徐智勇

【摘要】 幾何構(gòu)造是解決較復(fù)雜幾何問題的一條極為重要的途徑，而其中對(duì)隱圓，即對(duì)隱藏于條件背后的圓的發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造往往能為問題的解決帶來意想不到的便利環(huán)境.適宜通過構(gòu)造隱圓來解決問題的情形很多，比如在定邊定角、對(duì)角互補(bǔ)等模型中均可以加以嘗試.

【關(guān)鍵詞】 構(gòu)造隱圓

圓作為初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，與諸多幾何元素之間存在著數(shù)量和位置方面的關(guān)系，并在解決幾何問題時(shí)經(jīng)常表現(xiàn)出特有的靈活性.賽題中關(guān)于圓的考查方式基本有三類：

（1）圓作為條件直接呈現(xiàn)于題干中，即顯圓;

（2）圓的結(jié)構(gòu)或淺或深地隱藏于條件中，即隱圓;

（3）顯圓、隱圓二者兼?zhèn)?

本文主要介紹一些可以通過構(gòu)造隱圓來解決問題的常見思路，以供讀者參考.

首先給出競(jìng)賽問題中常用到的兩個(gè)判定結(jié)論，以方便后續(xù)討論.

結(jié)論1 如圖1，若凹四邊形PAOB滿足OA=OB，且∠P=12∠AOB，則點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓上.

結(jié)論2 如圖1，若凸四邊形QAOB滿足OA=OB，且∠Q=180°-12∠AOB，則點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓上.

注 結(jié)論與“定邊對(duì)定角”模型本質(zhì)上是一致的，其證明思路也很基礎(chǔ)，故不再詳述.

例1 如圖2，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，且PB=4，PD=3.則AD·DC的值為.

解法1 如圖3，過點(diǎn)P作∠APB的角平分線PE，交AD于點(diǎn)E，則由角平分線性質(zhì)可知

AEDE=PAPD=PBPD

ADDE=73

及∠DPE=12∠APD，

且∠APB=2∠ACB，

故∠DPE=∠DCB，

即P，E，B，C四點(diǎn)共圓，

故ED·DC=PD·DB=3×1=3，

故AD·DC=73ED·DC=7.

解法2 由條件

PA=PB，

∠APB=2∠ACB，

再聯(lián)系結(jié)論1可知點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的圓上，即如圖3，并延長(zhǎng)BP交⊙P于點(diǎn)E，從而

AD·DC=ED·DB

=（EP+PD）·（PB-PD）

=（PB+PD）·（PB-PD）

=（4+3）×（4-3）

=7.

例2 如圖4，已知凸四邊形ABCD滿足∠CAD=45°，∠ACD=30°，∠BAC=∠BCA=15°.則∠DBC的度數(shù)為.

解法1 如圖4，由條件可在CD上找到一點(diǎn)E，使得∠CAE=30°，則∠CAE=∠ACE=30°，

且∠BAC=∠BCA=15°，

故易知△ABE與△CBE關(guān)于BE軸對(duì)稱，進(jìn)而

∠AEB=∠CEB=60°，

且∠BAE=∠BAC+∠EAC=60°，

故∠AEB=∠BAE，

即B，A，D，E四點(diǎn)共圓，

故∠BDC=∠BAE=45°，

且∠BCD=45°，

從而∠DBC=90°.

解法2 一方面，由∠BAC=∠BCA=15°可知BA=BC及∠ABC=150°;

另一方面，由∠CAD=45°，∠ACD=30°可知∠ADC=105°，

故∠ADC=180-12∠ABC.

于是，滿足結(jié)論2，故點(diǎn)D在以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓上，從而

∠DBC=2∠CAD=90°.

點(diǎn)評(píng) 例1，例2兩道賽題都提供了不同的隱圓構(gòu)造方法，其中直接運(yùn)用結(jié)論1，2的思路則明顯更簡(jiǎn)練一些.

例3 如圖5，在凸四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.證明：AE=12（AB+AD）.

證明 如圖5，在AB取一點(diǎn)D，使得AD′=AD，則結(jié)合條件AC平分∠BAD易證△ACD′≌△ACD（SAS），

故CD′=CD.

又由∠ABC+∠ADC=180°可知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且AC平分∠BAD，

故CB=CD=CD′，

再結(jié)合CE⊥AB，可知BE=D′E，進(jìn)而

AB+AD=（AE+BE）+AD′

=AE+（D′E+AD′）

=2AE，

即得AE=12（AB+AD）.

點(diǎn)評(píng) 利用對(duì)角互補(bǔ)得到四點(diǎn)共圓結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中是一種常規(guī)思路，可以一定程度上簡(jiǎn)化問題的證明過程.近年來，在中考試題中可以看到一些關(guān)于本例的拓展延伸.

例4 如圖6，AD為△ABC中線且AD<12BC，DE，DF分別平分∠ADB，∠ADC，EA=EB，F(xiàn)A=FC，且∠AEB+∠DCF=90°.證明：E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線.

證明 如圖6，由AD為△ABC中線且AD<12BC，故可延長(zhǎng)DA至點(diǎn)G，使得DB=DG=DC，連接EG，F(xiàn)G.

由DE，DF分別平分∠ADB，∠ADC可知

△DBE≌△DGE，

△DCF≌△DGF，

故EA=EB=EG，

FA=FC=FG，

進(jìn)而EF垂直平分AG，

即DA⊥EF.

同時(shí)，由EA=EG可知

∠EAG=∠EGA，

及由△DBE≌△DGE又知

∠EBD=∠EGD，

故∠EBD=∠EAG，

從而E，B，D，A四點(diǎn)共圓，即

∠AEB=∠ADC，

故∠ADC+∠DCF=∠AEB+∠DCF=90°，

即DA⊥CF，

且DA⊥EF，

從而E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評(píng) 本例中由條件AD

例5 如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC=5，D為邊BC上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，EB的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求AD·AF的值.

解 如圖7，連接AE，DE，CF.由AB=AC可知∠ABC=∠ACB，且由對(duì)稱性可知∠AED=∠ACD，

故∠AED=∠ABD，則A，E，B，D四點(diǎn)共圓，進(jìn)而∠BED=∠BAD，

且再由對(duì)稱性可知

∠FED=∠FCD，

故∠FCD=∠BAD，

則又有A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，

進(jìn)而∠ABD=∠CFD，

且∠ABC=∠ACB，

故∠ACD=∠AFC，

即得△ACD∽△AFC，

易知AD·AF=AC2=5.

點(diǎn)評(píng) 本例的求解看似與圓沒有直接的聯(lián)系，但在對(duì)稱點(diǎn)條件下進(jìn)行連線嘗試后，逐漸浮現(xiàn)出了兩組四點(diǎn)共圓關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了角度之間的連續(xù)轉(zhuǎn)化，最終實(shí)現(xiàn)了一對(duì)關(guān)鍵的相似關(guān)系來解決問題.

中考中也存在許多與隱圓相關(guān)的問題，有些問題的綜合程度已接近或達(dá)到競(jìng)賽的要求，能夠較好地考查學(xué)生靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題的能力.限于篇幅，以一道動(dòng)態(tài)幾何最值問題為例，并輔以數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的常用方法來簡(jiǎn)化計(jì)算過程.

例6 如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DB=2AD，AE=3EC，連接BE，CD，相交于點(diǎn)O，則△ABO面積的最大值為.

證明 如圖8，作Rt△ABC的外接圓，即知當(dāng)點(diǎn)C取直徑AB所對(duì)半圓弧中點(diǎn)時(shí)，Rt△ABC取得面積最大值（此時(shí)定邊AB上的高最大），易知SRt△ABC最大=4.同時(shí)，由梅涅勞斯定理可知

CEEA·ABBD·DOOC=1，

且DB=2AD，

AE=3EC，

故DOOC=2，

即DODC=23，

從而由共邊定理可知

S△ABOS△ABC=DODC=23，

且SRt△ABC最大=4，

則SRt△ABO最大=83.

點(diǎn)評(píng) 本例的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)S△ABO與S△ABC之間存在著固定的比值，進(jìn)而結(jié)合隱圓知識(shí)先得到SRt△ABC最大=4，再轉(zhuǎn)化為SRt△ABO最大=83.圖9

練習(xí)

1.如圖9，已知∠B=30°，∠C=45°，∠BDC=150°，且BD=CD=5，則AB=（? ）

（A）75.? （B）52.

（C）53.（D）5+5.

2.如圖10，在正△ABC的邊BC上取一點(diǎn)D，圖10使CD=2BD，作CH⊥AD于點(diǎn)H，連接BH，則∠DBC-∠DAB是（? ）

（A） 0.（B）負(fù)數(shù).

（C）正數(shù).（D）無法確定.

3.在△ABC中，已知AB=AC，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE與AD交于點(diǎn)P.若BP=3，PE=1，則AE=（? ）

（A）62.（B）2.

（C）3.（D）6.

1

4.如圖11，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=75°，∠ABC=90°，∠BCD=105°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)S，且DS=233SB.求證：AD=DC.

答案

1.（C）. 2.（A）. 3.（B）. 4.略.