李改生

【摘要】 函數(shù)的綜合題，歷來是初中學(xué)業(yè)水平考試的重要內(nèi)容之一，它常與代數(shù)、幾何等知識緊密聯(lián)系，對學(xué)生綜合運用知識解題的能力要求較高，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求三角形等的面積問題是其中的一個?？伎键c，要求學(xué)生要能靈活運用各種數(shù)學(xué)方法進行解答，是學(xué)習(xí)的一個重點，本文就有關(guān)二次函數(shù)最值問題進行一點膚淺的解法探討.

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù);面積;最值;解法

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重點，同時也是一個難點，也是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試必考的一個知識點.在學(xué)業(yè)水平考試中占有一定的分量，且常以壓軸題形式呈現(xiàn)，特別是二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，更為常見，其中，求三角形面積的最大值問題又是最基本的問題.本文就一道二次函數(shù)與面積最值問題，談點常見的解法，供各位讀者參考.

原題呈現(xiàn) 已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，A（-1，0），且當x<2時，y隨x的增大而增大，當x>2時，y隨x的增大而減小.

（1）求拋物線的解析式;

（2）設(shè)（1）中拋物線交y軸與點C，在拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△DAC的周長最小？若存在，求出點D的坐標;若不存在，請說明理由;

（3）在（1）中的拋物線上的第一象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，請求出P點的坐標及△PBC的面積最大值;若沒有，請說明理由.

解 （1）由函數(shù)增減性及拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸是x=2，結(jié)合圖象過A（-1，0），求出b，c的值，進而寫出拋物線的解析式（y=-x2+4x+5）.

（2）由“將軍飲馬”問題，先求出直線BC的解析式（y=-x+5），進而求出D點的坐標為（1，4）.

本文著重探究第（3）問中面積的最大值的幾種解法，對第（1）（2）問不再詳細解答.下面看一下本題第（3）問的解法研究.

方法1 割補圖形法.

求幾何圖形的面積，用割補圖形法是常見的一種方法，此類方法主要是把所求圖形的面積適當?shù)母钛a，轉(zhuǎn)化為有利于面積表達的常見幾何圖形，進而求解.

解法1 如圖1，設(shè)點P（x，-x2+4x+5）（0

因為S△PBC=S四邊形BOCP-S△BOC=S四邊形BOCP-252，

若S四邊形BOCP有最大值，則S△PBC就有最大值.

所以S四邊形BOCP=SRt△BPE+S梯形EOCP

=12PE·BE+12OE（PE+OC）

=12（-x2+4x+5）（5-x）+12x（-x2+

4x+5+5）

=…….

解題策略 先用坐標法表示出各條所需線段的長，然后根據(jù)△BPC的面積等于四邊形COBP的面積與△BOC的面積之差，得到四邊形COBP的面積關(guān)于橫坐標x的二次函數(shù)，進而求出P的坐標及△BPC最大值.

解法2 如圖2，設(shè)點P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=S△OBP+S△OCP-S△OBC

=12×5（-x2+4x+5）+

12×5x-12×5×5

=-52x-522+1258，

所以，當x=52時，S△BPC取最大值為1258.

解題策略 根據(jù)△BPC的面積等于四邊形COBP的面積與△BOC的面積之差，而四邊形COBP的面積又等于△OCP與△BOP的面積之和，于是得到四邊形COBP的面積關(guān)于橫坐標x的二次函數(shù)，進而求出P的坐標及△BPC最大值.本題還可以用矩形覆蓋法進行求解.

方法2 “鉛垂高，水平寬”面積法.

如圖3，過△ABC的三個頂點，分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h），我們可以得出一種計算三角形面積的另一種方法，S△ABC=12ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

用鉛垂法求面積是一種重要的方法，在教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為廣泛.

解法3 如圖4，作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，設(shè)P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=S△FPB+S△PFC

=12PF·BE+12PF·OE

=12PF·OB=52PF

=-52x-522+1258，

所以當x=52時，△PBC取最大面積為1258，….

解題策略 用坐標法表示出PF的長度之后，用S△PBC=S△FPB+S△PFC列出函數(shù)關(guān)系式，最后轉(zhuǎn)化為求PF的最大值.

方法3 切線法（作平行線法）.

作一條直線與拋物線相切，即只有一個公共點，當點P在此公共點位置時，三角形△PBC的面積最大.

若要使△PBC的面積最大，可BC以為底，根據(jù)三角形面積公式求解.因為BC是不變的，所以當BC邊上的高最大時，△PBC的面積最大，即點P到BC的距離最大，于是過P作BC的平行線m，當m與拋物線有且僅有一個公共點時，BC上的高CN最大.

解法4 如圖5，直線BC的解析式為y=-x+5，過P點作BC的平行線PE交y軸于點E，從而可以設(shè)直線PE的解析式為y=-x+m，與y=-x2+4x+5聯(lián)立得方程x2-5x+m-5=0，由只有一個公共點，得到Δ=0，所以（-5）2-4（m-5）=0，得到m=254，此時，點E的坐標為0，454的，此時BC邊上的高最大，作CN⊥PE于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等知CN就是BC邊上的高，要使△BPC的面積最大，只需CN最大.

CN=EC·sin∠CEP=EC·sin∠OCB

=454-5×22=2528，

所以，此時S△PBC=12BC·CN=12·52·2528

=1258.

解題策略 將直線BC向右平移到與拋物線只有一個公共點時，這個公共點就是P點的位置，找到P點到BC的距離，即為BC邊上的高，利用平行線的一些性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)計算出BC邊上的高CN的最大值，進而實現(xiàn)題目的求解.

方法4 三角函數(shù)法.本題可以用三角函數(shù)的知識進行求解.

解法5 如圖6，作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，作PM⊥BC于點M，設(shè)點P（x，-x2+4x+5）（0

S△PBC=12·BC·PM

=12×52×PF·sin∠PFM

=522[-x2+4x+5-（-x+5）]·sin∠BFE

=522（-x2+5x）·sin∠OCB

=-522（x2-5x）·OBBC

=-52x-522+1258

……

解題策略 以BC為底，找到BC邊上的高PM，在Rt△PMF中，利用三角函數(shù)知識可得到PM=PFsin∠PFC，再根據(jù)∠PFC=∠EFB，結(jié)合PE∥OC，得到∠OCB=∠EFB，進而轉(zhuǎn)化為PM=PF·sin∠OCB來進行求解.

方法5 對稱法 圖7

將△PBC進行旋轉(zhuǎn)、平移或軸對稱變化后，利用圖形的性質(zhì)進行求解.本文用軸對稱法進行求解.

解法6 如圖7，分別作P，C兩點關(guān)于x軸的對稱點Q，D，連接BD，DQ，BQ，則

△PBC≌△QBD，

又C（0，5），

P（x，-x2+4x+5）（0

所以D（0，-5），

Q（x，x2-4x-5），

CD=10，

PQ=2（-x2+4x+5），

所以S△PBC=12（S△PBQ+S梯形CDQP-S△BCD）

=1212PQ（5-x）+12（-2x2+8x+10+

10）x-12×10×5

=-52x2+252x

=-52x-522+1258

……

解題策略 用軸對稱將△BPC沿x軸翻折得到△QBD，與△BCD組合構(gòu)成五邊形CDQBP，然后用五邊形CDQBP的面積減去△BCD的面積的一半即是△BPC的面積.

總之，從以上的幾種解法可以得出一個規(guī)律.過點P作輔助線，然后利用相關(guān)性質(zhì)，找出各元素之間的關(guān)系.設(shè)動點P的坐標，然后找出各線段的代數(shù)式，再通過面積計算公式，得出二次函數(shù)頂點式，求出三角形面積的最大值.