覃念

【摘要】 在人教版分式方程的學(xué)習(xí)中，含字母參數(shù)的分式方程有增根及無解問題是困擾很多同學(xué)的一大難點，只有經(jīng)過多次訓(xùn)練并深入理解之后才能分清楚兩者之間的本質(zhì)區(qū)別.

【關(guān)鍵詞】 字母參數(shù);分式方程;增根;無解

在人教版八年級數(shù)學(xué)分式章節(jié)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生分不清楚含字母參數(shù)的分式方程有增根與無解的情形，認(rèn)為兩者一樣，而實則不然.分式方程有增根的前提是這個分式方程化為整式方程有根，只不過此根使得原分式方程的最簡公分母為零了，故為增根;含字母參數(shù)的分式方程無解其實包含了分式方程有增根的情形.以下具體例題說明：

例1 若關(guān)于x的分式方程x-ax-1-3x=1有增根，則a值為多少？

解 原方程有增根所以這個增根必定使最簡公分母x（x-1）=0，

所以x=1或0，

把原方程兩邊同乘以x（x-1），得

x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

當(dāng)x=1時，得 1-a=0，

所以a=1，

當(dāng)x=0時，得

0（0-a）-3（0-1）=0（0-1），

即3=0，所以a不存在，

即方程增根為x=1，

當(dāng)a=1時，產(chǎn)生增根x=1.

例2 若關(guān)于x的分式方程x-ax-1-3x=1無解，則a值為多少？

解 首先考慮原方程有增根，這個增根必定使最簡公分母x（x-1）=0，

所以x=1或0，

把原方程兩邊同乘以x（x-1），得

x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

當(dāng)x=1時，得1-a=0，

所以a=1，

當(dāng)x=0時，得

0（0-a）-3（0-1）=0（0-1），

即3=0，所以a不存在，

即方程的增根為x=1，

當(dāng)a=1時，原方程只有增根x=1，此時原方程無解，

又因為原方程去分母后得

x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

即（a+2）x=3，

所以當(dāng)a+2=0，即a=-2時，無論x取何值

（a+2）x≠3，

故此時原分式方程也無解.

綜上可知，當(dāng)a=1或a=-2時，原分式方程無解.

當(dāng)題目中說明原分式方程有增根時，只需去掉分母，將增根帶入去掉分母后得到的式中即可解出字母a的值.但如果題目說明原分式方程無解，那么不僅要考慮有增根的情況，并且要驗證原方程除增根外是否有其他解.還要考慮去分母后將含未知數(shù)x的項合并后看系數(shù)是否可為零，即去分母后含未知數(shù)x的項含有字母系數(shù)，如果可以化成（a+m）x=n（其中a為原分式方程中字母參數(shù)，m，n為任意實數(shù)且n≠0），則要考慮當(dāng)系數(shù)a+m=0時，（a+m）x=0，即無論x為何值（a+m）x≠n，所以無解.

而有些時候，雖然題中說明是無解但也只需考慮增根即可，因為去分母后含未知數(shù)x的項的系數(shù)不含字母參數(shù).

例3 當(dāng)a為何值時關(guān)于x的方程x-1x-4=ax-4無解.

解 因為原方程去分母后得x-1=a，此方程有解x=1+a，所以只需考慮原方程有增根，這個增根必定使最簡公分母x-4=0，所以x=4，

把原方程兩邊同乘以x-4，得x-1=a，

當(dāng)x=4時，得4-1=a，

所以a=3，

此時，方程只有增根x=4，

所以當(dāng)a=3時原分式方程無解.

但如果題中只說明有增根，雖然去分母后含未知數(shù)x的項的系數(shù)含有字母參數(shù)，也只需將增根帶入去分母后所得式中即可.

例4 當(dāng)k為何值時關(guān)于x的分式方程2+1-kxx-2=12-x有增根.

解 因為原方程有增根，所以這個增根必定使最簡公分母x-2=0，所以x=2，

把原方程兩邊同乘以x-2，得

2（x-2）+1-kx=-1，

當(dāng)x=2時，得1-2k=-1，

所以k=1，

所以當(dāng)k=1時，原分式方程有增根x=2.

（但若將此例中有增根改為無解，則結(jié)果為k=1或k=2）

所以在解含字母參數(shù)的分式方程問題時，一定要看清楚到底是有增根還是無解，具體問題具體分析.而往往在解決具體分式方程問題時，都是運用轉(zhuǎn)化思想作為基本思想，即把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.其實對于增根產(chǎn)生的原因也可從轉(zhuǎn)化角度來理解：增根是在解分式方程的第一步去分母時產(chǎn)生的，根據(jù)方程的同解原理，方程兩邊都乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程;但如果方程兩邊同時乘以零，那么所得方程與原方程就不是同解方程，此時所解得的根就是原方程的增根.所以對于分式方程有增根確實屬于無解，但分式方程無解并非只考慮有增根這種情況，因為將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，整式方程如果無解，那么原分式方程也是無解的.而往往含字母參數(shù)分式方程轉(zhuǎn)化后是一元一次方程，而一元一次方程無解就是不存在具體未知數(shù)的值使該方程成立.所以含字母參數(shù)的分式方程有增根與無解是有著本質(zhì)區(qū)別的，在解題時務(wù)必認(rèn)真審題分析透徹.

練習(xí)

1.若關(guān)于x的分式方程2m-1x-1-7xx-1=5有增根，求m的值.

2.若關(guān)于x的分式方程kxx2-4=3x+2-2x-2有增根，求k的值.

3.已知關(guān)于x的方程1x-1+ax-2=2a+2x2-3x+2無解，求a的值.

答案

1.4.

2.-112或132.

3.-2或-32或-1.