蔡益磊

［摘 要］正比例和反比例是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的概念，同時(shí)也是較為復(fù)雜的概念，需要學(xué)生具備很強(qiáng)的理解能力和抽象能力。正比例和反比例涉及定量和變量的動態(tài)關(guān)系，教學(xué)時(shí)，盡管教師憑借直觀演示或者聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)教學(xué)，但學(xué)生依然很難理解。因此，要想學(xué)生真正深入領(lǐng)會正比例和反比例的內(nèi)涵，還需用大量的數(shù)學(xué)實(shí)例去驗(yàn)證和揭示。

［關(guān)鍵詞］正比例；反比例；情境設(shè)置；幾何

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）32-0043-03

關(guān)于比和比例的論述，最早可以追溯到古希臘的科學(xué)著作《原本》的第五卷，這也是人類歷史上有據(jù)可查的最早的關(guān)于比和比例的詳細(xì)記載?！对尽分袑Ρ群捅壤慕榻B，多數(shù)與代數(shù)和幾何圖形有關(guān)，這對整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史都起著推動作用，具有里程碑式的意義，甚至可以說加速了整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程。正是由于這樣的特殊地位，比和比例在數(shù)學(xué)教育中風(fēng)靡了兩千年，代代相傳，經(jīng)久不衰。下面，筆者就正、反比例的教學(xué)，談?wù)勅绾卧O(shè)置情境。

一、不能拘泥于生活情境

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)正比例和反比例的課程，蘇教版與人教版都編排在了第十二冊。以蘇教版教材為例，有關(guān)正比例的知識介紹，教材采用汽車在公路上行駛的情境作載體（如圖1）。通過借助生活情境，讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)到當(dāng)汽車行駛的速度一定時(shí)，汽車行駛的時(shí)間與行駛的路程是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量：其中一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨之變化，而且變化方向相同，即對應(yīng)的兩個(gè)量的商相同。于是可以說這兩個(gè)量成正比例關(guān)系。

教學(xué)反比例時(shí)，蘇教版教材采用了購物的生活情境（如圖2），讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)到在筆記本的總價(jià)不變的前提下，筆記本的單價(jià)和購買的本數(shù)是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量：其中一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨之變化，但是變化方向相反，即對應(yīng)的兩個(gè)量的積相同。于是可以說這兩個(gè)量成反比例關(guān)系。

這樣的情境設(shè)計(jì)充分考慮了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，最大限度地在學(xué)生熟悉的事物和現(xiàn)象中找到契合比例規(guī)律的情境，有利于學(xué)生從感性上理解比例。兩本教材在小學(xué)階段的最后一個(gè)學(xué)期編排比例，具有承前啟后的意義，一方面是對整個(gè)小學(xué)所學(xué)相關(guān)內(nèi)容的梳理、融通與總結(jié)，另一方面可以有效地與初中知識銜接并做好鋪墊。因此，教學(xué)時(shí)，教師如果將比和比例的知識拘泥于生活情境，那對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)比例知識的理論是極為不利的，會阻礙學(xué)生的學(xué)科發(fā)展和認(rèn)知升華。情境設(shè)計(jì)應(yīng)考慮數(shù)學(xué)知識本身，如圓的周長與直徑（或半徑），就是典型的正比例關(guān)系。另外，正比例和反比例不是彼此孤立的概念，而是一種數(shù)量的相對關(guān)系。在同一個(gè)代數(shù)式中，由于研究對象的不同和角色轉(zhuǎn)換，正、反比例可以互換身份。比如，在行程問題中，如果將速度設(shè)為定值，那么路程和時(shí)間就構(gòu)成正比例關(guān)系；如果將時(shí)間設(shè)為定值，那么路程和速度就構(gòu)成正比例關(guān)系；如果將路程設(shè)為定值，那么速度和時(shí)間就構(gòu)成反比例關(guān)系。事實(shí)上，所有的正比例和反比例關(guān)系的落腳點(diǎn)都可以抽象成一個(gè)簡單的代數(shù)模型“a×b=c”，如果一個(gè)因數(shù)（a或b）為定值，那么另外兩個(gè)數(shù)就是變量，且構(gòu)成正比例關(guān)系；如果積c為定值，那么兩個(gè)因數(shù)就是變量，且構(gòu)成反比例關(guān)系。因此，凡是具有乘法或者除法算式形式特征的式子都可以視為正、反比例的混合體。

二、幾何中的正、反比例

1.以長方形為例

所有長方形的面積都可以歸納為“長×寬=長方形的面積”這個(gè)公式。假設(shè)面積為常量，那么長和寬就是變量，因?yàn)槌朔e一定，所以可以判定長和寬構(gòu)成反比例關(guān)系；假設(shè)長為定值，那么寬和面積就是變量，因?yàn)樗鼈兊纳桃欢ǎ钥梢耘卸▽捄兔娣e構(gòu)成正比例關(guān)系。

在圖3的長方形中，長為定值，用 A1，A2分別指代兩塊區(qū)域的面積，寬a1，a2和對應(yīng)面積的正比例關(guān)系可以這樣表示：A1∶A2=a1∶a2。換成分?jǐn)?shù)符號就是[A1A2]=[a1a2]。繼續(xù)推進(jìn)，在圖4的長方形中，如果用 A1，A2，B1，B2分別指代四塊區(qū)域的面積，那么根據(jù)前述理由，就有[A1A2]=[a1a2]和[B1B2]=[a1a2]，進(jìn)行等量代換后得出[A1A2]=[B1B2]。長方形的面積與長（或?qū)挘┑恼壤P(guān)系還可以通過等量代換的轉(zhuǎn)移和傳遞來推廣，如圖5，如果每個(gè)大寫字母各自代表所在區(qū)域的面積，那么面積之間就有如下比例關(guān)系：[A1B1]=[A2B2]=…=[AnBn]。

長方形中的這種面積比例關(guān)系有很大的應(yīng)用價(jià)值，如在圖4中，四塊區(qū)域已知其中三塊的面積，那么就可以利用[A1A2]=[B1B2]快速求出未知區(qū)域的面積。

2.以三角形為例

任意三角形的面積與其底和高都存在這樣的關(guān)系：底×高=三角形面積的2倍。如果將三角形面積設(shè)為定值，那么面積的2倍毫無疑問也是定值，此時(shí)三角形的底和高就可以判定為反比例關(guān)系。反之，如果高（或底）一定，那么三角形面積的2倍和底（或高）就可以判定為正比例關(guān)系。

在圖6的三角形中，A1，A2指代所在區(qū)域的面積，a1，a2則分別指代所標(biāo)記的底。由于兩個(gè)三角形等高，所以可以將高視為定值，則面積（或面積的2倍）和底成正比例關(guān)系，于是可以列出基礎(chǔ)的比例關(guān)系式：A1∶a1=A2∶a2（或[A1a1]=[A2a2]）。這樣的關(guān)系還可以無限推廣（如圖7），類似的正比例關(guān)系為A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an（或[A1a1]=[A2a2]=…=[Anan]）。這樣的正比例關(guān)系只要略微變形就可以體現(xiàn)出面積之比與底之比的對等關(guān)系，如[A1A2]=[a1a2]。

將面積之比轉(zhuǎn)化成長度之比，這一點(diǎn)在今后的應(yīng)用將非常廣泛，如確定三角形的重心就可以運(yùn)用這種比例關(guān)系。

在圖8的△ABC中，D，E兩點(diǎn)分別是所在邊的中點(diǎn)，AD和BE都是△ABC的中線?！鰽BC的重心就在中線的交點(diǎn)O處。下面需要計(jì)算重心O的坐標(biāo)。首先，因?yàn)椤鰽DC和△BCE的面積都只有△ABC的一半，所以它們面積相等。然后，同時(shí)挖去重合區(qū)域（四邊形OECD），就能推斷△AOE和△OBD面積相等。同理還可以推知△ABO和四邊形OECD面積相等。再來分析△OBD與其相鄰的四邊形OECD的面積關(guān)系，連接O，C兩點(diǎn)作輔助線，把四邊形一分為二，得到△ODC和△OEC（見圖9）。由于D點(diǎn)是BC邊的中點(diǎn)，因此△ODC與△OBD面積相等，△OEC與△AOE面積相等。聯(lián)系前后邏輯可以推知，△ABO的面積等于2個(gè)△AOE的面積，也等于2個(gè)△OBD的面積。再運(yùn)用前面所說的面積與底的正比例關(guān)系，就可以推知，線段BO之長等于線段OE之長的2倍，同理，線段AO之長等于線段OD之長的2倍?，F(xiàn)在O點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定，即位于任意一條中線靠近對應(yīng)底邊的三等分點(diǎn)處。

三、教學(xué)情境改進(jìn)

綜上所述，關(guān)于正比例和反比例的教學(xué)理應(yīng)形成三大觀點(diǎn)：第一，正比例和反比例其實(shí)就是對舊知的一種新提法，本質(zhì)上具有“兩個(gè)量之積等于第三個(gè)量”這種數(shù)量關(guān)系的式子（含變量），都可以稱之為正（反）比例；第二，正比例和反比例可以兼容到一個(gè)表達(dá)式里，在教學(xué)時(shí)，教師可以一體呈現(xiàn)，便于對比辨析，讓學(xué)生同時(shí)掌握；第三，正比例和反比例具有承前啟后的功用。因此，選用的情境不應(yīng)拘泥于生活情境，還應(yīng)回歸數(shù)學(xué)學(xué)科。

“變教為學(xué)”教學(xué)模式中，呈現(xiàn)知識應(yīng)當(dāng)“突出本質(zhì)、滲透文化、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”。我國的成語典故中也會涉及正、反比例的意識形態(tài)。如成語“半斤八兩”，古代的1斤=16兩，“斤”與“兩”就是典型的正比例關(guān)系。事實(shí)上，所有度量單位的進(jìn)率換算也都是在應(yīng)用正比例知識。又如成語“事半功倍”，大意是付出少，收獲大。若將“事”定義為工作時(shí)間，“功”定義為工作效率，那么整個(gè)成語就可以理解為工作總量恒定，工作時(shí)間與工作效率是反比例關(guān)系，換言之，就是用時(shí)越短效率越高。基于這些理論，學(xué)習(xí)目標(biāo)就不言自明：先總結(jié)具有乘法或者除法算式形式的數(shù)量關(guān)系，再識別其中正、反比例的關(guān)系。按照這個(gè)目標(biāo)，教師不妨設(shè)計(jì)如下任務(wù)。

【任務(wù)1】寫出你學(xué)過或見過的形如“□×□=□”的公式，如“長×寬=長方形的面積”。然后組內(nèi)交流，集體評議。

完成這樣的任務(wù)，學(xué)生的原始經(jīng)驗(yàn)就會被激活，他們需要不斷搜羅、回憶自己學(xué)過的類似的公式，這樣的回顧可以對相關(guān)知識進(jìn)行梳理和提煉，以發(fā)現(xiàn)共性，為歸納正、反比例的概念做好知識儲備。

【任務(wù)2】在形如“□×□=□”的三個(gè)量中，如果其中一個(gè)量為定值，那么另外兩個(gè)量存在何種關(guān)系？試著舉例說明。

這個(gè)任務(wù)主要是為了突出常量和變量的區(qū)別，讓學(xué)生認(rèn)識常量和變量的概念，同時(shí)明確二者的依存與制約關(guān)系。

【任務(wù)3】自己回想，何為“兩個(gè)量成正比例關(guān)系”，何為“兩個(gè)量成反比例關(guān)系”？組內(nèi)交流評價(jià)。

通過完成這三個(gè)任務(wù)，學(xué)生就可以在比較中進(jìn)行概括。在此基礎(chǔ)上，教師要再次引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，確認(rèn)和揣摩正比例和反比例的概念。最后，運(yùn)用成語典故中涉及正、反比例的知識設(shè)計(jì)問題，以滲透和鞏固正、反比例的概念。

正、反比例看似為一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)概念，三言兩語就可以闡述清楚。教材上也有詳細(xì)而準(zhǔn)確的文字描述，對正、反比例做出了確切精準(zhǔn)的定義，還附錄了表達(dá)式。但是，學(xué)生要想真正掌握并內(nèi)化正、反比例的概念，且做到靈活運(yùn)用，僅僅靠對這些文字的揣摩和理解還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要通過大量的實(shí)例和具象知識來堆積，建立穩(wěn)固的表象，將抽象的比例概念分解，轉(zhuǎn)化成一個(gè)個(gè)具體而細(xì)微的數(shù)學(xué)模型，最后共同組建完整的正、反比例知識框架。

（責(zé)編 李琪琦）