沈敏

［摘 要］乘除法離不開“每份數(shù)”這個(gè)重要概念，可以說(shuō)，“每份數(shù)”就是連接乘除法互逆關(guān)系的一條紐帶，乘法中相同加數(shù)就是“一份數(shù)”，除法中的“每份數(shù)”更是必不可少。許多復(fù)雜的乘除法兩步計(jì)算應(yīng)用題將“一份量”設(shè)為隱性條件，需要學(xué)生去反思和計(jì)算，數(shù)學(xué)上將這種問(wèn)題統(tǒng)稱為“歸一問(wèn)題”。

［關(guān)鍵詞］歸一問(wèn)題；乘除法；解決問(wèn)題的策略

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）32-0058-03

教學(xué)“解決問(wèn)題的策略”前，筆者對(duì)三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研，用題目“叔叔買了3只同樣的茶杯花了18元，如果購(gòu)買8只同樣的茶杯，一共要花多少錢？”對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試。全班40名學(xué)生，測(cè)試結(jié)果如表1所示：

前測(cè)反饋的信息顯示：16名學(xué)生不會(huì)列式，大多數(shù)學(xué)生企圖一步到位，其中有8名學(xué)生列出的算式是“18×8”，列式為“3×8”的也不少，還有2名學(xué)生面對(duì)這一問(wèn)題無(wú)所適從。從列式情況可知，學(xué)生很難找到隱藏的“一份數(shù)”這個(gè)過(guò)渡條件。在得出答案為48的24名學(xué)生中，有的憑直覺(jué)列出“8×6”的正確算式，可對(duì)數(shù)字“6”從何而來(lái)說(shuō)不出個(gè)所以然。由此可見(jiàn)，這些學(xué)生對(duì)歸一問(wèn)題中“一份數(shù)”還是有所感覺(jué)，但是不夠具體鮮明，而歸一問(wèn)題中的“一份數(shù)”是解題的樞紐所在。

因此，教師要讓學(xué)生掌握歸一問(wèn)題的解題策略，必須設(shè)法讓學(xué)生意識(shí)到“一份數(shù)”這個(gè)過(guò)渡條件的必要性和重要性。那么如何讓學(xué)生深切意識(shí)到這一點(diǎn)呢？對(duì)此，筆者進(jìn)行了大膽的創(chuàng)新和嘗試。

一、在新授中感知“一份數(shù)”

要想讓學(xué)生意識(shí)到“一份數(shù)”這個(gè)量的存在，在解題過(guò)程中，教師可以借助圖示、解說(shuō)解題思路等突出“一份量”的重要性。

1.借助圖示語(yǔ)言

筆者首先出示例題：媽媽買2雙同樣的鞋墊，用了12元，如果買5雙同樣的鞋墊，需要多少錢？在充分審題后，已有學(xué)生知道如何解決，但部分學(xué)生還是毫無(wú)頭緒。于是，筆者讓解題受阻的學(xué)生畫出題中的信息和問(wèn)題，讓順利解題的學(xué)生用簡(jiǎn)圖表述自己的思路。學(xué)生一旦動(dòng)手畫圖，“一份數(shù)”的概念就會(huì)浮出水面。

筆者展示了實(shí)物圖、圓圈圖和線段圖三種自主探究的圖式（如圖1），讓相關(guān)學(xué)生闡述自己的創(chuàng)作心得和構(gòu)思立意。

學(xué)生通過(guò)解讀示意圖，感受到“要求出買5雙同樣的鞋墊需要的總價(jià)，就必須預(yù)先知道1雙鞋墊的價(jià)錢”這個(gè)基本前提。為了讓學(xué)生更加敏銳地捕捉到“1雙鞋墊的價(jià)錢”這個(gè)“一份數(shù)”，筆者提出問(wèn)題：“買2雙同樣的鞋墊用了12元，據(jù)此畫出兩條等長(zhǎng)的線段。買5雙這樣的鞋墊需要多少錢該怎么畫？”學(xué)生異口同聲地回答：“畫5段?！惫P者繼續(xù)追問(wèn)：“每次畫出的一條線段應(yīng)該有多長(zhǎng)？”學(xué)生回答：“應(yīng)該和剛才的兩條線段保持一致。”從學(xué)生的反饋來(lái)看，“一份數(shù)”的概念意識(shí)已被喚醒。

2.借助思維表述

在兩步計(jì)算應(yīng)用題的教學(xué)中，教師應(yīng)該注重學(xué)生表述時(shí)的思路，尤其是對(duì)中間量這種過(guò)渡條件的揭露。

在出示算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通過(guò)問(wèn)題“這兩步算式分別求的是什么？第一步計(jì)算為的是什么？”，讓學(xué)生明確說(shuō)出第一步求出了什么，使其明白第一步計(jì)算的結(jié)果是第二步計(jì)算必不可少的一個(gè)基礎(chǔ)條件，第一步的計(jì)算結(jié)果就是“一份數(shù)”。在學(xué)生闡述想法時(shí)，教師應(yīng)一步步記錄解題步驟和原理，例如：1雙鞋墊多少錢？12÷2=6（元）。5雙鞋墊多少錢？5×6=30（元）。這樣，通過(guò)板書展示解題思路，就是用文字對(duì)“一份數(shù)”這個(gè)概念做了最好的注解。

3.借助對(duì)比活動(dòng)

如何利用好變式，讓學(xué)生在分辨各變式中領(lǐng)悟“一份數(shù)”的真諦？不妨在學(xué)生解決了問(wèn)題“買5雙同樣的鞋墊需要多少錢？”后，讓學(xué)生根據(jù)“媽媽買2雙同樣的鞋墊用了12元”這個(gè)基本條件，自己提出問(wèn)題后解答，并陳述思路。

無(wú)論哪種方法，最終目的都是向?qū)W生滲透“一份數(shù)”這個(gè)關(guān)鍵量，不僅因?yàn)檫@個(gè)“一份數(shù)”是解題所需的中間條件，它也是教學(xué)的難點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生有時(shí)是稀里糊涂地去求這個(gè)量的，無(wú)法分辨前后條件之間的關(guān)系，也不知道前面的基礎(chǔ)條件其實(shí)就是為了暗示“一份數(shù)”的存在，后面要求的結(jié)果就是建立在對(duì)這個(gè)“一份數(shù)”的處理上的。通過(guò)畫圖，學(xué)生就可以直觀感知到“一份數(shù)”的客觀存在，因?yàn)闊o(wú)論是求總數(shù)的順向應(yīng)用還是求份數(shù)的逆向應(yīng)用，都可以在一一對(duì)應(yīng)中發(fā)現(xiàn)線索?！耙环輸?shù)”是連接前后條件的樞紐， 求出“一份數(shù)”后，所有的問(wèn)題都可以迎刃而解，所有的數(shù)量關(guān)系都可以聯(lián)通起來(lái)。

二、在鞏固中完善“一份數(shù)”

在現(xiàn)實(shí)生活中，“一份數(shù)”俯拾皆是，它不單是“1雙鞋墊的價(jià)錢”，還可以表示許許多多的含義，像“動(dòng)車平均每分鐘行駛3千米”“每名醫(yī)生照顧6名患者”“每張桌子配有5把椅子”都是“一份數(shù)”。

教材中“做一做”出現(xiàn)的“一份數(shù)”與例題也大有不同：

小林堅(jiān)持體育鍛煉，3天跑了2400米。

（1）照這種速度，7天可以跑多少米？

（2）照這種速度，第一個(gè)周期的跑步目標(biāo)里程數(shù)為6400米，需要堅(jiān)持跑幾天才能圓滿完成目標(biāo)？

此時(shí)，“平均每天跑步800米”變成“一份數(shù)”，筆者認(rèn)為編排這道題的出發(fā)點(diǎn)不單是為了深化歸一問(wèn)題的解題策略，更重要的是拓展“一份數(shù)”的范疇。

在精研了教材的練習(xí)之后，筆者在鞏固環(huán)節(jié)編設(shè)一道連線題，擴(kuò)充和豐富“一份數(shù)”的概念外延。

連一連：

①18÷3×8；②30÷（18÷3）。

（1）程序員小紅3天能編完18個(gè)手機(jī)單機(jī)游戲程序，照此速度，8天能編完多少個(gè)手機(jī)單機(jī)游戲程序？

（2）18位程序員分成3組編程，照這樣分組，30位程序員應(yīng)該分成幾組？

（3）程序員小明計(jì)劃8天編完30個(gè)手機(jī)游戲程序，實(shí)際上3天就編完了18個(gè)，照此速度，完成計(jì)劃的任務(wù)需要幾天？

1.在反饋中豐富“一份數(shù)”

三小題中，第（1）（2）題極為容易，連線后學(xué)生可以陳述自己的想法，尤其是必須交代清楚第一步先解決什么，在學(xué)生各抒己見(jiàn)中豐富“一份數(shù)”的外延。第（3）題難度陡增，多余條件“8天”赫然出現(xiàn)，遭受了這種突如其來(lái)的變化，有的學(xué)生認(rèn)為答案是第①個(gè)算式。在反饋中，學(xué)生領(lǐng)悟了這一問(wèn)的終極目標(biāo)是“照此速度，編完30個(gè)程序需要幾天”的問(wèn)題，如果按照第一種算法，解決的是“照此速度，8天一共編程幾個(gè)”，兩種做法求出的得數(shù)完全不是一個(gè)性質(zhì)。但是通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是必須先求出“平均每天編程幾個(gè)”這個(gè)前提條件。在此處，“平均每天編程6個(gè)”就是“一份數(shù)”，這樣，利用錯(cuò)誤資源，再次揭示“一份數(shù)”的概念本質(zhì)。

2.在歸納中豐富“一份數(shù)”

待第（3）題的難點(diǎn)攻破后，筆者又設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：找出三道題的相同點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)對(duì)比很快發(fā)現(xiàn)，“18÷3=6”這個(gè)算式每次都會(huì)出現(xiàn)，由此算出的“一份數(shù)”是解決類似問(wèn)題的樞紐和關(guān)鍵，而“18÷3=6”這個(gè)算式可以表示多種多樣的“一份數(shù)”，需要視具體情境而定。

學(xué)生了解了什么是“一份數(shù)”，也知道“一份數(shù)”的作用后，卻不一定能清楚地分辨什么是“一份數(shù)”，因?yàn)橛械摹耙环輸?shù)”很隱晦，不像表面上看到的那么簡(jiǎn)單，課本上對(duì)“一份數(shù)”也沒(méi)有一個(gè)確切的定義，它可以是“每份數(shù)”，也可以是“組合數(shù)”，可能會(huì)以多種不同的面貌出現(xiàn)，教師可以通過(guò)形式多樣的習(xí)題來(lái)教會(huì)學(xué)生分辨和識(shí)別。比如，3個(gè)人吃6個(gè)蘋果，按照這種分配原則，9個(gè)人一共要吃多少個(gè)蘋果？此時(shí)，如果將3個(gè)人編為一組，9個(gè)人就可以編為3組，每組吃6個(gè)蘋果，此處的6個(gè)蘋果也是“一份數(shù)”，9個(gè)人編為三組，每組吃6個(gè)蘋果，3組一共吃6×3=18（個(gè)）蘋果。可見(jiàn)，此處不一定要將“6÷3=2（個(gè)）蘋果”作為“一份數(shù)”，而是將“每組吃6個(gè)蘋果”作為“組合一份數(shù)”。從另一個(gè)角度看，將3個(gè)人編為一組，也是將零散的3個(gè)人從形式上改造為特殊的“一份數(shù)”，9個(gè)人的總數(shù)中含有三個(gè)這樣的“一份數(shù)”，即9÷3=3。

三、在拓展學(xué)習(xí)中深化“一份數(shù)”

在教材的習(xí)題中，有這樣一道題：

某職業(yè)技術(shù)學(xué)院大四學(xué)生到定點(diǎn)工廠實(shí)習(xí)，每3名學(xué)生共同裝配12個(gè)機(jī)械部件。

（1）按照這種分配制度，6名實(shí)習(xí)生應(yīng)該裝配多少個(gè)機(jī)械部件？

（2）如果一共有36個(gè)未裝配的機(jī)械部件，一共要安排多少名實(shí)習(xí)生操作？

對(duì)于第（1）題，歸一法和倍比法都可行，但是無(wú)論哪種方法，必須率先解決“一份數(shù)”的問(wèn)題。在歸一法中，是把“平均每名實(shí)習(xí)生裝配4個(gè)部件”看作“一份數(shù)”，而在倍比法中，卻是把“3名實(shí)習(xí)生裝配12個(gè)部件”視為“一份數(shù)”，這是對(duì)通常意義上的“一份數(shù)”的一種延伸和引申，筆者在拓展環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了這種練習(xí)，旨在拓寬“一份數(shù)”的類型。設(shè)計(jì)練習(xí)如下：

買2張從付家坡到新華路的地鐵票需要10元錢。買8張這樣的地鐵票，45元錢夠嗎？

解決這道題，正歸一、反歸一和倍比三種方法均可。在反饋時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)正反歸一的辨析，鞏固新知，然后重點(diǎn)研究倍比法，對(duì)兩者進(jìn)行對(duì)比辨析，尋找相同點(diǎn)，擴(kuò)充“一份數(shù)”的類型和用法，從而幫助學(xué)生正確解題。

1.在溝通中深化“一份數(shù)”

正歸一和反歸一的共同點(diǎn)顯而易見(jiàn)，但正歸一和倍比法的共同點(diǎn)則很隱蔽。于是，在理解倍比法“8÷2=4 ，4×10=40（元）”時(shí)，筆者讓學(xué)生采用圖解法，直觀揭示算式的深層含義和數(shù)量轉(zhuǎn)換原理。通過(guò)圖示法（如圖2），學(xué)生領(lǐng)悟了其算理就是將“2張票多少錢”看作“一份數(shù)”，8張票含有4個(gè)2張，即需要4個(gè)“一份數(shù)”，也就是需要支付4個(gè)10元。通過(guò)這道題，學(xué)生溝通了歸一法和倍比法的聯(lián)系，“一份數(shù)”又多了一個(gè)類型。

2.在拓展中深化“一份數(shù)”

在學(xué)生理解了“2張票多少錢”可以看作“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，實(shí)際生活中，也可以把“3輛摩托車一共多少錢”“4名軍人站成一排”看作“一份數(shù)”，通過(guò)教師舉例、學(xué)生交流，擴(kuò)充“一份數(shù)”的輻射面，學(xué)生合作探究，設(shè)計(jì)一些用歸一法和倍比法都可以解決的問(wèn)題，在具體情境中鞏固“一份數(shù)”的新概念。

“一份數(shù)”的內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境的需要，有的“一份數(shù)”是不可分離的，必須作為一個(gè)整體出現(xiàn)。比如有個(gè)網(wǎng)劇，12集為1個(gè)單元，3名演員合作出演1個(gè)單元，那么這3名演員就是一個(gè)不可分離的“一份數(shù)”，不能再用12÷3=4，得每名演員出演4集網(wǎng)劇，因?yàn)?名演員必須共同合作才能完成12集網(wǎng)劇。如果問(wèn)題是36集3個(gè)單元網(wǎng)劇需要招募多少名演員，那么只能用36÷12=3，需要3組人馬，3×3=9，一共需要9名演員，9名演員是不可混合的，必須獨(dú)立成組。如果問(wèn)題是想問(wèn)幾名演員共同出演多少個(gè)單元，那么這個(gè)演員數(shù)只能是3的倍數(shù)，不能是任意數(shù)字，因?yàn)?名演員是不可分割的。

在課堂教學(xué)后，筆者對(duì)同一批學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，測(cè)試題分別是：

（1）小林堅(jiān)持晨跑，3天跑了3000米，照這樣的速度，7天可以跑多少米？

（2）冬天，清潔工們清掃積雪。3名清潔工清掃了12條街，如果全鎮(zhèn)有36條街道，一共需要幾名清潔工才能清掃干凈？

（3）把3塊木板碼放起來(lái)，高度是18厘米。如果把同樣的9塊木板碼放起來(lái)，高度能夠達(dá)到多少厘米？

全班40名學(xué)生的測(cè)試情況如表2所示：

從后測(cè)結(jié)果來(lái)看，讓學(xué)生在新授環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)“一份數(shù)”，在鞏固環(huán)節(jié)豐富“一份數(shù)”，在拓展環(huán)節(jié)擴(kuò)充“一份數(shù)”，大部分學(xué)生都能全面掌握“一份數(shù)”。

當(dāng)然，后測(cè)也反映出一些問(wèn)題：做對(duì)的學(xué)生可能是僥幸，碰巧套用了這個(gè)模型，有可能并未真正做到融會(huì)貫通；一旦題目變成歸總問(wèn)題，學(xué)生會(huì)不會(huì)解決就不好說(shuō)了；教學(xué)策略怎么改進(jìn)，練習(xí)如何完善，這些都是教學(xué)下一步努力的方向。

（責(zé)編 金 鈴）