□廣州市黃埔區(qū)黃陂小學(xué) 莊琪

教育部提出的立德樹人的根本任務(wù)，是把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，是許多教師的目標(biāo)。雖然不容易實(shí)施，但只要教師潛心教育，用心實(shí)施，一定能促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

2014 年3 月，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》印發(fā)，提出“各級(jí)各類學(xué)校要從實(shí)際情況和學(xué)生特點(diǎn)出發(fā)，把核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求落實(shí)到各學(xué)科教學(xué)中”。史寧中教授在《推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革》報(bào)告中指出，“學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上”?！皵?shù)學(xué)核心素養(yǎng)”一詞也成為廣大數(shù)學(xué)教師耳熟能詳?shù)脑~，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》明確提出了10 個(gè)核心素養(yǎng)，但卻沒有加以闡釋。馬云鵬教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)不是指具體的知識(shí)與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。

核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性?！薄抖Y記》中提到“君子之教，喻也。道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)。道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開而弗達(dá)則思。和易以思，可謂善喻矣?！薄吧朴鳌钡莱隽私處煹摹敖獭钡淖罡呔辰纭虒W(xué)生悟思想，教師的“舉一”，學(xué)生學(xué)會(huì)“反三”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生知識(shí)——授之以魚，教學(xué)生解題方法——授之以漁，這些都可考查，可評(píng)價(jià)。授之以“喻”較前兩樣來說難多了，要靠學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中只可意會(huì)、不可言傳地悟出來?！坝鳌睂?duì)于一線教師來說就是要重視數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。如何培養(yǎng)學(xué)生的思想是需要教師在課堂教學(xué)中解決的一個(gè)難題。史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界（以下簡(jiǎn)稱“三會(huì)”），數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的確定要基于這個(gè)目標(biāo)。下面，筆者以人教版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“植樹問題”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)廣角中培養(yǎng)學(xué)生思想的一點(diǎn)見解。

一、設(shè)懸念，以疑促思

“學(xué)起于思，思源于疑”思維總是由于問題引起的，問題是思維的原動(dòng)力?，F(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)有多種途徑，學(xué)生不再是白紙一張，而是擁有不同的見解。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的思考，也是教師需要考慮的問題。課堂伊始，教師開門見山地拋出問題“對(duì)于植樹問題，你已經(jīng)知道些什么？你有什么問題？”“你知道其中的數(shù)學(xué)思想方法嗎？”個(gè)別學(xué)生在校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)了植樹問題的知識(shí)，但校外機(jī)構(gòu)的學(xué)習(xí)更多的是讓學(xué)生記住公式，進(jìn)行大量的解題訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握解題方法，對(duì)這部分知識(shí)能讓學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)思想方法并不重視。學(xué)生只知其然，卻不知其所以然，對(duì)所學(xué)內(nèi)容更多地處在“授之以魚”的狀態(tài)，只會(huì)依葫蘆畫瓢，解決和所學(xué)例題一樣的類型題，稍做變化，便束手無策。教師可以通過提問，激起學(xué)生的好奇心，如植樹問題還有什么我們不知道的數(shù)學(xué)思想方法呢？讓學(xué)生帶著問題開始數(shù)學(xué)的探究之旅。

二、拋難題，化繁為簡(jiǎn)

課本例題（見圖1）“同學(xué)們?cè)谌L100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”再通過學(xué)生的對(duì)話“每隔5 米栽1 棵，共栽100 ÷ 5=20（棵）”“對(duì)嗎？怎樣檢驗(yàn)?zāi)?？”得出畫線段圖檢驗(yàn)，“100 米太長了，可以先用簡(jiǎn)單的數(shù)試試。”看例題這樣的編排，不由得引發(fā)筆者的思考：例題為什么要用100 米的數(shù)據(jù)，不用20 米作為例題路長的數(shù)據(jù)？從20 米開始，接著再驗(yàn)證路長25 米、30 米……的植樹棵數(shù)，這樣不是由淺入深、循序漸進(jìn)教學(xué)嗎？這里蘊(yùn)含編者什么意圖？

圖1 教材例題圖

帶著這些疑問，筆者再次研讀《教師教學(xué)用書》，從書中可以找到編者的意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，初步體會(huì)解決植樹問題的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中探索解決問題有效方法的能力。植樹問題還承載著學(xué)生“化繁為簡(jiǎn)”“數(shù)形結(jié)合”“一一對(duì)應(yīng)”“數(shù)學(xué)建?！焙屯评淼葦?shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)來源于生活。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程，是一個(gè)把教材知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為自身數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。100 米的小路植樹比20 米更接近于生活實(shí)際，學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行畫圖驗(yàn)證時(shí)，會(huì)覺得100 米數(shù)據(jù)太大，不好畫圖，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生迫切要改小數(shù)據(jù)的欲望，讓學(xué)生從解決生活實(shí)際問題中融會(huì)貫通：碰到不能或不容易用已有的知識(shí)解決問題時(shí)，嘗試著把問題轉(zhuǎn)化成已學(xué)或比較容易解決的問題，再進(jìn)行解決。如果用較小的數(shù)據(jù)20 米、30 米……枚舉驗(yàn)證，降低了難度，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生體會(huì)不到化繁為簡(jiǎn)應(yīng)用于解決問題的妙處，難于達(dá)成化歸思想的滲透。

化歸思想是數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的一種策略和藝術(shù)，也是人人應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如果說數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，那么可以不夸張地說化歸思想就是數(shù)學(xué)思想的核心，是數(shù)學(xué)思想的精髓?；瘹w思想，是將一個(gè)問題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由陌生化熟悉，由抽象化具體的過程。化繁為簡(jiǎn)是化歸思想一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中都會(huì)用到。但平時(shí)的課堂中學(xué)生更多地處于被動(dòng)接受的狀態(tài)，讓學(xué)生自發(fā)去做得相對(duì)少一些。在解讀教材的設(shè)計(jì)意圖后，筆者在設(shè)計(jì)例題時(shí)，特意把例題“同學(xué)們?cè)谌L100 米的小路一邊植樹”的數(shù)字由100 米調(diào)整為200 米。因?yàn)?00 米的數(shù)據(jù)不大不小，對(duì)學(xué)生來說畫20 格線段圖也不是一件麻煩的事情，但是改成200 米，要畫40 個(gè)格子學(xué)生就會(huì)覺得麻煩了，進(jìn)而逼著學(xué)生用更簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)來推出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律算出大的數(shù)據(jù)的結(jié)果。

教學(xué)片段：

“同學(xué)們?cè)谌L200 米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”

教師：預(yù)測(cè)一下，可能種幾棵樹？

學(xué)生1：我認(rèn)為40 棵。

學(xué)生2：我認(rèn)為41 棵。

學(xué)生3：我認(rèn)為39 棵。

教師：種樹的棵數(shù)與什么有關(guān)？

學(xué)生4：路長和間距有關(guān)。

教師：怎樣驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果？

學(xué)生（集體）：畫線段圖。

教師：怎么畫？畫200 米嗎？

學(xué)生5（搖頭）：太麻煩了，畫20 米。

教師：就只能畫20 米嗎？

學(xué)生：不是，可以畫15 米、30 米、40 米……

教師：為什么找15 米、20 米、30 米、40 米？

學(xué)生：這些數(shù)都是5 的倍數(shù)。

……

通過例題數(shù)據(jù)調(diào)整為較大的數(shù)據(jù)200 米，讓學(xué)生感到畫圖200 米存在困難，從而自覺地把大的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成較小的數(shù)據(jù)進(jìn)行解決，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的，也讓學(xué)生從中收獲到在遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)可以轉(zhuǎn)化成已有的知識(shí)或較為簡(jiǎn)單的問題進(jìn)行解決，達(dá)到授之以“喻”的教學(xué)效果。

三、解問題，數(shù)形結(jié)合

如果說化歸思想是數(shù)學(xué)思想的核心，是數(shù)學(xué)思想的精髓。數(shù)形結(jié)合就是化歸思想中實(shí)現(xiàn)從抽象化到具體的過程的重要橋梁。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解決問題中必不可少的思想方法?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休?！蔽覈鴶?shù)學(xué)家華羅庚道出數(shù)形結(jié)合的重要性。

學(xué)生用畫線段圖驗(yàn)證結(jié)果，就是數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解題意，驗(yàn)證方法。學(xué)生每個(gè)人都舉2～3 個(gè)數(shù)據(jù)例子，進(jìn)行畫圖嘗試，驗(yàn)證結(jié)果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)20 米的路長，4 個(gè)間隔，植樹5 棵（見圖2）；25米的路長，5個(gè)間隔，植樹6棵；30米的路長，6 個(gè)間隔，植樹7 棵……并根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成表格（見表1）。

圖2 學(xué)生探究過程圖

表1 學(xué)生探究過程表

通過數(shù)形結(jié)合，再讓學(xué)生在畫一畫、圈一圈，用一一對(duì)應(yīng)的方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)出兩端都栽的方法：

路長÷間距=間隔數(shù)；間隔數(shù)+1=棵數(shù)。

學(xué)生用總結(jié)出的規(guī)律求出：

200 ÷ 5=40；40+1=41（棵）。

對(duì)于抽象的植樹問題，學(xué)生通過畫一畫、圈一圈，用數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想方法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，降低了學(xué)習(xí)的難度，在解決問題中體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的方法帶來的成功和解決問題的樂趣。

四、促遷移，建立模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在前言中指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。由此可見，模型思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中有著重要的意義，模型思想的滲透能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)提升學(xué)生的思維抽象水平?！爸矘鋯栴}”最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，讓學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出植樹問題的模型是教學(xué)的難點(diǎn)。教材用形象的植樹線段圖過渡到抽象的線段圖教學(xué)，利用幾何直觀地幫助學(xué)生理解兩端都栽的植樹問題的模型，讓學(xué)生通過畫20 米、25 米……的線段圖，圈一圈棵數(shù)與間隔數(shù)，用數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)的思想方法發(fā)現(xiàn)棵數(shù)總比間隔數(shù)多1 的規(guī)律。學(xué)生抽象出兩端都栽的植樹問題的模型：間隔數(shù)+1=棵數(shù)，并能遷移運(yùn)用到公共汽車站（地鐵站）的設(shè)立，架設(shè)電線桿、路燈的安裝，爬樓梯、敲鐘、鋸木頭等問題上。用線段圖直觀地幫助學(xué)生理解植樹問題的模型思想，還有一大好處：學(xué)生能看圖得出兩端都栽植樹問題模型的逆運(yùn)用：（棵數(shù)-1）×間距=路長。當(dāng)學(xué)生建立起兩端都栽的植樹問題的模型后，兩端都不栽、一端栽另一端不栽、封閉曲線植樹問題都能根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行遷移，從而建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型。

五、結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想并非一蹴而就的事，需要教師潛心教學(xué)，用心培養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)思想融進(jìn)課堂，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。