[摘? 要] 在數(shù)學(xué)文化視角下，如何高屋建瓴地深挖教材，真正讓學(xué)習(xí)培根固本.文章從人教A版教材中的課后習(xí)題出發(fā)，簡(jiǎn)述如何在專題復(fù)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)文化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 圓;數(shù)學(xué)文化;核心素養(yǎng)

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求將數(shù)學(xué)史滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓數(shù)學(xué)文化貫穿必修課程和選擇性必修課程，并提出發(fā)展數(shù)學(xué)文化這一理念，指出“數(shù)學(xué)文化要盡可能有機(jī)地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，注意闡明數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展”，使學(xué)生“通過(guò)數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，了解人類社會(huì)發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神”[1]. 可見(jiàn)，將數(shù)學(xué)史融入平日的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，不僅能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以拓展、數(shù)學(xué)情感得以培養(yǎng)，還能更深層次地了解數(shù)學(xué)知識(shí)，更能發(fā)展數(shù)學(xué)文化，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

然而，在現(xiàn)實(shí)的課堂中，一線數(shù)學(xué)教師雖然知道數(shù)學(xué)文化的重要性，但長(zhǎng)期受應(yīng)試教育的影響，導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵認(rèn)識(shí)不足，在數(shù)學(xué)文化的理解上出現(xiàn)了片面化，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化在試卷中只不過(guò)是以文化素材的形式出現(xiàn)在一兩道試題中，不如多講一些例題更實(shí)在.

將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)融合是數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域里的一項(xiàng)非常重要的工作，當(dāng)下實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂已成為一種得到了廣泛實(shí)踐并推崇的教學(xué)模式.但如何有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合？如何使得基于數(shù)學(xué)文化視角的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)不流于形式，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)文化在實(shí)際教學(xué)中的重要價(jià)值？

數(shù)學(xué)文化的含義

“文化”一詞，在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中的解釋為：“人類在社會(huì)歷史發(fā)展過(guò)程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的總和，特指精神財(cái)富，如文學(xué)、藝術(shù)、教育、科學(xué)等.”[2]

學(xué)者王新民、馬岷興在文章《新課程中“數(shù)學(xué)文化”的涵義詮釋》中認(rèn)為：“數(shù)學(xué)文化是指人類在數(shù)學(xué)行為活動(dòng)中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品，其中物質(zhì)產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)語(yǔ)言等知識(shí)性成分;而精神產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)精神以及數(shù)學(xué)美等觀念性成分.”[3]

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)文化做了如下的定義：“它指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng).”[1]由此人們知道數(shù)學(xué)文化是更高層次的觀念性因素，它以數(shù)學(xué)知識(shí)為依托，是數(shù)學(xué)教學(xué)的載體，因此數(shù)學(xué)文化有別于數(shù)學(xué)知識(shí)，教學(xué)中教師應(yīng)該摒棄簡(jiǎn)單粗暴的介紹式教學(xué)方式而使用融入式教學(xué)方式更適合.

數(shù)學(xué)文化教學(xué)的意義

1. 滲透史料，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)深度思考

學(xué)生接觸到一個(gè)新知識(shí)或新概念時(shí)，疑惑最多的就是“為什么是那樣？”數(shù)學(xué)史可以幫助我們?nèi)プ匪輪?wèn)題的來(lái)龍去脈、知識(shí)演變發(fā)展的過(guò)程，觸及問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是自然的，知識(shí)的產(chǎn)生是水到渠成的，疑惑便順利解開(kāi);讓學(xué)生體驗(yàn)深度思考，理解知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)欲望.

2. 滲透思想，促進(jìn)思維發(fā)展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

探究數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)概念、命題的基本觀點(diǎn)，這些都離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想不僅是問(wèn)題發(fā)現(xiàn)和提出的源泉，還是問(wèn)題分析并解決的根本.數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的過(guò)程[4]. 教學(xué)中教師以數(shù)學(xué)思想為魂，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)時(shí)機(jī)去體驗(yàn)“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維分析的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，將問(wèn)題不斷深入、拓展，使其一般化，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3. 優(yōu)化學(xué)習(xí)，營(yíng)造文化氛圍，實(shí)現(xiàn)有效課堂

教學(xué)中教師教什么？肯定是教材. 教材凝聚著專家學(xué)者的心血和智慧，教材中的知識(shí)是有權(quán)威的，教材中的例題、習(xí)題都是精心打磨的，它們往往具有一定的背景，有些是外顯的，還有許多屬于內(nèi)隱型的，需要教師用心挖掘這些豐富的數(shù)學(xué)文化資源.這樣可以理清知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，為學(xué)生能個(gè)性思考提供基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主探究，能積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu). 以數(shù)學(xué)文化為著眼點(diǎn)，在問(wèn)題分析中，更利于師生、生生之間的合作交流，使得課堂氛圍充滿著積極互助、和諧民主的景象，實(shí)現(xiàn)有真正意義的有效課堂.

整合教材內(nèi)容，開(kāi)發(fā)文化資源

借助人類歷史的長(zhǎng)河，我們理清了教材中許多概念、公式、定理的源流.現(xiàn)如今，許多一線教師也意識(shí)到借助史料可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)概念、公式、定理.事實(shí)上，在現(xiàn)用的教材中，課后習(xí)題的背景蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化資源，如何去開(kāi)發(fā)挖掘？如何以高觀點(diǎn)的視角去聯(lián)系、看待問(wèn)題？為了回答以上問(wèn)題，筆者做了一點(diǎn)小小的嘗試——基于數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐教學(xué)“隱圓”專題課，本文節(jié)選了課堂中的兩個(gè)重要環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1：拋磚引玉

師：同學(xué)們，這些年我們一起學(xué)過(guò)了圓，你能談?wù)動(dòng)洃浿嘘P(guān)于圓的知識(shí)嗎？在初中我們學(xué)過(guò)圓，定義讓我們了解了圓的一些幾何性質(zhì)，如垂徑定理等;在高中我們學(xué)會(huì)了利用代數(shù)的方法去研究圓，得到了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，以及弦長(zhǎng)公式等.這節(jié)課我將和大家借助史料一起來(lái)探討高中教材課后習(xí)題中隱藏的圓，下面大家先來(lái)看一組題目：

設(shè)計(jì)意圖：起始問(wèn)題起點(diǎn)低，學(xué)生能迅速解決，此舉可讓學(xué)生積極地參與進(jìn)來(lái). 事實(shí)上，題（1）、題（2）、題（3）、題（4）、題（5）均是學(xué)生平日見(jiàn)過(guò)的圓的呈現(xiàn)形式，是圓幾何形態(tài)的不同的代數(shù)表征.其中，題（1）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓;題（2）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率之積等于-1的點(diǎn)的集合是圓;題（3）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離的平方和等于定值λλ>的點(diǎn)的集合是圓;題（4）的結(jié)論為：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的向量的數(shù)量積等于定值λλ>-的點(diǎn)的集合是圓;題（5）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于定值λ（λ>0且λ≠1）的點(diǎn)的集合是圓.

環(huán)節(jié)2：教材呈現(xiàn)

探究1：人教A版必修2教材習(xí)題4.1B組第2題：長(zhǎng)為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

第3題：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

閱讀材料“用《幾何畫板》探究點(diǎn)的軌跡（圓）”中的例題：已知點(diǎn)P（2，0），Q（8，0），點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離是它與點(diǎn)Q的距離的，用《幾何畫板》探究點(diǎn)M的軌跡，并給出軌跡的方程.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用解析法很快將上述問(wèn)題得出了結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)了題目的共同特征：軌跡都是圓. 教師這時(shí)介紹亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262年—前190年）的數(shù)學(xué)成就，并將此類圓命名為阿波羅尼奧斯圓（簡(jiǎn)稱阿圓）. 通過(guò)對(duì)阿圓的基本要素的探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生逐步積累如何發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).

變式2：在△ABC中，c=2，3b2-a2=12，求△ABC面積的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：揭示了阿圓問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)問(wèn)題并非無(wú)源之水、無(wú)本之木[5]，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的變式練習(xí)幫助學(xué)生領(lǐng)悟到問(wèn)題本質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)整體聯(lián)系去處理某類共性問(wèn)題，體會(huì)到題目只變其形不變其質(zhì)，從而使學(xué)生掌握探究問(wèn)題的一般思維和方法，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

此問(wèn)題將圓的“隱”，作為認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，即探索的起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上形成軌跡意識(shí)，借助解析幾何的方法建立幾何圖形與代數(shù)表達(dá)式之間的對(duì)應(yīng).

探究2：人教A版必修5教材習(xí)題3.4B組第2題：如圖1所示，樹頂A離地面a m，樹上另一點(diǎn)B離地面b m，在離地面c m的C處看此樹，離此樹多遠(yuǎn)時(shí)視角最大？

設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)題的背景是數(shù)學(xué)史上著名的米勒問(wèn)題. 1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出了一個(gè)十分有趣的問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在地球上什么部位，可視角最大？抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題（見(jiàn)圖2）：線段AB垂直于直線EF，垂足為O，在直線EF上任選C，使得∠ACB的值最大，求此時(shí)C的位置.

對(duì)于此問(wèn)題，文[6]給出了幾何解法. 我們知道，在水平直線上選擇點(diǎn)C，使得△ACB外接圓與水平直線剛好相切于點(diǎn)C，切點(diǎn)就是視角最大的點(diǎn)（見(jiàn)圖3）. 根據(jù)切割線定理可知，OC2=OA·OB.

設(shè)計(jì)意圖：整合教材中的習(xí)題與本節(jié)課的主題，借助整體思想，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)之間存在關(guān)聯(lián)，從而形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而不是一個(gè)個(gè)毫不相關(guān)且孤立的知識(shí)點(diǎn);讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生具有其必要性和合理性，每一個(gè)知識(shí)都是有存在價(jià)值的.將數(shù)學(xué)史有效融入課堂，不是簡(jiǎn)單敘述數(shù)學(xué)故事，更不是機(jī)械地挪用數(shù)學(xué)史. 首先，教師自身要透徹地理解數(shù)學(xué)史，根據(jù)實(shí)際教學(xué)的需要在組織教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)挑選出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的史料，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程，明白看似簡(jiǎn)單題目的背后所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)史，從中理解圓的意義，并體會(huì)數(shù)學(xué)家艱苦探索、鍥而不舍的鉆研精神，將數(shù)學(xué)史的價(jià)值最大程度地發(fā)揮出來(lái).

在人教A版數(shù)學(xué)必修2中的主題為“畫法幾何與蒙日”的閱讀與思考中提到了法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日，作為畫法幾何的創(chuàng)始人，他在其著作《畫法幾何學(xué)》中提到：“過(guò)橢圓外一點(diǎn)向橢圓做兩條互相垂直的切線，該點(diǎn)在同一圓上.”

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

該結(jié)論中的圓就是熟悉的蒙日?qǐng)A.

設(shè)計(jì)意圖：本探究的設(shè)計(jì)基于兩條線，一條是基本知識(shí)的明線：以蒙日?qǐng)A為背景提出問(wèn)題，得出蒙日?qǐng)A的定義;另一條是基本思想方法的暗線：先提出幾何問(wèn)題，然后借助代數(shù)方法去研究，從而揭示出解析幾何的實(shí)質(zhì). 在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出：“邏輯推理是指從一些事物和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推導(dǎo)其他命題的素養(yǎng).”[1]本探究借助類比推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論，然后經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證結(jié)論，這一過(guò)程讓學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到提升.

結(jié)束語(yǔ)

1. 對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的梳理

專題課的核心就是幫助學(xué)生厘清本專題所涉及的知識(shí)與方法，其目的是讓學(xué)生站在不同的角度去分析、理解同一問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)一類問(wèn)題全面化、系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上深入探索與其相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，擴(kuò)展這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的廣度與深度，最終讓學(xué)生在其頭腦中構(gòu)建解決這一類問(wèn)題清晰的思路.本節(jié)課的內(nèi)容，實(shí)際上就是常見(jiàn)的“隱圓”，說(shuō)“隱”一方面是因?yàn)樗从诮滩闹械恼n后習(xí)題、閱讀材料;一方面體現(xiàn)在作為幾何圖形的圓用代數(shù)特征去表達(dá);更重要的是每個(gè)圓背后還隱藏著豐富的數(shù)學(xué)史.這使得以圓為中心的這張知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖更具濃烈的人文氣息.

2. 合理展現(xiàn)數(shù)學(xué)史，構(gòu)建靈動(dòng)課堂

本節(jié)課通過(guò)有關(guān)圓的數(shù)學(xué)史的引入，重新組織了知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，穿插了數(shù)學(xué)史中比較重要的幾個(gè)關(guān)于圓的概念，使學(xué)生在有著生動(dòng)豐富的數(shù)學(xué)史背景的課堂中學(xué)習(xí)，仿佛置身于數(shù)學(xué)歷史的長(zhǎng)河中，在課堂上引起了不小的轟動(dòng)，學(xué)生驚嘆到：看似一道簡(jiǎn)單題目的背后卻隱含著一個(gè)個(gè)以數(shù)學(xué)家名字命名的圓，使學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)圓概念的延伸和發(fā)展過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 生動(dòng)豐富的數(shù)學(xué)史背景，不但能使學(xué)生更深層次地去理解圓的概念，還能從數(shù)學(xué)史中感受到數(shù)學(xué)家們的科學(xué)精神.正如人們常說(shuō)：“靈動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂需要數(shù)學(xué)史的點(diǎn)綴.”

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作者簡(jiǎn)介：何剛（1983—），教育碩士，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.