鄧穎潔 宋顯慶

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出，課程內(nèi)容重點是對課程進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。課程結(jié)構(gòu)化整合的背后潛藏的關(guān)鍵詞是關(guān)聯(lián)、整體、結(jié)構(gòu)、知識本質(zhì)。筆者認(rèn)為，關(guān)鍵課例的研究是落實“新課標(biāo)”這一變化的腳手架，它不僅是一堂課，更是一種理念，最后落地成一種行為。

一、關(guān)鍵課例的破與立

數(shù)學(xué)作為一門知識體系嚴(yán)密的學(xué)科，我們可以把它看作一棵大樹，外在莖干分明，內(nèi)在脈絡(luò)通達(dá)。如果把這棵樹看作意義不同的課，就像特級教師俞正強(qiáng)所說，有一些課“其蒔也若子”，需要厘清脈絡(luò)，有一些課“其置之若棄”，應(yīng)讓學(xué)生充分自主學(xué)習(xí)。那么“其蒔也若子”的課，就是有研究價值的關(guān)鍵課例。

關(guān)鍵課例，一般源自知識的起點、節(jié)點和拐點，它承載的使命是夯實基礎(chǔ)，生長數(shù)學(xué)思維，發(fā)生知識結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)?；蛘咭痪湓捀爬?，關(guān)鍵課例的本質(zhì)就是可供遷移、可供生長。那么，如何來梳理有價值的關(guān)鍵課例呢？一般可以有兩個視角：單元視角和知識領(lǐng)域視角。

（一）單元視角

教師在教學(xué)中往往會糾纏于碎片化的知識點，存在平均用力、均衡用時的情況。這樣就會出現(xiàn)處處是重點、處處又不是重點的情況。教學(xué)中，我們可以運用單元視角，錨準(zhǔn)單元內(nèi)容的邏輯順序，構(gòu)建符合學(xué)情的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，緊抓單元的核心概念，融入基本思想方法。它像一棵富有生長力的種子植根于課堂，生長于學(xué)生的頭腦中，以操作、體驗、交流、感悟等學(xué)習(xí)方式為主，以結(jié)構(gòu)、方法、思想為目標(biāo)。比如，人教版數(shù)學(xué)教材五年級上冊“多邊形的面積”自然單元中包含平行四邊形、三角形、梯形和不規(guī)則圖形的面積等內(nèi)容。探究這些內(nèi)容的過程中都要運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在平行四邊形面積計算公式推導(dǎo)中，關(guān)鍵的問題是“怎樣將一個平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形”，但在實際教學(xué)中學(xué)生的瓶頸問題是“怎么產(chǎn)生平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的想法的”“平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長方形是怎么發(fā)現(xiàn)的”，這兩個問題才是學(xué)生的認(rèn)知癥結(jié)，也是探究的價值所在。所以在這個單元中，“平行四邊形的面積”無疑就成為關(guān)鍵課例，學(xué)生在這節(jié)課上把問題弄明白了，后續(xù)遇到其他圖形的面積問題乃至不規(guī)則圖形的面積問題，就能有效遷移、推理、探究。

（二）知識領(lǐng)域視角

我們可以從鳥瞰知識的角度，了解一個知識板塊的來龍去脈、前因后果。小學(xué)階段，由于知識及學(xué)情等因素，數(shù)學(xué)知識在低、中、高年段呈現(xiàn)螺旋上升的形式，這些拆分的知識有些內(nèi)容相近、結(jié)構(gòu)相似、方法相通，我們可以從跨學(xué)段的角度去整體關(guān)聯(lián)、融通，以“瞻前顧后”的策略去思考知識與經(jīng)驗連接的契合點、知識與知識連接的關(guān)鍵點，這些契合點與關(guān)鍵點就是我們需要精雕細(xì)琢的關(guān)鍵課例。比如，在“數(shù)的認(rèn)識”這一知識體系中，從自然數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)等逐漸發(fā)展建構(gòu)。在這個知識體系中，我們梳理出3個關(guān)鍵課例，分別是 “10的認(rèn)識” “分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”和 “用字母表示數(shù)”。這3個課例是學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識發(fā)展的不同跨越：10的認(rèn)識——第一次將學(xué)過的數(shù)字組合成新數(shù)，第一次有“位值”的概念，是自然數(shù)認(rèn)識中知識技能的關(guān)鍵點;用字母表示數(shù)——數(shù)由確定狀態(tài)變成了一種未知狀態(tài)，字母可以用來表示多種情況的數(shù)，這是算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡的聯(lián)結(jié)點;分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識——把一個物體或多個物體看作一個整體，并量化為整數(shù)“1”，而這個“1”與自然數(shù)“1”的意義的認(rèn)知跨度是分?jǐn)?shù)認(rèn)識的起始點，也是數(shù)的認(rèn)識的發(fā)展點。

在教學(xué)實踐中，我們對人教版數(shù)學(xué)教材進(jìn)行“全景掃描”，構(gòu)建單元結(jié)構(gòu)、知識板塊圖譜，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中梳理出幾十個關(guān)鍵課例。在對關(guān)鍵課例的破解中，厘清梳理問題的脈絡(luò)，形成我們自己的教學(xué)主張。

二、關(guān)鍵課例的舍與得

淺顯易懂的教學(xué)內(nèi)容，投入時間不需要太多;關(guān)鍵、深刻的教學(xué)內(nèi)容，投入時間往往會多些。隨著關(guān)鍵課例實踐的深入，對時間的投入問題我們也有了一些新的思考。

（一）舍時間，得順其自然

關(guān)鍵課例因其在知識結(jié)構(gòu)中的特殊位置和特殊價值，教學(xué)時間投入自然相對較多。以“乘法計算”為例，教材編排循序漸進(jìn)，從乘法口訣、表內(nèi)乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)到多位數(shù)乘兩位數(shù)，我們把這些內(nèi)容進(jìn)行分類（如表1）。

這樣分類的數(shù)學(xué)思考是：第一層次是學(xué)習(xí)乘法的意義，利用乘法口訣計算乘法。第二層次體現(xiàn)分與合的思想，學(xué)生自主將拆數(shù)轉(zhuǎn)化為學(xué)過的表內(nèi)乘法，再明確拆成十幾和幾最簡便，最后學(xué)習(xí)用豎式記錄計算過程，充分體會十進(jìn)位值的意義及其簡潔性。第三層次借助積的變化規(guī)律將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的整數(shù)乘法。

所以兩位數(shù)乘一位數(shù)可以看作這個知識體系的關(guān)鍵課例，以“兩位數(shù)乘一位數(shù)”為例，我們這樣定位教學(xué)目標(biāo)：

1.理解筆算乘法的算理，學(xué)會用豎式計算的方法進(jìn)行筆算。

2.在多種方法對比中，體會數(shù)位和十進(jìn)位值制在筆算中的重要作用，能夠自主選擇簡潔的方法進(jìn)行計算。

3.在解決實際問題中學(xué)習(xí)筆算乘法，感受共性，積累經(jīng)驗，用分與合的方法解決新問題。

教學(xué)中，我們設(shè)計了以下教學(xué)活動：

（1）學(xué)生嘗試計算 12×3，經(jīng)歷算法多樣化。

①12+12+12=36;②2×3=6，10×3=30，30+6=36;

③9×3=27，3×3=9，27+9=36;

8×3=24，4×3=12，24+12=36;

7×3=21，5×3=15，21+15=36;

6×3=18，6×3=18，18+18=36。

通過交流發(fā)現(xiàn)：怎么分都可以，都是把 12 分成兩部分，分別乘3，再合起來。

（2）出示對比算式：13×3，學(xué)生繼續(xù)自主嘗試交流，并逐漸發(fā)現(xiàn)：拆成其他數(shù)不方便計算，最后發(fā)現(xiàn)拆成十和幾最好算。

經(jīng)歷了這樣不斷推翻和建立的過程，學(xué)生體會到：在分與合中，按十進(jìn)位值制去分更簡潔，從而幫助學(xué)生理解算理。最后通過比較橫式與豎式，不斷從感官上加強(qiáng)學(xué)生對位值的感悟，學(xué)生在對比中對筆算乘法的算理逐漸清晰，讓思維走向深刻。

關(guān)鍵課例的課堂教學(xué)看似花了大量時間，實則為日后學(xué)習(xí)類似內(nèi)容儲備知識、經(jīng)驗和思維方法。當(dāng)下的慢是為了將來的快，舍了時間，但爭取到了思維生長的順其自然。

（二）舍功利，得溯源本真

知識分為看得見的知識和看不見的知識?？吹靡姷闹R學(xué)生摸得著，教師多用講授的方式，也可以通過練習(xí)獲得反饋結(jié)果。但看不見的知識沒有清晰的知識點，學(xué)生難以通過自學(xué)習(xí)得，像“空間觀念”之類，教師不能講，即使講了，學(xué)生也不一定明白。但看不見的知識往往是思想、觀念，是素養(yǎng)。在關(guān)鍵課例中應(yīng)該明確看得見的知識用什么知識點來落腳，看不見的知識靠什么活動去支撐。比如，在“長方體和正方體”單元中，由于長方體的表面積、體積計算的源頭是對長方體核心概念的理解以及長方體特征的建構(gòu)，所以長方體、正方體的認(rèn)識可作為帶動整個單元的關(guān)鍵課例。這個課例中的顯性知識不用多說，除此之外，該課還是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的好時機(jī)。教學(xué)中除常規(guī)活動外，教師還可以拓展以下兩個體驗活動。

1.如圖1，去掉一條棱，你們能想象剛才的長方體的樣子嗎？再去掉一條棱呢？至少保留幾條棱才能想象出長方體原來的樣子？為什么？

2.如圖2，給出長方體的長、寬、高，想象它可能是什么物體？

如果錯失了對空間感的體驗，表面上看不會影響學(xué)生解決長方體表面積、體積問題，但潛在地會使學(xué)生今后主動學(xué)習(xí)的能力和意識缺失。一個關(guān)鍵課例，舍了功利，抵達(dá)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（三）舍讓位，得自主發(fā)展

學(xué)生是帶著已有知識經(jīng)驗走進(jìn)課堂的，所以讀懂學(xué)生是關(guān)鍵課例的精髓。我們以關(guān)鍵課例為突破口，以學(xué)生的已有知識儲備、經(jīng)驗和認(rèn)知水平為研究對象，對每一個關(guān)鍵課例進(jìn)行課前測，收集數(shù)據(jù)并做好數(shù)據(jù)分析，構(gòu)建關(guān)鍵課例的學(xué)情庫。有了數(shù)據(jù)分析，教師的心中才真的裝有學(xué)生，才真的懂得讓位的智慧。

課堂上，學(xué)生已經(jīng)會的，我們不講，教師只做“投石人”，去激活與關(guān)聯(lián)。讓學(xué)生尋找知識與經(jīng)驗、知識與知識的聯(lián)結(jié)點，學(xué)會推理遷移，歸納建模。關(guān)鍵課例的課堂上是有聲音的：“我是小講師”體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，“課堂辯論場”上學(xué)生為自己的觀點勇敢發(fā)聲。關(guān)鍵課例的課堂上是有表情的：思考問題時學(xué)生眉頭緊蹙，動手操作時專注凝神，豁然開朗后眉頭舒展。關(guān)鍵課例的課堂上是有思想的：學(xué)生圈圈畫畫，用語言或符號讓自己的思維可視化。關(guān)鍵課例的課堂上是有體驗的：尋找圓心，自制長方體……我們發(fā)現(xiàn)，教師的心里有多少儲備，學(xué)生的遷移就能激活多少力量;教師手中有多少評價標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生的個性就能有多少種呈現(xiàn)形式。

三、關(guān)鍵課例的踐與行

如果說關(guān)鍵課例為學(xué)生的成長提供了力量，那么，它也賦能教師“破繭成蝶”的專業(yè)修養(yǎng)進(jìn)程。我們構(gòu)建“3+X+Y”的梯隊模式開展課例研磨。“3”是學(xué)校導(dǎo)師，“X”是骨干教師，“Y”是青年新秀，不同層級的教師共同磨透一節(jié)課，以一節(jié)課啟發(fā)關(guān)聯(lián)課，以一節(jié)課磨煉一群人，形成每節(jié)關(guān)鍵課例的磨課方式：診斷起點（暢聊對教材的理解、對前后知識點的分析），分組研討（組內(nèi)研討、破解疑惑、尋求策略），初磨課堂（在課堂中實踐預(yù)案），反思重構(gòu)（反思課堂、策略重構(gòu)），復(fù)盤再上（二次教學(xué)、對比分析），集中反饋（以說課的方式集中研討、分析得與失），形成案例（完善教學(xué)資源包，效果不好重回第三環(huán)節(jié)）。

整個過程人人參與，誰也不是協(xié)助者，誰也不是旁觀人。就這樣，我們“拉長”研課時空，把握教學(xué)預(yù)設(shè)的大方向，積極解決課堂生成中的小問題。同時匯編《“研”近旨遠(yuǎn)》《“研”為心聲》《“研”無止境》等多本專輯，清晰教師專業(yè)化成長的軌跡，凝練教師教學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)方法，摸索出一條“以關(guān)鍵課例帶動系列課”的特色研究路徑。經(jīng)過打磨，我們給學(xué)生提出的問題大膽了一點，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的步子邁大了一點，給學(xué)生思考的時間長了一點，錯誤中成長的機(jī)會多了一點。就這樣一點、一點的變化，我們的團(tuán)隊借助彼此的微光去照亮彼此的課堂。經(jīng)過多年的探索，我們從尋找答案的人，努力變成書寫答案的人。

“雙減”政策下，如何“提質(zhì)增效”？關(guān)鍵課例給予了最好的回答?！瓣P(guān)鍵課”不是一堂課，而是一種教育的姿態(tài)，也是我們指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效途徑。

（作者單位：江西省南昌市站前路學(xué)校教育集團(tuán) 江西省教育廳教學(xué)教材研究室）

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