一、單項選擇題

1.已知集合A={-1，1，2，4}，B={x||x-1|≤1}，則A∩B=（）

（A）{-1，2}.（B）{1，2}.

（C）{1，4}.（D）{-1，4}.

2.（2+2i）（1-2i）=（）

（A）-2+4i.（B）-2-4i.

（C）6+2i.（D）6-2i.

3.中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn).如圖2是某古建筑物的剖面圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（）

圖1圖2

（A）0.75.（B）0.8.（C）0.85.（D）0.9.

4.已知a=（3，4），b=（1，0），c=a+tb，〈a，c〉=〈b，c〉，則t=（）

（A）-6.（B）-5.（C）5.（D）6.

5.有甲乙丙丁戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種？（）

（A）12種.（B）24種.（C）36種.（D）48種.

6.角α，β滿足sin（α+β）+cos（α+β）=22cosα+π4sinβ，則（）

（A）tan（α+β）=1.（B）tan（α+β）=-1.

（C）tan（α-β）=1.（D）tan（α-β）=-1.

7.正三棱臺高為1，上下底邊長分別是33和43，所有頂點在同一球面上，則球的表面積是（）

（A）100π.（B）128π.（C）144π.（D）192π.

8.若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則∑22k=1f（k）=（）

（A）-3.（B）-2.（C）0.（D）1.

二、多項選擇項

9.函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0<φ<π）的圖象以2π3，0中心對稱，則（）

（A）y=f（x）在0，5π12單調(diào)遞減.

（B）y=f（x）在-π12，11π12有2個極值點.

（C）直線x=7π6是一條對稱軸.

（D）直線y=32-x是一切線.

10.已知O為坐標原點，過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點F的直線與C交于A，B兩點，點A在第一象限，點M（p，0），若|AF|=|AM|，則（）

（A）直線AB的斜率為26.

（B）|OB|=|OF|.

（C）|AB|>4|OF|.

（D）∠OAM+∠OBM<180°.

11.如圖3，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB=ED=2FB，圖3記三棱錐E|ACD，F(xiàn)|ABC，F(xiàn)|ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（）

（A）V3=2V2.

（B）V3=V1.

（C）V3=V1+V2.

（D）2V3=3V1.

12.對任意x，y，x2+y2-xy=1，則（）

（A）x+y≤1.（B）x+y≥-2.

（C）x2+y2≤2.（D）x2+y2≥1.

三、填空題

13.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（22.5）=.

14.寫出曲線y=ln|x|過坐標原點的切線方程：，.

15.已知點A（-2，3），B（0，a），若直線AB關(guān)于y=a的對稱直線與圓（x+3）2+（y+2）2=1存在公共點，則實數(shù)a的取值范圍為.

16.已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=23，則直線l的方程為.

四、解答題

17.已知{an}為等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）證明：a1=b1;

（2）求集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}中元素的個數(shù).

18.記△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3，已知S1-S2+S3=32，sinB=13.

（1）求△ABC的面積;

（2）若sinAsinC=23，求b.

19.在某地區(qū)進行流行病調(diào)查，隨機調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如圖4所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）;

（2）估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間[20，70）的概率;

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)的年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患該種疾病的概率.（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各地區(qū)的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）

圖4

圖5

20.如圖5，PO是三棱錐P|ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點.

（1）求證：OE∥平面PAC;

（2）若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C|AE|B的正弦值.

21.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F（2，0），漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程;

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0，過P且斜率為-3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M.請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：

①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22.已知函數(shù)f（x）=xeax-ex.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當x>0時，f（x）<-1，求a的取值范圍;

（3）設(shè)n∈N*，證明：

112+1+122+2+…+1n2+n>ln（n+1）.

參考答案

題號12345678910111213答案BDDCBDAAADACDCDBC0.14題號141516答案y=xe，y=-xe13，32x+2y-22=0

17.（1）設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，

由a2-b2=a3-b3，知

a1+d-2b1=a1+2d-4b1，

故d=2b1.

由a2-b2=b4-a4，知

a1+d-2b1=8b1-（a1+3d），

故a1+d-2b1=4d-（a1+3d）=d-a1，

所以a1=b1.

（2）由（1）知d=2b1=2a1，

由bk=am+a1，知

b1·2k-1=a1+（m-1）d+a1，

即b1·2k-1=b1+（m-1）·2b1+b1，

2k-1=2m.

因為1≤m≤500，

所以2≤2k-1≤1000，2≤k≤10，

故集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}中元素的個數(shù)為9個.

18.（1）因為

邊長為a的正三角形的面積為34a2，

所以S1-S2+S3=34（a2-b2+c2）=32，

即accosB=1，

由sinB=13，得cosB=223，

所以ac=1cosB=324，

故S△ABC=12acsinB=12×324×13=28.

（2）由正弦定理得

b2sin2B=asinA·csinC=acsinAsinC=32423=94，

故b=32sinB=12.

19.（1）平均年齡

=（5×0.001+15×0.002+25×0.012+

35×0.017+45×0.023+55×0.020+

65×0.017+75×0.006+85×0.002）×10

=47.9（歲）.

（2）設(shè)

A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20，70）}，

則P（A）=1-P（）

=1-（0.001+0.002+0.006+0.002）×10

=1-0.11=0.89.

（3）設(shè)B={任選一人年齡位于區(qū)間[40，50）}，

C={任選一人患這種疾病}，

則由條件概率公式，得

P（C|B）=P（BC）P（B）=0.1%×0.023×1016%

≈0.0014.

20.（1）解法1連接OA、OB.

因為PO是三棱錐P|ABC的高，

所以PO⊥平面ABC，

于是PO⊥OA，PO⊥OB，

有∠POA=∠POB=90°.

又PA=PB，PO=PO，

所以△POA≌△POB，OA=OB.

作AB中點D，連接OD、DE，

圖6

則OD⊥AB.

又AB⊥AC，

所以O(shè)D∥AC.

又因為 OD平面PAC，

AC平面PAC，

所以O(shè)D∥平面PAC.

又D，E分別為AB，PB的中點，

在△BPA中，DE∥PA.

又DE平面PAC，PA平面PAC，

所以DE∥平面PAC.

又OD，DE平面ODE，OD∩DE=D，

所以平面ODE∥平面PAC.

又OE平面ODE，

所以O(shè)E∥平面PAC.

解法2連接OA、OB.

因為PO是三棱錐P|ABC的高，

所以PO⊥平面ABC，

PO⊥OA，PO⊥OB，

于是∠POA=∠POB=90°.

又PA=PB，PO=PO，

所以△POA≌△POB，OA=OB，

又AB⊥AC.

延長BO交AC于點F，連接PF.

在Rt△ABF中，O為BF中點，

在△PBF中，O、E分別為BF、PB的中點，

所以EO∥PF.

因為EO平面PAC，PF平面PAC，

所以EO∥平面PAC.

圖7

（2）解法1過點D作DF∥OP，以DB為x軸，DO為y軸，DF為z軸，建立如圖7所示的空間直角坐標系.

因為PO=3，PA=5，

由（1）知OA=OB=4，

又∠ABO=∠CBO=30°，

所以O(shè)D=2，DB=23，

于是P（0，2，3），B（23，0，0），

A（-23，0，0），E3，1，32.

設(shè)AC=a，則C（-23，a，0），

設(shè)平面AEB的法向量為n1=（x，y，z），

直線AB的方向向量為a=（1，0，0），

直線DP平面AEB，

直線DP的方向向量為b=（0，2，3），

a·n1=0，b·n1=0，

所以x=0，2y+3z=0.

設(shè)y=3，則z=-2，

所以n1=（0，3，-2）.

設(shè)平面AEC的法向量為n2=（x，y，z），

AC=（0，a，1），AE=33，1，32，

AC·n2=0，AE·n2=0，

所以ay=0，33x+y+32z=0，

故y=0.

設(shè)x=3，則z=-6，

所以n2=（3，0，-6），

cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=1213×39=4313.

設(shè)二面角C|AE|B的平面角為θ，

則sinθ=1-cos2θ=1113，

所以二面角C|AE|B的正弦值為1113.

圖8

解法2過點A作AF∥OP，以AB為x軸，AC為y軸，AF為z軸建立如圖8所示的空間直角坐標系.

因為PO=3，PA=5，

由（1）知OA=OB=4，

又∠ABO=∠CBO=30°，

所以AB=43，

于是P（23，2，3），B（43，0，0），

A（0，0，0），E33，1，32.

設(shè)AC=a，則C（0，a，0），

設(shè)平面AEB的法向量為n1=（x，y，z），

AB=（43，0，0），AE=33，1，32，

AB·n1=0，AE·n1=0，

所以43x=0，33x+y+32z=0，

故x=0.

設(shè)z=-2，則y=3，

所以n1=（0，3，-2）.

設(shè)平面AEC的法向量為n2=（x，y，z），

AC=（0，a，1），AE=33，1，32，

AC·n2=0，AE·n2=0，

所以ay=0，33x+y+32z=0，

故y=0.

設(shè)x=3，則z=-6，

所以n2=（3，0，-6），

cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=1213×39=4313.

設(shè)二面角C|AE|B的平面角為θ，

則sinθ=1-cos2θ=1113，

所以二面角C|AE|B的正弦值為1113.

21.（1）由題意可得

ba=3，a2+b2=2，

故a=1，b=3，

因此C的方程為x23-y2=1.

（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b（k≠0），

將直線PQ的方程代入C的方程得

（3-k2）x2-2kbx-b2-3=0，

則x1+x2=2kb3-k2，x1，x2=-b2+33-k2，

x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2

=23（b2+3-k2）3-k2.

設(shè)點M的坐標為（xM，yM），

則y-y1=-3（xM-x1），y-y2=3（xM-x2），

兩式相減，得

y1-y2=23xM-3（x1+x2），

而y1-y2=（kx1+b）-（kx2+b）=k（x1-x2），

故23xM=k（x1-x2）+3（x1+x2），

解得xM=kb2+3-k2+kb3-k2，

兩式相加，得

2yM-（y1+y2）=3（x1-x2），

而y1+y2=（kx1+b）+（kx2+b）

=k（x1+x2）+2b，

故2yM=k（x1+x2）+3（x1-x2）+2b，

解得xM=3b2+3-k2+3b3-k2=3kxM，

因此，點M的軌跡為直線y=3kx，其中k為直線PQ的斜率.

若選擇①②：

設(shè)直線AP的方程為y=k（x-2），

并設(shè)A的坐標為（xA，yA），B的坐標為（xB，yB），

則yA=k（xA-2），yA=3xA，

解得xA=2kk-3，yA=23kk-3.

同理xB=2kk+3，yB=-23kk+3，

此時xA+xB=4k2k2-3，yA+yB=12kk2-3，

而點M的坐標滿足yM=k（xM-2），yM=3kxM，

解得xM=2k2k2-3=xA+xB2，

yM=6kk2-3=yA+yB2，

故M為AB的中點，

即|MA|=|MB|.

若選擇①③：

當直線AB的斜率不存在時，

點M即為點F（2，0），

此時M不在直線y=3kx上，矛盾.

當直線AB的斜率存在時，

設(shè)直線AB的方程為y=m（x-2）（m≠0），

并設(shè)A的坐標為（xA，yA），B的坐標為（xB，yB），

則yA=m（xA-2），yA=3xA，

解得xA=2mk-3，yA=23mk-3.

同理xB=2mm+3，yB=23mm+3，

此時xM=xA+xB2=2m2m2-3，

yM=yA+yB2=6mm2-3，

由于點M在直線y=3kx上，

故6m=3k·2m2，

解得k=m，

因此PQ∥AB.

若選擇②③：

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），并設(shè)A的坐標為（xA，yA），B的坐標為（xB，yB），

則yA=k（xA-2），yA=3xA，

解得xA=2kk-3，yA=23kk-3.

同理xB=2kk+3，yB=-23kk+3.

設(shè)AB的中點為C（xC，yC），

則xC=xA+xB2=2k2k2-3，

yC=yA+yB2=6kk2-3，

由于|MA|=|MB|，

故M在AB的垂直平分線上，

即點M在直線y-yC=-1k（x-xC）上，

將該直線與y=3kx聯(lián)立，

解得xM=2k2k2-3=xC，yM=6kk2-3=yC，

即點M恰為AB的中點，

故點M在直線AB上.

22.（1）由a=1，得

f（x）=xex-ex=（x-1）ex，

f′（x）=xex.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

（2）令g（x）=f（x）+1=xeax-ex+1（x≥0），

所以g（x）≤g（0）=0對x≥0恒成立.

又g′（x）=eax+axeax-ex，

所以g′（0）=0.

令h（x）=g′（x），

得h′（x）=aeax+a（eax+axeax）-ex

=a（2eax+axeax）-ex，

則h′（0）=2a-1.

①若h′（0）=2a-1>0，

即a>12，

h′（0）=limx→0+g′（x）-g′（0）x-0=limx→0+g′（x）x>0，

所以x0>0，

使得當x∈（0，x0）時，有

g′（x）x>0，

即g′（x）>0，

所以g（x）單調(diào)遞增，

于是g（x0）>g（0）=0，矛盾.

②若h′（0）=2a-1≤0，即a≤12時，

g′（x）=eax+axeax-ex=eax+ln（1+ax）-ex

≤e12x+ln1+12x-ex

≤e12x+12x-ex=0，

于是g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以g（x）≤g（0）=0，符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤12.

（3）求導易得t-1t>2lnt（t>1）.

令t=1+1n，得

1+1n-11+1n>2ln1+1n，

即1n1+1n>ln1+1n，

1n2+n>lnn+1n，

所以∑nk=11k2+k>∑nk=1lnk+1k

=ln21×32×…×n+1n=ln（n+1），

故112+1+122+2+…+1n2+n

>ln（n+1）.