趙文寧

【摘要】在解決多元問題或含有參數(shù)的問題時，如果以題設(shè)或者常用的變元法解答產(chǎn)生困難的時候，可根據(jù)題意條件視其他變元為“主元”，或合理使用參數(shù)，將參數(shù)與變元身份互換，視參數(shù)為“變元（主元）”，從而大大降低解題難度，快速解答出答案.用這樣的方法解題時稱之為“主元法”，以下從幾個方面舉例說明“主元法”在解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】主元法;多元問題;解題難度

1 因式分解

例1 （第21屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二2試15）將代數(shù)式x3+2a+1x2+（a2+2a-1）x+（a2-1）分解因式，得.

解析 x3+2a+1x2+a2+2a-1x+a2-1=x+1a2+2x2+2xa+x3+x2-x-1=x+1a2+2xx+1a+x2x+1-x+1=x+1（a2+2xa+x2-1）=x+1x+a+1x+a-1.

點(diǎn)評 在解答包含有比較多的字母代數(shù)題的時候，為了有效解答此類試題，可把試題中的某個字母作為“主元”，把試題中其他的字母當(dāng)成常數(shù)，即可將代數(shù)式轉(zhuǎn)化成有關(guān)“主元”的升冪或者降冪的排列后，再應(yīng)用分組分解法、提取公因式等法，或綜合的方法進(jìn)行解答.

2 求代數(shù)式的值

例2 （第24屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初三1試14）若實(shí)數(shù)x，y，z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立，并且z≠0，則2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz的值是.

解析 這里有三個變元x，y，z，可視z為參數(shù)，將兩個方程看作關(guān)于x，y的二元一次方程方程組，用z的式子分別表示x，y后，代入所求式求解.

2x+y+z=0①3x+2y+5z=0②，①×2-②

得x=3zy=-7z.

所以2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz

=2×（3z）2--7z2+2z2-4（3z）·（-7z）（3z）2-5z2+7（3z）·z

=18z2-49z2+2z2+84z29z2-5z2+21z2

=55z225z2

=115.

例3 （第4屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二2試三、2）如果a=122+18-18 2，求a2+ a4+a+1的值.

解析 由a=122+18-18 2，

得a+18 2=122+18，

所以（a+18 2）2=14（ 2+18），

所以a2+ 24a= 24，

所以 22a2+14a-14=0，

所以12- 22a2-14a+1=0

所以 222- 22a2-14a+1=0.

這里，視 22為“主元”，則 22是關(guān)于t的方程t2-a2t-14a+1=0的正實(shí)根.

因此 22=a2+ a4-4×1×[-14a+1]2

=a2+ a4+a+12，

故有a2+ a4+a+1= 2.

點(diǎn)評 上述解題方法有效應(yīng)用了常量和變量之間的相互轉(zhuǎn)化，把 222- 22a2-14a+1=0中的 22看成變量，a看成常量，則得到關(guān)于t的一元二次方程t2-a2t-14a+1=0，其中t是變量，a是常量，從而利用求根公式得解.

3 求代數(shù)式的最值

例4 （第12屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二1試19）已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且滿足x+2y-z=6x-y+2z=3，那么x2+y2+z2的最小值是.

解析 對于變元x，y，z，可視z為常數(shù)，將兩個方程看作關(guān)于x，y的二元一次方程組，用z的式子分別表示x，y后，代入所求式求解.

由x+2y-z=6①x-y+2z=3②，

①+②×2得x=4-zy=1+z.

所以x2+y2+z2=（4-z）2+（1+z）2+z2

=3z2-6z+17

=3z-12+14≥14.

故x2+y2+z2的最小值是14.

4 解方程

例5 方程x2-xy+y2-3x+3y+3=0的實(shí)數(shù)解為.

解析 方程中有兩個變元x，y，視x為“主元”，將y看成常量，則方程變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程，利用判別式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.

由x2-xy+y2-3x+3y+3=0，

得x2+（-y-3）x+（y2+3y+3）=0.

因為x是實(shí)數(shù)，

所以判別式Δ=-y-32-4（y2+3y+3）≥0，

所以-3y2-6y-3≥0，

所以-3y+12≥0，

所以y+12≤0.

又由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，

得y+12≥0，

所以y+12=0，

所以y=-1.

將y=-1代入原方程，

得x2-2x+1=0，

解得x=1.

故方程x2-xy+y2-3x+3y+3=0的實(shí)數(shù)解為x=1y=-1.

5 求定點(diǎn)

例6 （第22屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初三1試第12題）若對于p的任意值，拋物線y=2x2-px+3p+1都過一個定點(diǎn)，則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析 因為定點(diǎn)與“參數(shù)”p無關(guān)，所以可視p為“主元”，將二次函數(shù)的解析式化為關(guān)于p的一次方程，由各個“系數(shù)”均為0求解.

由y=2x2-px+3p+1，

變形得-x+3p+（2x2+1-y）=0，

令-x+3=02x2+1-y=0，

解得x=3y=19.

故定點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，19）.

點(diǎn)評 求圖象恒過定點(diǎn)的方法：圖象過定點(diǎn)，即與參數(shù)無關(guān)，可視參數(shù)為“主元”，將解析式變形整理為含參數(shù)并將參數(shù)提取出來和不含參數(shù)的兩部分，然后令參數(shù)的“系數(shù)”和不含參數(shù)部分均為0，從而求出定點(diǎn).