劉頓

根據(jù)折疊的特征，發(fā)現(xiàn)已知量和未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，運用轉(zhuǎn)化、方程、分類等思想求解，是解決矩形折疊問題的常規(guī)思路.

一、求線段的長

例1 （2021·貴州·畢節(jié)）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB = 7，BC = 9，M是BC上的點，且CM = 2. 將矩形紙片ABCD沿過點M的直線折疊，使點D落在AB上的點P處，點C落在點C'處，折痕為MN，則線段PA的長是（ ）.

A. 4 ? ? B. 5 ? ? C. 6 ? ? D. 2[5]

解析：如圖2，連接PM，設(shè)AP = x，

可得出PB = 7 - x，BM = 7，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CD = PC'= 7，CM = C′M = 2，

在Rt△PBM中，PB2 + BM2 = PM2，∴PM2 = （7 - x）2 + 72，

在Rt△PC′M中，C′P2 + C′M2 = PM2，∴PM2 = 72 + 22，

∴（7 - x）2 + 72 = 72 + 22，解得x = 5，∴AP = 5.

故選B.

二、求圖形的面積

例2 （2021·黑龍江·鶴崗）在矩形ABCD中，AB = 2 cm，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點B與點D重合，折痕與直線AD交于點E，且DE = 3 cm，則矩形ABCD的面積為 cm2.

解析：第一種情況：如圖3，由折疊可知BE = ED = 3 cm.

在Rt△ABE中，AB2 + AE2 = BE2，∴22 + AE2 = 32，解得AE = [5]，

∴AD = AE + ED = （[5] + 3）cm.

第二種情況：如圖4，AD = ED - AE = （3 - [5]）cm，

∴S矩形ABCD = AD·AB = （2[5] + 6）cm2或（6 - 2[5]）cm2.

故應(yīng)填2[5] + 6或6 - 2[5].

三、分析圖形的形狀

例3 （2021·江蘇·鹽城）如圖5，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上一點，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得△EC′F，連接AC′，當(dāng)BE = 時，△AEC′是以AE為腰的等腰三角形.

解析：根據(jù)題意，需分兩種情形：

設(shè)BE = x，則EC = 4 - x，由翻折得EC′ = EC = 4 - x，

當(dāng)AE = EC′時，AE = 4 - x，由矩形ABCD，得∠B = 90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得32 + x2 = （4 - x）2，解得x = [78].

當(dāng)AE = AC′時，如圖6，作AH⊥EC′，垂足為H，

∵EF⊥AE，∴∠AEF = ∠AEC′ + ∠FEC′ = 90°，∴∠BEA + ∠FEC = 90°.

∵△ECF沿EF翻折得△EC'F，∴∠FEC′ = ∠FEC，∴∠AEB = ∠AEH.

∵∠B = ∠AHE = 90°，AH = AH，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE = HE = x.

由“三線合一”可得EC′ = 2EH，即4 - x = 2x，解得x = [43].

綜上所述，BE = [78]或[43].

故應(yīng)填[78]或[43].

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★★? ? ?解題時間：10分鐘

（2021·青海）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖7①）.第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使得折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖7②）.

猜想論證：（1）若延長MN交BC于點P，如圖7③所示，試判定△BMP的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）在圖7③中，若AB = a，BC = b，當(dāng)a，b滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片ABCD中剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？

[D][F][C][E][A] [B][①][D][F][C][E][A] [B][M][N] [②][D][F][C][E][A] [B][M][N] [P] [③][圖7]

（作者單位： 江蘇省鹽城市射陽縣阜余中學(xué)）