摘要：廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，特別是一線教師，可以由《張景中教育數(shù)學(xué)文選》一書獲得很多方面的重要啟示，包括：數(shù)學(xué)教育的主要價值是提供智力上的滿足（好玩、有趣）以及思維的訓(xùn)練;小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當滲透函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、寓理于算等數(shù)學(xué)思想;落實數(shù)學(xué)教學(xué)工作的創(chuàng)造性應(yīng)該整體研究學(xué)科分支，建構(gòu)“平易直觀的概念，簡單明快的邏輯結(jié)構(gòu)，通用有力的解題方法”。

關(guān)鍵詞：張景中;數(shù)學(xué)教育價值;數(shù)學(xué)思想;教育數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)再創(chuàng)造

華東師范大學(xué)出版社于2021年出版的《張景中教育數(shù)學(xué)文選》，是《當代中國數(shù)學(xué)教育名家文選》叢書中的一部。盡管其主要內(nèi)容超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，甚至部分內(nèi)容超出了中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，廣大中小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，特別是一線教師，仍可由這一著作獲得很多方面的重要啟示。以下從三個方面談?wù)劰P者閱讀這一著作的感受和體會。

一、 數(shù)學(xué)教育的主要價值

無論中小學(xué)學(xué)生，還是中小學(xué)數(shù)學(xué)教師，都應(yīng)當認真思考一個問題：我們?yōu)槭裁磻?yīng)當學(xué)（教）數(shù)學(xué)？也即：我們應(yīng)當如何認識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（教育）的價值？因為，明確了數(shù)學(xué)的重要性，我們才能在學(xué)（教）數(shù)學(xué)時表現(xiàn)出更大的自覺性。應(yīng)當指明的是，筆者在此有意識地沒有使用“數(shù)學(xué)究竟有什么用”這樣一個表達方式。因為，在當前的語境下，這往往會導(dǎo)致一個后果：將人們的思考引向乃至完全局限于數(shù)學(xué)在日常生活與工作中的應(yīng)用。

再者，作為數(shù)學(xué)教師，如果我們所想的僅僅是如何讓自己的學(xué)生在各類考試，特別是升學(xué)考試中取得較好的成績，那么，相應(yīng)的做法即使不應(yīng)被簡單地斥責(zé)為“誤人子弟”，至少也應(yīng)被看成具有很大的局限性。因為，我們顯然不能將應(yīng)試看成教育工作的主要目標。對此，相信讀者可在以下兩位教師的闡述中獲得更深的感悟與認識。

一是陳立軍老師的經(jīng)歷與感悟：剛畢業(yè)那會兒，哪里懂教育，只知道“考考考，老師的法寶;分分分，學(xué)生的命根”，并將此視為教育教學(xué)的準則和方向，起早貪黑地陪讀，口若懸河地灌輸，苦口婆心地勸誡，整天把學(xué)生逼進題海，只為學(xué)生考個好分數(shù)……可當領(lǐng)導(dǎo)、同事的鮮花掌聲涌來，卻沒有幾個學(xué)生感恩我的付出。學(xué)生的“冷血”讓我深刻反?。何揖蜑榱粟A得這一“佳績”嗎？如果給學(xué)生的只是分數(shù)，那叫教育嗎？

因此，在教育的“速成”與“養(yǎng)成”之間我選擇“養(yǎng)成”，與其大量“刷題”，不如陪學(xué)生讀一本書;在教學(xué)的“外鑠”與“內(nèi)化”之間我追求“內(nèi)化”，少強迫，多引導(dǎo)，讓學(xué)生在自我教育中成長;在教育的“有用”與“無用”之間我更鐘情于“無用”，班級的審美教育、底線教育、陽光教育等活動開展貫穿每學(xué)期。我知道，教孩子三年，就要考慮孩子30年的成長與發(fā)展。陳立軍.陪學(xué)生遇見美好的自己[J].人民教育，2020（5）：7879。二是陳大偉老師的思考與認識：“你為什么要當教師？”才當教師的時候，我可能只是想以此謀生。隨著時間的推移，現(xiàn)在的我愿意這樣回答：“我當教師，是想讓一些人有所改變?！?/p>

“你準備當什么樣的教師？”這是為自己的教育人生確立方向和目標。我的回答是：準備成為當下學(xué)生不那么討厭、若干年后學(xué)生還樂于談?wù)摰慕處煛夷芟氲健白罾寺氖隆?，就是在教師生活中有一些超越和?chuàng)造，一路上收藏點點滴滴的創(chuàng)造，退休以后坐在搖椅上跟自己的子孫們慢慢聊。千萬不要在別人問起自己的教師生活時，什么也說不出來。陳大偉.當教師，需要想好幾個問題[J].教育研究與評論，2021（5）：125。那么，究竟什么是數(shù)學(xué)教育的主要價值呢？對此，應(yīng)當說已經(jīng)有了很多的論述。比如，1959年，華羅庚先生在《人民日報》發(fā)表的《大哉數(shù)學(xué)之為用》就是討論這個問題的十分著名的一篇文章;后來，還有由王梓坤先生執(zhí)筆、以“中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部”為名發(fā)表的文章《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》。與此相比較，美國著名數(shù)學(xué)史家M.克萊因的以下論述則可說涉及了更多的方面，更可說從一個不同的角度極大地開闊了人們的視野：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能提供以上一切?！?/p>

這里，特別需要提及一個廣受數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者認可的觀點：數(shù)學(xué)主要地應(yīng)被看成一種心智活動，它帶給人們的也就主要是智力上的滿足。比如，數(shù)學(xué)家洛克哈特說道：“我們談的是一個完全天真及愉悅的人類心智活動——與自己心智的對話。數(shù)學(xué)不需要乏味的勤奮或技術(shù)上的借口，它超越所有的世俗考量。數(shù)學(xué)的價值在于它好玩、有趣，并帶給我們很大的歡樂?！雹?保羅·洛克哈特.一個數(shù)學(xué)家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學(xué)習(xí)、走進美麗的數(shù)學(xué)世界[M].高翠霜，譯.上海：上海社會科學(xué)院出版社，2019：132，35?！斑@就是數(shù)學(xué)的外貌和感覺。數(shù)學(xué)家的藝術(shù)就像這樣：對于我們想象的創(chuàng)造物提出簡單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界;如此令人著迷、充滿趣味……”②

當然，如果我們只會引用別人的論述，而沒有任何真切的感受，那么，不僅自己會感到缺乏底氣，也一定會讓人感到空洞乏味。正因為此，作為數(shù)學(xué)教師，我們就應(yīng)認真地嘗試一下：看看自己對此能否作出解讀，或者舉出哪怕是最簡單的一個實例。

以下是《張景中教育數(shù)學(xué)文選》中的一些相關(guān)論述：

首先是張景中先生對“您能談?wù)剶?shù)學(xué)好玩在什么地方嗎？”這一問題的回答：“我覺得數(shù)學(xué)好玩是因為數(shù)學(xué)非常理性，首先在學(xué)習(xí)和研究的過程中，數(shù)學(xué)能夠讓人感覺到解放……數(shù)學(xué)能夠讓很多原來不行的東西都變得行了。剛開始學(xué)數(shù)學(xué)時，有一些清規(guī)戒律，隨著我們不斷地往下學(xué)，這種清規(guī)戒律就不斷地被打破，使人一次又一次地感覺到解放。比如，原來負數(shù)是不能開方的，后來經(jīng)過一定的發(fā)展，負數(shù)就能夠開方了。再如，原來只是有窮個數(shù)相加，后來無窮個數(shù)也可以相加。在這個逐漸學(xué)習(xí)的過程中，你就會感覺數(shù)學(xué)的清規(guī)戒律越來越少……由此你可以看到，數(shù)學(xué)里面無禁區(qū)。你只要想做的都可以做到，原來沒有規(guī)定的你也可以規(guī)定，原來他是這樣定義的你可以那樣定義，這讓我感覺到了解放。”④⑤ 張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：590，590591，591。

其次是張景中先生對“您覺得哪些是大多數(shù)中小學(xué)生能夠感受、體驗到數(shù)學(xué)好玩的地方？”這一問題的回答：“我想應(yīng)該是力量感。數(shù)學(xué)是很有力量的。因為有時候，你只需要學(xué)一個小時，解決問題的力量跟以前就大不相同了。比如，在小學(xué)里，那種很難的應(yīng)用題……學(xué)生拿回去，自己不會，家長也不會，解起來很困難。到后來，學(xué)了代數(shù)，列個方程就可以解出來了。你越不斷學(xué)習(xí)，就越會覺得數(shù)學(xué)給人帶來的力量簡直是不可想象的……很多問題的解決方法都是世界上許許多多愛動腦筋的人想了很久，終于想出來的。這種方法是前人經(jīng)過幾百年才探索出來的，如果你學(xué)會了，那么你就在一節(jié)課里前進了幾百年……這種原創(chuàng)性的問題，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中、在數(shù)學(xué)教學(xué)時幾乎每個星期都會遇到，而且自己在解題時，也會創(chuàng)造出新的東西來。所以，如果老師在教學(xué)時也能帶給學(xué)生一種力量感，經(jīng)常讓學(xué)生體會到昨天還不會的問題今天就會了，那么，學(xué)生對數(shù)學(xué)的看法就會不同了?！雹?/p>

最后是張景中先生對“除了感覺到解放和力量，您覺得數(shù)學(xué)還能讓我們感覺到什么呢？”這一問題的回答：“數(shù)學(xué)還能讓人感覺到震撼……這說明了數(shù)學(xué)給人帶來的好處，表面上看不出什么的事情，它的背后卻隱藏著一定的規(guī)律。再如，假定全班有50個學(xué)生，如果你問有沒有兩個人的生日是同一天的，回答幾乎都是有的。我們可以用概率進行推斷，這種情況發(fā)生的可能性在97%以上，而且可以馬上算出來……”⑤

顯然，以上論述也為我們更好地理解“數(shù)學(xué)好玩”（或“數(shù)學(xué)帶給人們的主要是智力上的滿足”）等在現(xiàn)實中經(jīng)?？梢月牐矗┑降挠^點提供了直接的啟示：“數(shù)學(xué)的趣味性不在外部，而在它的內(nèi)部。要讓學(xué)生能夠鉆研到里面，體會到數(shù)學(xué)的趣味性。要做到這些，需要提高老師的水平、教材的水平以及整個社會考試的引導(dǎo)。我們現(xiàn)在的考試，要求學(xué)生在一兩個小時內(nèi)完成一二十道題目，實際是讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)解更多的題，而不要做過多的思考。我想這是很不好的。”張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：593594。

當然，教師除了自己對此有清楚的認識，特別是真切的感受，還應(yīng)善于將此傳遞給學(xué)生，從而激發(fā)他們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。以下就是語文教育方面的一個實例（希望在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也能看到更多這樣的范例）：語文自身的魅力，是學(xué)生對語文產(chǎn)生濃厚興趣的最重要因素……我努力讓第一節(jié)課展現(xiàn)語文的獨特魅力。

……

“語文里藏著什么呢？”我輕點鼠標，屏幕上出現(xiàn)了“語文里有美妙的音樂”幾個大字。學(xué)生一臉疑惑，而我則開始背誦《聲律啟蒙》的選段：“云對雨，雪對風(fēng)，晚照對晴空……”

誦完，我問學(xué)生是否好聽，他們都說;“好聽，好聽?！蔽覇査麄兪欠裨敢庾约鹤x讀，他們連呼“愿意”。屏幕上的文字一出現(xiàn)，他們就迫不及待地讀了起來，越讀越感受到文字的悅耳。盡管學(xué)生還不太清楚其中的意思，但絲毫不影響他們的誦讀熱情。

……

“語文里除了動聽悅耳的音樂，還有什么呢？”隨著我的發(fā)問，“語文里有深深的智慧”出現(xiàn)在屏幕上?！拔乙_始講故事了?！币宦犛泄适?，學(xué)生興奮得不得了，幾乎要歡呼雀躍。

“有一次，美國代表來我們國家訪問，代表團里有位官員當著周總理的面說：‘中國人很喜歡低著頭走路，而我們美國人卻總是抬著頭走路。此語一出，震驚四座。因為誰都聽得出來，這位官員在嘲笑、諷刺中國人。周總理卻不慌不忙，面帶微笑地說：‘這并不奇怪。因為我們中國人喜歡走上坡路，而你們美國人喜歡走下坡路。話音剛落，那位官員立即低下了頭，不敢出聲了?！?/p>

學(xué)生聽后哈哈大笑，我朗聲說：“周總理的話就是智慧！學(xué)好語文，你也會擁有智慧！”……

“語文里還有濃濃的情感。我將要為大家朗讀一篇文章，題目叫《娘，我的瘋子娘》，里面就蘊含著濃濃的情意，不信你聽！”……

我讀了起來……讀著，讀著，教室里越來越安靜，到后來幾乎能聽到彼此的呼吸聲……

我的聲音有些哽咽！讀完整篇文章，大家都沉默了。有些學(xué)生眼中閃動著晶瑩的淚花。我說：“樹兒的娘對他的愛讓人十分感動！我們每個人的媽媽都非常偉大。她們的愛讓我們感到溫暖、快樂，誰愿意說說你的媽媽對你的關(guān)愛？只要說一件事，并講講母愛讓你感覺像什么?！?/p>

……

快要下課了，我總結(jié)道：“語文里有音樂，有智慧，有情感，想必這節(jié)課我們已經(jīng)有所體會了，但是語文里其實還有很多有意思、有意味的寶藏，這就有待你們以后自己去尋找、挖掘了。”彭峰.我的第一節(jié)語文課[J].教育研究與評論，2022（1）：125127。最后，作為對數(shù)學(xué)教育主要價值的具體解答，筆者想特別引用《單墫數(shù)學(xué)與教育文選》一書（也屬于《當代中國數(shù)學(xué)教育名家文選》叢書）中的一個觀點：“數(shù)學(xué)對思維的訓(xùn)練還是有用的，這才是數(shù)學(xué)的最廣泛的‘實用性，這才是我們要學(xué)數(shù)學(xué)的主要原因?！眴螇?單墫數(shù)學(xué)與教育文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：616。因為，與前面提出的“作為一種心智活動，數(shù)學(xué)具有‘無用之用、無為之為”這樣的觀點相比較，這顯然是更加合適的一個提法。

二、 數(shù)學(xué)思想與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

在此，筆者想特別推薦《張景中教育數(shù)學(xué)文選》中的兩篇文章：《感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們》與《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究前瞻》。因為，這不僅對我們改進教學(xué)有直接的指導(dǎo)意義，也可幫助我們更好地理解什么是真正的“居高臨下”，從而不至于被某些看上去十分高深、實質(zhì)上卻空洞無物，甚至還有一定誤導(dǎo)作用的“宏大言論”（如“分數(shù)的本質(zhì)在于無量綱性”等）所迷惑。

下面，聯(lián)系數(shù)學(xué)教育改革進行分析說明。顯然，數(shù)學(xué)教育改革涉及很多的方面。例如，我國新一輪的數(shù)學(xué)課程改革有一個十分明顯的特點，即對教學(xué)方法改革的突出強調(diào)。與此相對照，如果我們所關(guān)注的不只是課堂的教學(xué)，那么也就應(yīng)當十分關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的選擇。再者，如果說關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的選擇仍可被歸屬于教學(xué)中的“顯性方面”，那么，關(guān)于基本教育目標的分析顯然就上升到了一個更高的層次，盡管它從形式上看似乎與日常教學(xué)活動有較大的距離。另外，這恐怕也就是數(shù)學(xué)課程標準為什么要專門談及所謂的“核心概念”（現(xiàn)在演變?yōu)椤昂诵乃仞B(yǎng)”，與此密切相關(guān)的還有“重要思想”這樣一個概念）的主要原因：核心概念（重要思想）在一定程度上可起到橋梁的作用，盡管其準確界定并不容易。具體地說，作為核心概念，顯然應(yīng)當少而精。我們不僅應(yīng)當通過全部學(xué)習(xí)內(nèi)容的綜合分析很好地提煉出相應(yīng)的核心概念，從而起到“分清主次，突出重點，以主帶次”的作用，而且應(yīng)當由具體的“知識和技能”上升到“思維和方法”，從而從更高的層面對實際教學(xué)起到統(tǒng)領(lǐng)的作用——正因為此，筆者以為，將核心概念分別歸屬于所謂的“三會”就不很恰當，特別是，我們不應(yīng)僅僅關(guān)注這種“向上的聯(lián)系”，也應(yīng)注意分析其與具體教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，即“向下的聯(lián)系”，這樣，我們才能進一步談及所謂的“大道理”，包括真正做好“高觀點指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”。

由此，我們即可很好地理解張景中先生的以下論述：“小學(xué)生的數(shù)學(xué)很初等，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。”④ ?張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：558，565。“函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、寓理于算的思想……這些思想是可以早期滲透的。早期滲透是引而不發(fā)，是通過具體問題來體現(xiàn)這些思想……學(xué)下去，過三年五年，學(xué)生就體會到，是數(shù)學(xué)思想的力量?！雹?/p>

由于對（小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中）數(shù)形結(jié)合的思想已有眾多的論述，盡管我們也可由張景中先生的相關(guān)論述獲得關(guān)于滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要啟示，如讓學(xué)生盡早使用幾何語言等，以下分析還是集中于張景中先生關(guān)于滲透函數(shù)的思想和寓理于算的思想的論述。

首先是關(guān)于滲透函數(shù)的思想的論述：最重要的，首推函數(shù)的思想。

比如說加法，2和3加起來等于5，這個答案“5”是唯一確定的，寫成數(shù)學(xué)式子就是2+3=5。如果把左端的3變成4，右端的5就變成6;把左端的2變成7，右端的5就變成10。右端的數(shù)被左端的數(shù)唯一確定。在數(shù)學(xué)里，數(shù)量之間的確定性關(guān)系叫作函數(shù)關(guān)系。加法實際上是一個函數(shù)，由兩個數(shù)確定一個數(shù)，是一個二元函數(shù)。如果把式子里的第一個數(shù)‘2固定了，右端的和就被另一個數(shù)確定，就成了一元函數(shù)。

……

當然，不用給小學(xué)生講函數(shù)概念，但老師有了函數(shù)思想，在教學(xué)過程中注意滲透變量和函數(shù)的思想，潛移默化，對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的發(fā)展就有好處。

比如學(xué)乘法，九九表總是要背的。“三七二十一”的下一句是“四七二十八”，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起來了。這樣用理解幫助記憶，用加法幫助乘法，實質(zhì)上包含了變量和函數(shù)的思想：3變成4，對應(yīng)的21就變成28。這里不是把3和4看成孤立的兩個數(shù)，而是看成一個變量先后取到的兩個值。想法雖然簡單，小學(xué)生往往想不到，要靠老師指點。挖掘九九表里的規(guī)律，把枯燥的死記硬背變成有趣的思考，不僅是教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，也是在滲透變量和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想。張景中. 張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：558559。對此，筆者想特別提及當前國際數(shù)學(xué)教育改革的一個普遍趨勢：由主要強調(diào)小學(xué)階段應(yīng)當盡早引入某些專門的代數(shù)課程轉(zhuǎn)向大力提倡“早期代數(shù)”，即認為小學(xué)算術(shù)教學(xué)應(yīng)當很好地滲透代數(shù)思維。

當然，這方面工作的一個必要前提是對代數(shù)思維的正確理解，特別是，我們不應(yīng)僅僅將其理解成“字母符號的引入”，包括將此看成直接對象純形式的操作，也應(yīng)清楚地認識到這樣一點：符號的引入為我們很好地實現(xiàn)“一般化”提供了重要的工具。此外，“代數(shù)思維的本質(zhì)并不是對代數(shù)符號的使用，而是對代數(shù)結(jié)構(gòu)與關(guān)系的理解。對這種結(jié)構(gòu)與關(guān)系的培養(yǎng)，應(yīng)該從小學(xué)一年級數(shù)與計算的教學(xué)開始”章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學(xué)階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學(xué)——墨爾本大學(xué)教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（11）：13。。因此，就代數(shù)思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透而言，我們還應(yīng)十分重視由“操作性觀念”向“關(guān)系（結(jié)構(gòu)）性觀念”的轉(zhuǎn)變，即應(yīng)將著眼點由如何獲得相應(yīng)的結(jié)果轉(zhuǎn)向?qū)?shù)量關(guān)系，特別是等量關(guān)系的分析。

頗有趣味的是，相關(guān)人士在對這一觀點進行論述時，所舉出的正是加減法的例子：在小學(xué)低年級的教學(xué)中，需要特別強調(diào)對等式的理解……在小學(xué)一年級時，經(jīng)常會讓學(xué)生口算，比如3+4。這里值得注意的是，我們要強調(diào)3+4“等于”7，而不要說“得到”7。因為這里的等號有兩個層面的意義：一是計算結(jié)果，就是我們經(jīng)常說的“得到”;二是表示“相等關(guān)系”。我們在學(xué)生剛接觸等號時，就要幫助他們建立起對等號的這種相等關(guān)系的理解。因此，有時候，讓一年級的學(xué)生接觸7=3+4這樣的算式是有必要的，因為在這樣的算式中，你就沒法將等號說成“得到”。當然，這里也要嘗試讓學(xué)生理解7同樣也等于4+3。3+4=4+3，第一個加數(shù)增加的時候，第二個加數(shù)減少，這兩個加法算式還是保持相等的。在這之后，可以讓學(xué)生嘗試看兩邊都不止一個數(shù)的等式，如17+29=16+30……此外，還可以給學(xué)生利用相等關(guān)系判斷正誤的式子。比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3。

……

為了幫助學(xué)生更深入地理解這種相等關(guān)系，下面的例子可能值得考慮。學(xué)校里來了10個新學(xué)生，但是我們現(xiàn)在不知道男生和女生各有多少人，你能說出有多少個男生、多少個女生嗎？可以先讓學(xué)生列出所有的可能性，如9個男生、1個女生，6個男生、4個女生……然后進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在所有這些組合中，如果男生減少1個，女生必然要增加1個，以保證總?cè)藬?shù)是10個。這其實就是保持加法中的相等關(guān)系所需要做的“補償”，也就是中國課程里說的和不變性質(zhì)。在減法中也有相等關(guān)系，不過與加法不同。比如，在讓學(xué)生思考類似“今年小明8歲，哥哥比小明大9歲，15年后哥哥比小明大幾歲”這樣的問題時，除了要求學(xué)生理清其中的數(shù)量關(guān)系得到正確的答案，更重要的是幫助學(xué)生形成這樣的意識：減法算式的結(jié)構(gòu)與加法算式不同，當被減數(shù)與減數(shù)同時增加（或減少）相同的數(shù)時，差是不變的。章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學(xué)階段“早期代數(shù)思維”的內(nèi)涵及教學(xué)——墨爾本大學(xué)教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（11）：11。顯然，張景中先生的論述與以上論述相比，可以說達到了更高的層次，即從一個更高的層面為我們做好小學(xué)算術(shù)教學(xué)指明了一個新的努力方向。

其次，關(guān)于滲透寓理于算的思想，相對于一般性理解而言，張景中先生又強調(diào)了“理”和“算”之間的聯(lián)系：小學(xué)里主要學(xué)計算，不講推理。但是，計算和推理是相通的。

……

推理是抽象的計算，計算是具體的推理……我們可以舉些例子，讓學(xué)生慢慢體會到所謂推理，本來是計算;到了熟能生巧的程度，計算過程可以省略了，還可以得到同樣的結(jié)果，就成了推理。張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：563。張景中先生還給出了一些實例：比如，一個三角形ABC（如下頁圖1），如果D是底邊AB的中點的話，三角形ACD和三角形CDB的面積就相等。這可以計算出來：假設(shè)AD=DB=3，三角形的高是4，那么它們的面積都是6。最后可以得出結(jié)論：如果一個三角形的一條中線將它分成兩個三角形，那么它們的面積相等。先是計算得出相等，后來不計算也知道它們相等，這就由計算轉(zhuǎn)向推理了。

再比如圖2，上面一個四邊形ABOC，下面一個三角形BOC，設(shè)AO=2OD……也就知道了三角形AOB的面積是三角形BOD面積的2倍。當然，如果給出具體的數(shù)據(jù)，也是能夠計算出來的。這樣算過之后，就會進一步推出一般的規(guī)律：四邊形ABOC和三角形BOC的面積比等于線段AO和OD的長度比，計算就轉(zhuǎn)化成推理了。② 張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：567568，569。

應(yīng)當強調(diào)的是，從張景中先生的相關(guān)論述中，我們還可獲得關(guān)于如何提升學(xué)生解決問題能力的重要啟示：我們說數(shù)學(xué)是思維的體操，思維的體操應(yīng)向什么方向引導(dǎo)？怎樣教學(xué)，才能使學(xué)生將來上了大學(xué)后回想起他小學(xué)里學(xué)習(xí)的東西時，覺得對他大學(xué)的學(xué)習(xí)還有幫助？能不能引導(dǎo)學(xué)生逐步從常量到變量？……小學(xué)里講了很多應(yīng)用題，這些應(yīng)用題有什么共同點？很多教材都沒有指出。其實是有共同點的：大量的題目，都涉及一次函數(shù)關(guān)系。

舉一個雞兔同籠的例子：雞和兔共有12個頭、34只腳，有多少只雞？學(xué)生只會想到這些字面的意思，但是數(shù)學(xué)家、老師和教材編寫人員可以想到這樣一個表：雞（只）1234567891011兔（只）1110987654321總腳數(shù)4644424038363432302826這個表說明，答案和題目中的某個數(shù)，有函數(shù)關(guān)系。如果這樣問小學(xué)生：“1只雞對不對呀？”“不對。1只雞和11只兔子共有46只腳，不是34只腳呀！”但是，數(shù)學(xué)家不這樣，數(shù)學(xué)家就會考慮多少只雞和多少條腿之間的關(guān)系，隨著雞的增加腿的數(shù)目在減少，這是函數(shù)關(guān)系。假設(shè)一個答案代進去不對，必然可以由某一個數(shù)檢驗出來，不對的答案和題目中某個數(shù)之間有個關(guān)系，知道了這個關(guān)系，就知道答案往上調(diào)整還是往下調(diào)整，很快就會得到正確答案。這是個笨辦法，學(xué)生不理解，以為這個辦法不好。但這個辦法有個特點：幾乎所有的應(yīng)用題都能用它來求解。因為小學(xué)應(yīng)用題基本上都是一次函數(shù)。這個方法從解決具體問題的角度來看是個笨辦法，但從數(shù)學(xué)觀點來看，是個高等觀點。學(xué)生掌握了這個方法，有了這個觀點，就可以解決各種各樣的應(yīng)用題了。即使是很簡單的題目，也可以把它由靜態(tài)變成動態(tài)。②在張景中先生看來，由以上實例，我們也可很好地理解“動靜結(jié)合”這個重要的數(shù)學(xué)思想（解題策略）。當然，對此我們還可圍繞“變與不變”“過程與結(jié)果”“特殊與一般”“整體與局部”等辯證關(guān)系作出自己的分析、理解，包括陳省身先生提出的更高層次的方法論（也是價值觀）原則：“數(shù)學(xué)可以分為好的數(shù)學(xué)與不好的數(shù)學(xué)，好的數(shù)學(xué)指的是能發(fā)展、能越來越深入、能被廣泛應(yīng)用、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué);不好的數(shù)學(xué)則是一些比較孤立的內(nèi)容?！雹?張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：565，前言1。——有興趣的讀者還可參照《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2022年第2期發(fā)表的主題為“以數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗發(fā)展‘數(shù)學(xué)論證”的一組文章，對我們究竟應(yīng)當通過何種渠道或路徑幫助學(xué)生學(xué)會論證，包括我們是否又應(yīng)特別強調(diào)“活動經(jīng)驗”在這一方面的重要作用，作出自己的思考，從而認識到堅持獨立思考的重要性，不因為盲目追隨潮流而不自覺地陷入某種認識的誤區(qū)。

由于函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、寓理于算的思想，都屬于“好的數(shù)學(xué)”，我們就應(yīng)十分重視這些思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。當然，依據(jù)這樣的認識，我們又應(yīng)進一步思考：我們是否應(yīng)該將“函數(shù)的思想”與“數(shù)感”“符號意識”一起看成數(shù)與代數(shù)教學(xué)最重要的指導(dǎo)思想，乃至將它列入“核心概念”？我們又是否應(yīng)當將所謂的“運算能力”與“推理能力”合并為“計算與推理能力”？

三、 教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)造性

閱讀《張景中教育數(shù)學(xué)文選》，顯然繞不開對其中最重要的概念——“教育數(shù)學(xué)”的理解。因為，這個概念的提出，是張景中先生在數(shù)學(xué)教育方面最重要的貢獻;而張景中先生圍繞這個概念展開的大量的具體的研究，是本書的主要內(nèi)容。

張景中先生認為：“所謂教育數(shù)學(xué)，就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。為把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?，而提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)?！雹?/p>

通過對照比較，我們可以對此有更好的理解：

其一，正如人們普遍了解的，弗賴登塔爾對數(shù)學(xué)教學(xué)的具體建議是：讓學(xué)生通過“重復(fù)”歷史上的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這也就是所謂的“再創(chuàng)造原則”。對此，弗賴登塔爾做過進一步的說明：“創(chuàng)造，照這里的理解，是學(xué)習(xí)過程的若干步驟，這些步驟的重要性在于‘再創(chuàng)造的‘再?！雹?弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)[M].劉意竹，楊剛，等譯.上海：上海教育出版社，1999：63，67?！昂⒆討?yīng)該重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過程，但并非它的實際發(fā)生過程，而是假定人們在過去就知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西，那情況會怎么發(fā)生。”④

顯然，張景中先生所強調(diào)的由“數(shù)學(xué)教育”向“教育數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，事實上也是一種“再創(chuàng)造”，只是其主體已不是學(xué)生，而是關(guān)注教育的數(shù)學(xué)家。因為，這一工作對學(xué)生而言顯然有較大的難度。這恐怕也就是弗賴登塔爾后來為什么特別強調(diào)“教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造”的主要原因。

其二，就應(yīng)當如何認識數(shù)學(xué)教學(xué)工作的創(chuàng)造性而言，筆者曾經(jīng)提過一個建議：通過自己的分析，使得相應(yīng)的思維活動對學(xué)生而言真正成為“可以理解的、可以學(xué)到手和加以推廣應(yīng)用的”。鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1991：序言。也正因此，相對于一般所謂的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透”而言，我們應(yīng)更加重視“數(shù)學(xué)史的方法論重建（或理性重建）”。鄭毓信.文化、歷史與數(shù)學(xué)教學(xué)[J].江蘇教育，2021（43）：2327。

進而，如果說我們在此主要是就各個具體的教學(xué)內(nèi)容進行分析的，那么，張景中先生的高明之處就在于由各個具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容擴展到了整個學(xué)科分支，如“幾何新方法和新體系”“微積分推理體系的新探索”等，乃至如何將相關(guān)的數(shù)學(xué)機械化思想或理論應(yīng)用于幾何定理的機器證明。

當然，在此仍有一個理解的過程。下面就以平面幾何領(lǐng)域的“面積法”（該方法還被發(fā)展為“消點法”，應(yīng)用于幾何定理“可讀的”機器證明）為例，給出筆者的分析，希望能有助于讀者更好地理解張景中先生相關(guān)工作的合理性：

如眾所知，全等三角形在平面幾何研究中具有特別重要的地位，其實質(zhì)就在于：只需依據(jù)三個條件（至少一邊），就可推出兩個三角形全等，從而求得其他的邊或角。盡管這一方法十分有效，但其所要求的仍是一個很強的條件，也就未必適用于所有的場合。正因為此，我們就應(yīng)認真地思考一個問題：能否通過適當?shù)販p弱條件，找出更有效的方法？從三角形全等是指兩個三角形同時滿足“形狀相似”和“面積相等”這一角度來分析，保留“形狀相似”，放棄“面積相等”，可以自然引入“相似三角形”的概念;而保留“面積相等”，放棄“形狀相似”，則可自然引入“等積形”的概念。

應(yīng)當強調(diào)的是，盡管上述思想的產(chǎn)生可以說十分合理，但真正的創(chuàng)造性工作還應(yīng)當努力實現(xiàn)整體性理論的建構(gòu)，特別是“平易直觀的概念，簡單明快的邏輯結(jié)構(gòu)，有力而通用的解題方法”的建構(gòu)。這也就如張景中先生所指出的：“我國古代數(shù)學(xué)家曾用面積關(guān)系給出勾股定理的多種證明方法。但長期以來，它僅僅被認為是一種特殊的解題技巧。我們在1974年到1994年這20年間，逐步把面積技巧發(fā)展為一般性方法并建立了以面積關(guān)系為邏輯主線的幾何新體系?！雹?張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：17，5。

張景中先生從一般的角度總結(jié)了從事相關(guān)工作的三條基本原則（他稱之為“教育數(shù)學(xué)三原理”）：第一，在學(xué)生頭腦里找概念;第二，從概念里產(chǎn)生方法;第三，方法要形成模式。張景中先生還對其作了具體的說明：學(xué)生頭腦里已有很多知識印象，它們要和新來的概念起反應(yīng)發(fā)生變化，使新概念格格不入甚至被歪曲。把學(xué)生頭腦里的東西研究一番，利用其中已有的東西加以改造形成有用的概念，是一個重要手段。這樣，學(xué)生學(xué)起來親切容易。

光有概念不夠，還必須有方法。數(shù)學(xué)的中心是解題，沒有方法怎么解題？從概念里產(chǎn)生方法，就是說有了概念之后，概念要能迅速轉(zhuǎn)化為方法。不能推來推去走過長長的邏輯道路，學(xué)生還看不見有趣的題目，摸不到犀利的方法。

方法不能過多，不能零亂，要形成統(tǒng)一的模式。像吃飯一樣，光吃零食不利于腸胃吸收，不利于健康。形成模式，即形成較一般的方法，學(xué)生才會心里踏實、信心倍增。

總之，教育數(shù)學(xué)三原理很簡單，無非是說概念要平易、直觀、親切，邏輯推理展開要迅速、簡明，方法要通用有力。②由此，張景中先生基于面積概念，提出了兩個基本的定理。（1） 共邊比例定理：若直線AB與PQ相交于點M，則△PAB△QAB=PMQM（類似于用表示線段的符號表示線段長，這里用表示三角形的符號表示三角形的面積，后同）。（2） 共角比例定理：若△ABC與△A′B′C′中有∠A=∠A′或∠A+∠A′=180°，則△ABC△A′B′C′=AB·ACA′B′·A′C′。

對此，張景中先生明確指出：“這兩個定理得來不費功夫。由于平凡，兩千多年間無人重視。其實，它們用處很大。有‘雞刀殺牛之效……教學(xué)實踐表明，可節(jié)省課時，提高學(xué)生能力，有多快好省的效果?！睆埦爸?張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：1920。

運用這兩個定理，很容易證明平面幾何中的眾多結(jié)論——可以免去作輔助線的困難和麻煩。下面試舉兩例。

一是三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)的證明。三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)是指：三角形中任何一個角的平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例。關(guān)于這一性質(zhì)的證明，教材中普遍采用的方法如圖3所示，應(yīng)當說并不困難。但是，這一證明的思路是如何得出的？我們又如何能使這一證明對學(xué)生而言是十分自然的？不可否認的是，CE這一輔助線的添加很難想到，就像G.波利亞所說的“從帽子里掏出來的兔子”一樣。

與此相對照，如果使用上面的兩個定理，這一性質(zhì)的證明就會變得十分容易：由于DA是角平分線，依據(jù)共角比例定理，顯然有△ADB△ADC=AD·ABAD·AC=ABAC;依據(jù)共邊比例定理，又可得△ABD△ADC=BDDC;將兩式直接聯(lián)系起來，即可得到ABAC=BDDC。

二是“三角形中線的交點將中線分割成的兩條線段的比為2∶1”的明證。如圖4所示，設(shè)△ABC的兩條中線AM、BN交于點G，依據(jù)共邊比例定理，可得BGGN=△AMB△AMN;因為N是邊AC的中點，顯然有△AMN=△CMN=12△AMC;同理可得△AMB=△AMC;所以△AMN=12△AMB，也即△AMB=2△AMN，所以BGGN=△AMB△AMN=2。

因此，靈活運用這兩個定理（尋找共邊模型和共角模型）的面積法可以被看成解決一大類平面幾何問題的一種模式化（通用）方法。進而，“教育數(shù)學(xué)三原理”可以被看成如何由“就題論法”上升到“就題論道”的典型實例。

由此也可看出，張景中先生的教育數(shù)學(xué)重構(gòu)，主要指向的是破解數(shù)學(xué)解題的困難。究其原因，除了學(xué)生通常對所謂的“知識理解的困難”缺少直接的感受之外，在張景中先生等很多數(shù)學(xué)家看來，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)知識（廣義的，包括陳述性的“知識”和程序性的“方法”）主要是解決問題的工具（否則，為什么要有或?qū)W這些知識？），因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)解題的困難。

在此基礎(chǔ)上，張景中先生進一步分析了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“小巧”（題海戰(zhàn)術(shù)，搜集大量問題，分成類型，傳授巧法妙招，以備套用）與“大巧”（強調(diào)基本知識和技能，關(guān)注一般的解題思考原則）的不足：“小巧”一題一法，固不應(yīng)提倡;“大巧”法無定法，也確實太難（即使是數(shù)學(xué)家，在自己的專長領(lǐng)域之外，也未必敢說掌握了“大巧”可參見《張景中教育數(shù)學(xué)文選》第23頁所舉的華羅庚先生一時間也解不出一個不很難卻陌生的初等數(shù)學(xué)問題的例子。這個例子能給我們一個重要的啟示：數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)脫離對具體問題與知識的深入思考與深刻認識，而追求某些“大而無當”甚至“虛無縹緲”的核心概念，畢竟我們總不能說華羅庚先生缺少核心素養(yǎng)吧。當然，這既說明核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開對具體內(nèi)容的深刻認識，離不開對思想的領(lǐng)悟和對經(jīng)驗的積累，也說明應(yīng)該把核心素養(yǎng)當成一種終極的永遠無法達到的狀態(tài)。）。從而提出“中巧”說：“所謂中巧，就是能有效解決一類問題的算法或模式……我們用面積法和消點法創(chuàng)造了幾何解題的一類中巧?！薄霸趯W(xué)習(xí)中巧的過程中體驗數(shù)學(xué)的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧。至于小巧，學(xué)一點也好，但不足為法?！薄敖逃龜?shù)學(xué)要研究有效而易學(xué)的解題方法，要提供中巧。”張景中.張景中教育數(shù)學(xué)文選[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：2324。

這些論述對我們在數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是解題教學(xué)中提升創(chuàng)造性有更加直接的啟示：洞察本質(zhì)，打開思路。同樣地，這里的“中巧”和陳省身先生所說的“好的數(shù)學(xué)”也是相通的。而且，除了“面積法”（“消點法”），中小學(xué)數(shù)學(xué)中已有的基于十進位值制記數(shù)法進行數(shù)的運算（對此，教師可在適當?shù)臅r機引入其他記數(shù)法，讓學(xué)生對比感受十進位值制記數(shù)法的優(yōu)越性）、利用方程解決四則運算應(yīng)用題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減凸凹、利用數(shù)學(xué)歸納法處理與自然數(shù)有關(guān)的命題、利用解析幾何方法（乃至向量方法可參見《張景中教育數(shù)學(xué)文選》中的兩篇文章：《論向量法解幾何問題的基本思路》與《幾何代數(shù)基礎(chǔ)新視角下的初步探討》。）解決平面幾何難題等，其實都是“中巧”，都是“好的數(shù)學(xué)”。

進一步分析，筆者體會到：無論“相似三角形”，還是“面積方法”，其應(yīng)用都離不開邊的比例關(guān)系，因此，我們就應(yīng)將“比（例）”的概念看成中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的概念之一——不難想到，這與張景中先生關(guān)于“算術(shù)應(yīng)用題大多與一次函數(shù)密切相關(guān)”的論述也是完全一致的。再者，如果說概念分析可被看成從一個角度清楚地表明了“聯(lián)系的觀點”的重要性，啟示我們應(yīng)當通過整體分析切實做好“分清主次，突出重點，以主帶次”，那么“面積法”，特別是上述“基本方法”則清楚地表明了“變化的思想”的重要性，因為，它們主要都是通過將邊與邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系來解決問題的。又由于“聯(lián)系的觀點”和“變化的思想”都可被看成重要的思維品質(zhì)，總體而言，上述案例就不僅可被看成“在學(xué)習(xí)中巧的過程中體驗數(shù)學(xué)的思想方法”的很好實例，而且清楚地表明這樣一點：相對于各種具體方法的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)當更加重視學(xué)生思維品質(zhì)的提升，包括將此看成數(shù)學(xué)教育的基本目標。顯然，從這一角度，我們也可更好理解“居高臨下”的重要性。（鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系，教授，博士生導(dǎo)師。享受國務(wù)院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學(xué)術(shù)研究與各類教學(xué)工作50多年，包括中學(xué)、大學(xué)、研究生教育與各類教師培訓(xùn)工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區(qū)做長期學(xué)術(shù)訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學(xué)做專題學(xué)術(shù)講演。出版專著30余部，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文近500篇，學(xué)術(shù)成果獲省部級獎7次。在數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育、科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)教育領(lǐng)域有較大影響。）