馬麗欣

平面向量兼有“數(shù)”“形”兩重身份，是解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑，也是解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的有力工具，對(duì)于一些力學(xué)中的速度、力、動(dòng)量、功等應(yīng)用問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是一種特殊的平面向量（矢量）問(wèn)題，合理構(gòu)建向量模型，利用數(shù)學(xué)中的平面向量知識(shí)解決這些物理問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)物理學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科之間的合理交匯與巧妙融合，進(jìn)一步建立多個(gè)學(xué)科之間的聯(lián)系，

一、速度問(wèn)題

有關(guān)速度、加速度、位移等問(wèn)題在物理學(xué)科中比較常見(jiàn)，而在物理學(xué)科中，速度、加速度、位移等是矢量，即有方向，又有大小的量.在解答此類問(wèn)題時(shí)，我們可將速度、加速度、位移等看作一個(gè)平面向量，根據(jù)平面向量的概念、運(yùn)算性質(zhì)等建立關(guān)系式，通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)求得問(wèn)題的答案.

例1.點(diǎn)P在平面上以速度v=（一2，3）作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)JP的坐標(biāo)為（-5，16），則點(diǎn)P的初始坐標(biāo)為（ ）.

A.（3，13） B.（3，4）C.（-7， 19） D.（-13， 28）

分析：由題意可知速度這一矢量的坐標(biāo)，先設(shè)出點(diǎn)P的初始坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)平面向量坐標(biāo)的概念建立對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系式，通過(guò)解方程組求得到x、y的值，即可得到點(diǎn)P的初始坐標(biāo)，

解：根據(jù)題意設(shè)P的初始坐標(biāo)為（x，y），

點(diǎn)P在平面上以速度v=（-2，3）作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，16），

則（-5一x，16-y）=4（-2，3）=（-8，12），

解得x=3，y=4，即點(diǎn)P的初始坐標(biāo)為（3，4），故答案為B.

解答本題，需根據(jù)向量的概念以及向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算法則建立關(guān)系式，在解答物理中的速度、加速度、位移等問(wèn)題時(shí)，要明確向量與這些矢量之間的聯(lián)系，建立相應(yīng)的關(guān)系式，以便運(yùn)用向量的概念、運(yùn)算法則來(lái)解題.

二、力問(wèn)題

我們知道，力是有方向、有大小的量，這與向量的特性一致.在解答力的問(wèn)題時(shí)，可將力看作向量，根據(jù)三角形法則、平行四邊形法則來(lái)對(duì)力的合成與分解進(jìn)行分析、運(yùn)算，從而求得力的大小.

例2.如圖1所示，在細(xì)繩D處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛直方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1.

（1）試分析|F1|、|F2|隨著夾角θ的變化而變化的情況;

（2）當(dāng)|F1|≤2IGI時(shí)，試求夾角θ的取值范圍，

分析：這是物理中的力的問(wèn)題，需利用平面向量的平行四邊形法則來(lái)將力進(jìn)行分解，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題來(lái)求解.

解：（1）根據(jù)受力平衡，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，可知-G=F1+F2，

三、動(dòng)量、功問(wèn)題

物理學(xué)科中的動(dòng)量可用mv表示，其中m是物體的質(zhì)量，v是物體的速度.而功W實(shí)質(zhì)就是力F與其所產(chǎn)生位移S的數(shù)量積，即胙F.S.動(dòng)量、功均可用數(shù)學(xué)學(xué)科中平面向量的數(shù)乘運(yùn)算來(lái)表示.在解答動(dòng)量、功問(wèn)題時(shí)，可將m、v、F、5分別看作向量，根據(jù)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算法則、數(shù)量積公式、模的公式來(lái)進(jìn)行求解.

例3.一個(gè)質(zhì)量為m的小球在前進(jìn)過(guò)程中碰到擋板后反射，角度如圖2所示，若小球的入射和反射速度大小均為|v|，則碰撞擋板后反射的過(guò)程中小球的動(dòng)量變化大小為_(kāi)___.

解：以水平向右的方向?yàn)檎较?，則小球入射時(shí)在水平方向上的動(dòng)量與反射時(shí)在水平方向上的動(dòng)量相等，均為mvcosθ，

以豎直向上的方向?yàn)檎较?，則小球入射時(shí)在豎直方向上的動(dòng)量為mvsin0，則其大小為mlvlsinθ，此時(shí)碰撞過(guò)程中小球的動(dòng)量沒(méi)有變化;

以豎直向上的方向?yàn)檎较颍瓷鋾r(shí)在豎直方向上的動(dòng)量為-mvsinθ，則其大小為mlvlsinθ.由于方向相反，所以碰撞過(guò)程中小球的動(dòng)量變化大小為2mlvlsinθ.

解答動(dòng)量問(wèn)題，需通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)求得相應(yīng)平面向量的方向與大小.在解題時(shí)，還需要注意物理中的動(dòng)量對(duì)應(yīng)的方向和夾角.這些央定著動(dòng)量的大小、變化的量

例4.如圖3，某人用1.5m長(zhǎng)的繩索，施力25N，把重物沿坡度為30°的斜面拖上了6m，拖拉點(diǎn)距斜面的垂直高度為1.2m.求此人對(duì)物體位移所作的功.

分析：要求此人對(duì)物體位移所作的功，需將其轉(zhuǎn)化為求解作用力F與物體的位移兩者之間的數(shù)量積.根據(jù)向量數(shù)量積的公式，求得作用力F與物體的位移兩者之間夾角的大小，便可求得此人對(duì)物體位移所作的功，

物理中的功問(wèn)題，其實(shí)就是平面向量中的數(shù)量積問(wèn)題，通過(guò)平面向量運(yùn)算便能輕松處理物理問(wèn)題.

以平面向量知識(shí)為工具來(lái)分析、解答物理問(wèn)題，可以使問(wèn)題的解答過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單、便捷利用平面向量（矢量）來(lái)分析與解答物理問(wèn)題，關(guān)鍵在于將物理中的量與平面向量建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系，借助平面向量的概念、運(yùn)算法則、公式、定理等來(lái)求得問(wèn)題的答案.這對(duì)于實(shí)現(xiàn)學(xué)科之間的融合與交匯，培養(yǎng)綜合分析能力有非常重要的意義.

（作者單位：寧夏銀川市第二中學(xué)）