任紅娟

【摘要】中點(diǎn)問(wèn)題是初中幾何學(xué)習(xí)的常見問(wèn)題，結(jié)合特殊圖形相關(guān)性質(zhì)、定理后，使得中點(diǎn)問(wèn)題的復(fù)雜性明顯增加，參比中點(diǎn)平分線段性質(zhì)，在幾何學(xué)習(xí)中更注重相關(guān)特殊圖形中中點(diǎn)輔助線的考察.本文通過(guò)總結(jié)概括初中全冊(cè)中點(diǎn)相關(guān)輔助線常見四類問(wèn)題，即斜邊中線（在直角三角形），中位線，三線合一（在等腰三角形），中線倍長(zhǎng)，提煉問(wèn)題相應(yīng)解決辦法和技巧，從而系統(tǒng)闡述中點(diǎn)，類中線等數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究和思考，以期為今后教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)該知識(shí)點(diǎn)時(shí)提供相應(yīng)的依據(jù).

【關(guān)鍵詞】中點(diǎn);中點(diǎn)輔助線

初中幾何中，添加輔助線是證解一些題目的必要手段.其目的是通過(guò)構(gòu)建新的圖形，把命題中的已知條件與要證解的幾何問(wèn)題直接或間接地聯(lián)系起來(lái)，創(chuàng)造由已知向未知轉(zhuǎn)化的條件.它“輔”題中條件的不足，“助”證明命題的順利進(jìn)行[1].當(dāng)題目中有中點(diǎn)時(shí)，如何適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線、合理地利用中點(diǎn)求解問(wèn)題，是處理中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵.含有中點(diǎn)條件的問(wèn)題的輔助線的添加多樣、靈活、復(fù)雜，不少學(xué)生難以掌握，下面針對(duì)中點(diǎn)問(wèn)題舉例談?wù)剮追N添加輔助線的方法.

1 斜邊中線（直角三角形）輔助線

當(dāng)直角三角形中出現(xiàn)中點(diǎn)或中線時(shí)，通常會(huì)聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線定理及其逆定理.通過(guò)這兩個(gè)定理的應(yīng)用，完成直角三角形的構(gòu)圖和相關(guān)題目的推導(dǎo)及證明，助力于觀察邊角互換產(chǎn)生等腰三角形的特征[2].

例1 如圖1，將△ABC沿DE，EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，且EA與EB重合于線段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，則∠C的度數(shù)為（）.

（A）40°. （B）41°. （C）42°. （D）43°.

解析 如圖2，連接OA，OB，因?yàn)锳E=OE=EB

易證：△AOB為直角三角形，則∠OAB與∠OBA互余，△ABC沿DE，EF翻折，點(diǎn)A，B重合.

所以∠CAB+∠CBA=∠CAO+∠OAB+∠CBO+∠OBA

=12（∠CDO+∠CFO）+（∠OAB+∠OBA）

=12×98°+90°=139°，

所以∠C=180°-139°=41°

例2 如圖3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E、F分別在AB、AC 上，且AE=EF;若點(diǎn)O、M分別為AF、CE的中點(diǎn).求證：（1）OM =12CE（2）OB = 2OM

解析 （1）如圖4，

連接OE，BM

因?yàn)锳B=BC，∠ABC=90°，所以∠A=45°

因?yàn)锳E=EF，所以∠AEF=90°

因?yàn)镺為AF中點(diǎn)，所以∠EOC=90°

因?yàn)镸為EC中點(diǎn)，所以O(shè)M=12CE.

（2）如圖4，連接BM，在Rt△EBC中

因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，所以BM=12CE ，

所以BM=OM=CM，

所以∠BMO=2（∠OCM+∠BCM）= 90°.

所以△BOM是等腰直角三角形，

則：OB = 2OM

上述兩題主要著眼于利用斜邊中線逆定理構(gòu)造直角三角形.從中點(diǎn)出發(fā)，聯(lián)想基本圖形的構(gòu)造，嘗試推理論證，將線段關(guān)系巧妙轉(zhuǎn)化，從而使不在特殊圖形中的線段在新的特殊圖形中獲得意義，問(wèn)題解決趨于直觀.

2 中位線輔助線

當(dāng)三角形或四邊形中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題目條件提示，尋找線索，構(gòu)造三角形中位線，利用中位線得到線段的平行和倍數(shù)關(guān)系，助力邊角互換、轉(zhuǎn)移.

例3 如圖5，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB、BC為邊在AC同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，點(diǎn)P、M、N分別為AC、AD、CE的中點(diǎn).

求證：（1）PM=PN.（2）∠MPN的度數(shù).

解析 （1）如圖6，連接CD，AE

因?yàn)椤鰽BD和△BEC為等邊三角形，

易證：△DBC≌△ABE，所以CD = AE，

因?yàn)镻、M、N分別為AC、AD、CE的中點(diǎn)

所以MP=12DC， PN=12AE，

所以PM=PN

（2）因?yàn)椤鱀BC≌△ABE，

所以∠AEB=∠DCB

因?yàn)椤螦EB+∠EAB=∠EBC=60°，

所以∠DCB+∠EAB=60°，

易證：∠MPA=∠DCB， NPC=∠EAC，

所以∠MPN=180°-∠MPA -∠NPC=120°

例4 如圖7，在四邊形ABCD中，AB=CD，E.F分別是BC.AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，求證：∠BME=∠CNE.

解析 在圖8中，連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接GE.GF，根據(jù)三角形中位線定理，證明GE=GF，從而∠GFE=∠GEF，再利用平行線的性質(zhì)，可證明∠BME=∠CNE.

構(gòu)造三角形的中位線在于三角形的尋找和確定，結(jié)合中點(diǎn)個(gè)數(shù)及他們之間的關(guān)系，構(gòu)造基本圖形中的中位線，達(dá)到線段數(shù)量關(guān)系的證明以及幾何關(guān)系的論證[3].

3 三線合一輔助線

“等腰三角形三線合一”是等腰三角形的性質(zhì)定理，該性質(zhì)定理的啟發(fā)性意義在于可以利用中點(diǎn)添加輔助線構(gòu)造等腰三角形.在等腰三角形底邊上的中線和高線，頂角平分線這三線中，只要出現(xiàn)兩條線重合，就可以證明等腰三角形的存在.

例5 如圖9，已知△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于E，求證：∠BAE=∠C+∠DAE.

解析 如圖10，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F

因?yàn)锽D平分∠ABF，BD⊥AF

易證：△ABF是等腰三角形，

則：∠BAE=∠BFE

又因?yàn)椤螧FA=∠C+∠DAE，

所以∠BAE=∠C+∠DAE

當(dāng)三線中有兩線出現(xiàn)重合的條件時(shí)，等腰三角形的結(jié)構(gòu)隨之產(chǎn)生，解題技巧也隨之呈現(xiàn)[4].實(shí)現(xiàn)“由二推一”“由一生三”的效果.

4 中線倍長(zhǎng)輔助線

中線倍長(zhǎng)輔助線的構(gòu)造技巧常出現(xiàn)在線段兩倍關(guān)系或二分之一關(guān)系的論證過(guò)程中，輔助線作法的相應(yīng)線索主要隱藏在題目條件的中點(diǎn)或類中點(diǎn)，以及求證結(jié)果的倒推[5].中線倍長(zhǎng)構(gòu)造常伴隨全等三角形的構(gòu)造，實(shí)現(xiàn)線段和角度的轉(zhuǎn)化.

例6 如圖11，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，

求證：（1）AB+AC >2AD

（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范圍.

解析 （1）如圖12，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，構(gòu)造△ADC≌△EDB，使得AC=BE，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系A(chǔ)B+BE>AE，可得AB+AC>2AD;

（2）直接利用三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得5-3<2AD<5+3，再計(jì)算即可.

例7 已知：如圖，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，過(guò)D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分∠BAC

3 圖14

解析 如圖14，延長(zhǎng)FE到G，使EG=EF.連接CG，由于已知條件通過(guò)SAS證得△DEF≌△CEG，所以DF=GC，∠DFE=∠G，由平行線的性質(zhì)和已知條件得到∠BAE=∠CAE.

在中線倍長(zhǎng)輔助線的構(gòu)造過(guò)程中，全等三角形的構(gòu)造至關(guān)重要，特別是類中線的結(jié)構(gòu)，我們要關(guān)注哪一對(duì)三角形全等，哪一組線段轉(zhuǎn)移，從而有目的地畫輔助線，有目標(biāo)地完成證明.這種隱藏條件的發(fā)現(xiàn)和推倒需要結(jié)合輔助線作法及特點(diǎn)以及論證的結(jié)果出發(fā)，才能做到有的放矢，事半功倍.

5 組合型中點(diǎn)輔助線

中點(diǎn)（類中點(diǎn)）輔助線除上述四種單獨(dú)作法外，還會(huì)有中點(diǎn)組合型輔助線的出現(xiàn).這類輔助線的特征是“一線多用”，“雙線三用”.組合型輔助線的圖形常出現(xiàn)在多種特征圖形的組合圖形中，或是特征圖形殘缺某部分后的圖形，所以尋找此類線索，啟發(fā)思考，邏輯推導(dǎo)，靈活解題.

6 結(jié)語(yǔ)

四類中點(diǎn)輔助線常見的題型是初中數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).把握知識(shí)邏輯，尋找正確的解決方法，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的研究和探索，深刻理解中點(diǎn)輔助線的構(gòu)圖原理.抓住解題的關(guān)鍵核心，嘗試推導(dǎo)輔助線，使問(wèn)題得以解決.

當(dāng)有直角三角形和斜邊上的中點(diǎn)并存時(shí)，斜中線是首先要考慮的輔助線，該輔助線除了轉(zhuǎn)移線段的數(shù)量關(guān)系，也可以用于構(gòu)造直角三角形或者等腰三角形;當(dāng)出現(xiàn)2或2個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，常常會(huì)思考添加中位線輔助解題，中位線可以將線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系進(jìn)行雙重的聯(lián)系，可以將不在同一條直線上的線段進(jìn)行成倍的放縮，中位線形成的位置關(guān)系也可以起到轉(zhuǎn)移角度的功能.伴隨等腰三角形三線合一的性質(zhì)定理，結(jié)合題目已知條件去構(gòu)造等腰三角形，在特殊的三角形中，會(huì)產(chǎn)生更多的性質(zhì)和定理，幫助學(xué)生更好、更快的解決問(wèn)題，中線（類中線）倍長(zhǎng)的輔助線是全等證明中常見的一種方法，通過(guò)延長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，產(chǎn)生相等線段，論證相關(guān)問(wèn)題，在此類問(wèn)題中，伴隨著平行四邊形的產(chǎn)生，使得圖形結(jié)構(gòu)更為生動(dòng).

數(shù)學(xué)輔助線的運(yùn)用就是對(duì)隱藏在特殊圖形中的隱性條件的挖掘，從而將復(fù)雜、繁瑣的問(wèn)題簡(jiǎn)化，分解，使問(wèn)題由原來(lái)的僵持局面，變得靈動(dòng)自如[6].學(xué)習(xí)中點(diǎn)輔助線的添加，關(guān)鍵是尋找模型和題目條件中的信息，通過(guò)嘗試和論證，確定核心的輔助線.不同的題目類型就會(huì)有不同的輔助線的添加，參照原題信息的描述和推理，選擇相對(duì)應(yīng)的輔助線，提升解題能力.

參考文獻(xiàn)：

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