仲?lài)?guó)民 俞其樂(lè) 陳 強(qiáng)

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州 310023)

1 引言

非線性特性廣泛存在于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，為便于研究其變化規(guī)律，需要用數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)所研究的物理現(xiàn)象或過(guò)程進(jìn)行定量分析，因此非線性系統(tǒng)辨識(shí)問(wèn)題受到越來(lái)越多的關(guān)注。非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以采用統(tǒng)一模型進(jìn)行描述，在過(guò)去的幾十年里，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要致力于較普遍的塊結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)辨識(shí)[1]。塊結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)可以分為非線性靜態(tài)部分和線性動(dòng)態(tài)部分，分別用非線性函數(shù)和線性函數(shù)來(lái)表示其特性[2]。其中，維納(Wiener)系統(tǒng)、哈默斯坦(Hammerstein)系統(tǒng)及其組合形式是應(yīng)用最廣泛的配置。哈默斯坦系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于模擬連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器、pH中和過(guò)程、蒸餾塔、液壓自動(dòng)發(fā)電量控制系統(tǒng)、多傳感器系統(tǒng)等非線性過(guò)程或系統(tǒng)[3,4]。它由1個(gè)非線性靜態(tài)函數(shù)串聯(lián)和1個(gè)線性動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)構(gòu)成，其中哈默斯坦受控自回歸滑動(dòng)平均模型(Controlled AutoregRessive Moving Average model, CARMA)系統(tǒng)的具體形式描述如圖1所示。

圖1 哈默斯坦系統(tǒng)CARMA模型

針對(duì)哈默斯坦系統(tǒng)的辨識(shí)問(wèn)題，已開(kāi)展較多研究工作，如子空間辨識(shí)法[5–8]、過(guò)參數(shù)化法[9,10]、最小二乘法[11]、極大似然法[12]、非參數(shù)核回歸估計(jì)[13,14]、分?jǐn)?shù)階法[15]、基于特殊輸入信號(hào)的方法[16]和相關(guān)分析方法[17]等。文獻(xiàn)[16]提出一種識(shí)別哈默斯坦非線性過(guò)程的方法，該方法利用一個(gè)特殊的測(cè)試信號(hào)，能夠識(shí)別出哈默斯坦系統(tǒng)由1個(gè)非線性靜態(tài)函數(shù)和1個(gè)線性動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)組成。針對(duì)哈默斯坦非線性帶外部輸入的自回歸滑動(dòng)平均模型(Autoreg-Ressive Moving Average model with eXogenous Input, ARMAX)，文獻(xiàn)[18]提出了一種迭代梯度算法。上述方法均是假設(shè)靜態(tài)非線性特性為子函數(shù)多項(xiàng)式的組合前提下，針對(duì)定常哈默斯坦系統(tǒng)開(kāi)展的研究?，F(xiàn)有帶遺忘因子遞推算法[19]、塊脈沖函數(shù)法[20]等能夠提高時(shí)變參數(shù)跟蹤性能；迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)算法[21,22]有效解決了時(shí)變參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。鑒于塊結(jié)構(gòu)時(shí)變非線性系統(tǒng)辨識(shí)方面的研究尚少，本文將迭代學(xué)習(xí)方法進(jìn)一步運(yùn)用于基于塊結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)辨識(shí)。

本文提出一種加權(quán)迭代學(xué)習(xí)辨識(shí)的方法，其動(dòng)機(jī)是已有系統(tǒng)辨識(shí)算法加權(quán)修正的思想[23]。當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在有限區(qū)間上重復(fù)運(yùn)行時(shí)，沿重復(fù)軸來(lái)看，固定時(shí)刻對(duì)應(yīng)的參數(shù)是相對(duì)固定的，可以采用迭代學(xué)習(xí)算法估計(jì)時(shí)變參數(shù)。但由于實(shí)際中存在非重復(fù)初始條件和外部干擾，一致重復(fù)運(yùn)行并不是總能保證的。因此，為提高參數(shù)估計(jì)精度和系統(tǒng)跟蹤效果，將時(shí)間軸上加權(quán)矩陣方法推廣運(yùn)用于沿重復(fù)軸上的修正，構(gòu)建加權(quán)迭代學(xué)習(xí)算法。

本文考慮有限區(qū)間上重復(fù)運(yùn)行的哈默斯坦非線性時(shí)變系統(tǒng)，借助哈默斯坦定常系統(tǒng)辨識(shí)方法，采用輔助模型方法[24]，推導(dǎo)出哈默斯坦非線性時(shí)變系統(tǒng)基于“重復(fù)軸”的迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法。同時(shí)，為避免數(shù)據(jù)飽和，引入遺忘因子，推導(dǎo)出帶遺忘因子迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步改進(jìn)準(zhǔn)則函數(shù)，引入權(quán)矩陣，探索一種加權(quán)迭代學(xué)習(xí)最小二乘(Weighted Iterative Learning Least Squares, WILLS)的辨識(shí)方法，并將該算法運(yùn)用于時(shí)變哈默斯坦模型的辨識(shí)研究，其優(yōu)點(diǎn)是達(dá)到一定辨識(shí)精度的條件下，迭代次數(shù)少，輸出誤差小且穩(wěn)定性好。

2 問(wèn)題描述

考慮如式(1)所述有限區(qū)間上重復(fù)運(yùn)行的單輸入單輸出離散時(shí)變哈默斯坦系統(tǒng)

3 哈默斯坦非線性時(shí)變系統(tǒng)的加權(quán)學(xué)習(xí)辨識(shí)

3.1 迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法

針對(duì)重復(fù)運(yùn)行的哈默斯坦時(shí)變系統(tǒng)，考慮如式(19)的極小化準(zhǔn)則函數(shù)

3.2 帶遺忘因子的迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法

為避免數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，增加新數(shù)據(jù)的權(quán)重，加快跟蹤誤差收斂速度及精度，在上述算法的基礎(chǔ)上引入遺忘因子λ，考慮如式(30)的準(zhǔn)則函數(shù)

3.3 加權(quán)迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法

上述兩類(lèi)算法能獲得參數(shù)的一致估計(jì)，但對(duì)初始條件的一致性要求苛刻，且跟蹤精度有進(jìn)一步提升的空間，下面提出一種加權(quán)的迭代學(xué)習(xí)算法以獲得更優(yōu)跟蹤效果和辨識(shí)精度。為了得到參數(shù)θk(t)的估計(jì)，考慮如式(40)的準(zhǔn)則函數(shù)[21]

4 數(shù)值算例

表1 采用加權(quán)迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)流程圖

加權(quán)迭代學(xué)習(xí)算法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如圖2所示，3種算法的模型輸出誤差和參數(shù)估計(jì)誤差如圖3和圖4所示。仿真結(jié)果表明，加權(quán)迭代學(xué)習(xí)算法可以有效估計(jì)模型的時(shí)變參數(shù)。在迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法的基礎(chǔ)上引入遺忘因子可以改善模型輸出誤差和參數(shù)估計(jì)誤差?？紤]如式(40)的準(zhǔn)則函數(shù)，引入加權(quán)矩陣，可以進(jìn)一步降低模型輸出誤差，提高辨識(shí)精度，尤其在達(dá)到某一確定的參數(shù)估計(jì)誤差或模型輸出誤差時(shí)，迭代次數(shù)明顯減少，同時(shí)該算法可獲得更好的辨識(shí)效果。

圖2 采用加權(quán)迭代學(xué)習(xí)最小二乘算法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖3 采用3種不同算法的模型輸出誤差比較

圖4 采用3種算法的參數(shù)估計(jì)誤差比較

5 結(jié)論

對(duì)于Harmmerstein非線性時(shí)變系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文提出加權(quán)學(xué)習(xí)辨識(shí)算法，推導(dǎo)了重復(fù)運(yùn)行條件下的迭代學(xué)習(xí)最小二乘法、帶遺忘因子迭代學(xué)習(xí)最小二乘法和加權(quán)迭代學(xué)習(xí)最小二乘法。在重復(fù)持續(xù)激勵(lì)條件下，仿真結(jié)果顯示加權(quán)學(xué)習(xí)辨識(shí)算法可以實(shí)現(xiàn)時(shí)變參數(shù)的完全估計(jì)。與現(xiàn)有辨識(shí)算法相比，本文算法進(jìn)一步提高了時(shí)變參數(shù)的估計(jì)精度，提高了算法的跟蹤性能，在達(dá)到一定辨識(shí)精度下，加權(quán)算法可以減少重復(fù)運(yùn)行的次數(shù)。