry、μdry分別為巖石干骨架的體積模量、剪切模量；Km為巖石基質(zhì)顆粒的體積模量；ω為平面波的角頻率；Jn()是n階Bessel函數(shù)；α是曲折度；a是孔徑參數(shù).

附錄B BISQ模型表達式

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)

(B5)

(B6)

其中，R為特征射流長度，κ、ρs、ρfl、η分別為樣品的滲透率、密度和流體的密度、黏度，Kdry、Km和Kfl分別為巖石干骨架、巖石基質(zhì)和流體的體積模量，ω為平面波的角頻率，Jn()是n階Bessel函數(shù)；a是孔徑參數(shù).所有的輸入?yún)?shù)中，特征射流長度除外，都可實驗測量.

附錄C 噴射流模型表達式

Gurevich等(2010)假設(shè)巖石孔隙空間中含有兩種孔隙：軟孔隙φc和硬孔隙φs且φ=φs+φc≈φs，在考慮了軟孔隙與硬孔隙之間噴射流效應(yīng)的條件下，巖石“濕骨架”的彈性模量Kmf(p,ω)和μmf(p,ω)隨頻率與壓力變化的理論公式，如下所示：

(C1)

(C3)

μsat(p,ω)=μmf(p,ω)，

(C4)

附錄D 基于等效介質(zhì)理論的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)求取

為了得到微裂隙的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，即孔隙縱橫比、孔隙度和累積裂隙密度，這里我們采用歐陽芳等(2021a)提出的反演方法進行計算，裂隙密度的計算可以通過KT(Kuster Toks?z模型)、MT(Mori Tanaka模型)、DEM(Differential effective medium模型)、SC(Self-consistent模型)四種等效介質(zhì)理論實現(xiàn)，即：

(D1)

(D2)

(D3)

(D4)

(D5)

(D6)

(D7)

式中，K、G和υ表示體積模量、剪切模量和泊松比，其上標(biāo)*表示等效介質(zhì)，下標(biāo)b表示背景介質(zhì).按照壓力由高至低的順序，將干燥巖石的彈性模量KD(Pk),GD(Pk)和KD(Pk-1),GD(Pk-1)分別作為背景介質(zhì)和等效巖石的彈性模量依次代入式D1—D7中，反演裂隙密度Γ(Pk)；然后，在此基礎(chǔ)上求取累積裂隙密度，即

(D8)

于是，將上式代入如下公式中，便能獲得微裂隙的孔隙縱橫比分布：

(D9)

以及裂隙密度分布函數(shù)γ、孔隙度分布函數(shù)c以及微裂隙孔隙度φn：

(D10)

(D11)

φn(α)=c(α)dα.

(D12)