摘要：化錯教育，化的是差錯，育的是人。角是一種比較特殊的圖形。角的不封閉性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時常常遇到一些似是而非的問題?！督堑恼J(rèn)識》的教學(xué)，要讓化錯的過程充分、舒展，幫助學(xué)生形成容錯的品質(zhì)、融錯的能力和初步的榮錯觀，嘗試“一課三案”，即在找錯中“糾錯”，在找對中“融錯”，在對錯之外“化錯育人”。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；化錯教育；《角的認(rèn)識》；同課異構(gòu)

一、《角的認(rèn)識》教學(xué)之思：詮釋對化錯的理解

跟隨師父華應(yīng)龍老師研究化錯教育二十多年，經(jīng)歷了起、承、轉(zhuǎn)、合，嘗試將自己對化錯的理解進行凝練、濃縮，概括為四段話：（1）化錯教育的“化”，是指挖掘不同學(xué)生思路中合理、有價值的因素，打通它們之間的聯(lián)系。（2）化錯教育的“錯”，并不是錯誤，而是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展過程中的“暫時性正確”，是學(xué)生原生態(tài)學(xué)習(xí)的必然“彎路”，是學(xué)生思維不斷完善的“墊腳石”，是學(xué)生學(xué)習(xí)的豐富養(yǎng)分，是課堂教學(xué)的寶貴資源。（3）化錯與糾錯、融錯關(guān)聯(lián)密切，區(qū)別明顯。如果說糾錯是“換個路徑，從頭再來”，融錯就是“調(diào)整路徑，接著想，繼續(xù)走”，化錯則是在融錯基礎(chǔ)上“跳出對錯，揚長避短”。糾錯走的是直線，融錯走的是曲線?；e不僅走直線，也走曲線；甚至打通所有的直線和曲線，走的是一個面。化錯聚力于尋求各種路徑的合理因素，以及這些合理因素之間的關(guān)聯(lián)和印證。（4）化錯教育，化的是差錯，育的是人。

《角的認(rèn)識》一課教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容的選擇到教學(xué)方法的預(yù)設(shè)，再到教學(xué)目標(biāo)的定位，一步步都是在詮釋對化錯的理解。

（一）教學(xué)內(nèi)容的選擇：從學(xué)情調(diào)查中提煉典型問題

角是一種比較特殊的圖形。角的不封閉性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時常常遇到一些似是而非的問題。教學(xué)前，我們通過問卷的方式調(diào)查了全校四年級學(xué)生關(guān)于角的疑問和困惑，從中提煉了三個典型問題：

問題一：指一指，角在哪兒？

日常課堂中，讓學(xué)生指角時，大多數(shù)會指著角的頂端，部分會沿著邊描出角的模樣，少數(shù)能從角的頂點出發(fā)引出兩條射線。我們很少看到學(xué)生借助手勢或筆等工具“從角的始邊出發(fā)，旋轉(zhuǎn)到終邊”——這樣動態(tài)地畫角，有助于在后續(xù)學(xué)習(xí)中深度理解量角器量角的原理并掌握量角器量角的方法。

問題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

對這個問題，不少學(xué)生雖然知道答案，但時常會犯糊涂。究其原因，學(xué)生對角的本質(zhì)理解膚淺，頭腦中的角一般是“由兩條線段組成的圖形”（下文簡稱“線段角”）。這與數(shù)學(xué)中角的概念并不一致。數(shù)學(xué)中的角，是一類“線段角”的集合——這類“線段角”有公共頂點，開口方向和大小一樣。這類“線段角”的邊有長有短，我們用兩條射線抽象統(tǒng)括。這樣一類“有公共頂點，開口方向和大小一樣”的“線段角”，就被抽象成一個由兩條射線夾成的“射線角”。用放大鏡看這個“射線角”，看到的只是它的“變身”，而不是角的放大。

問題三：“”表示角，還是直線？“”表示角，還是射線？“”表示角嗎？

畫一條直直的線，如果兩端都不畫點，畫的就是直線;如果在一端畫上一個點，就畫成了射線；如果在兩端都畫上一個點，就畫成了線段。畫線時，“點”表示一種數(shù)學(xué)意象——線到此為止、不再延長。畫線時，畫不畫點，畫一個點還是兩個點，表示的意思是不一樣的。同理，畫角時，“小圓弧”也表示一種意象——角的一條邊從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置，或兩條邊張開的大小。畫角時，畫不畫圓弧，表示的意思也會不一樣。嚴(yán)格意義上，用“”表示角，欠準(zhǔn)確。

以上三個問題及其回答，便是《角的認(rèn)識》一課的教學(xué)內(nèi)容。

（二）教學(xué)方法的預(yù)設(shè)：獨立思考+小組討論+全班交流，讓化錯的過程充分、舒展

捷克教育家夸美紐斯在《大教學(xué)論》一書中提出，教學(xué)要找到一種方法，使教師可以少教，學(xué)生可以多學(xué)。化錯教育就是這樣一種“讓教師少教，讓學(xué)生多學(xué)”的方法。師生在課堂上，圍繞學(xué)生的差錯，溫暖地“容”，智慧地“融”，進而自豪地“榮”。

為了讓本節(jié)課中化錯的過程充分、舒展，課前，我們與學(xué)生約定：本節(jié)課主要以獨立思考、小組討論、全班交流的形式展開。（1）小組討論前，每個人獨立思考，有自己的想法后起立；小組成員都起立后，輪流發(fā)言；發(fā)言完畢，組長組織歸納、總結(jié)小組意見，并推薦發(fā)言人；然后靜息，等待全班交流。（2）全班交流時，以小組為單位到講臺前分享;分享時，不是敘述個人的想法，而是代表小組表達(dá)集體討論的結(jié)果;其他學(xué)生在理答時，要明確表示同意、反對、懷疑、補充等，并具體闡述。

（三）教學(xué)目標(biāo)的定位：形成容錯的品質(zhì)、融錯的能力和初步的榮錯觀

隨著課程改革的深入，教學(xué)目標(biāo)從“雙基”到“三維”，到“四基、四能”，再到核心素養(yǎng)。教學(xué)不僅重視基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的獲得，也重視運用數(shù)學(xué)知識和方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題能力的培養(yǎng)，更加強調(diào)正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力的形成。

基于以上認(rèn)識，我們將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：（1）借助不同的“指角”方法，理解角的豐富內(nèi)涵；（2）通過放大鏡不能放大角，感受數(shù)學(xué)圖形高度的概括力；（3）用符號表示角，感受數(shù)學(xué)符號的抽象性和嚴(yán)密性；（4）在辨析“錯中錯”“錯中對”“對錯之外”的過程中，培養(yǎng)批判性思維，形成容錯的品質(zhì)、融錯的能力和初步的榮錯觀。

二、《角的認(rèn)識》教學(xué)之行：“一課三案”，抵達(dá)對錯之外的“化錯育人”

（一）第一種教學(xué)方案：在找錯中“糾錯”

拋出問題一：指一指，角在哪兒？

導(dǎo)入：老師這兒有一把三角尺，你看到角了嗎？請你來指一指。

學(xué)生指著角的頂端。不少學(xué)生認(rèn)為這樣指的是角的頂點。

提示：抓住角的構(gòu)成要素“頂點和邊”指角，可以更清楚、明確地將角表達(dá)出來。

拋出問題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

大多數(shù)學(xué)生都知道：放大鏡不能放大角。

追問：為什么放大鏡不能放大角？

總結(jié)：角的大小，是指角兩條邊張開的大小。放大鏡無法改變角兩條邊張開的大小。所以，用放大鏡看角，角的大小不變。

拋出問題三：“”表示角，還是直線？“”表示角，還是射線？“”表示角嗎？

指名回答。學(xué)生意見不一致。

當(dāng)有學(xué)生表示這些都不是角時，追問：為什么你認(rèn)為它們不是角？

總結(jié)：數(shù)字和圖形是數(shù)學(xué)的語言。數(shù)學(xué)圖形中的每一個符號都是對實際意義的抽象表達(dá)，有特定的含義。畫角時，應(yīng)該標(biāo)上角的標(biāo)記，這樣有助于清晰表達(dá)“角兩條邊張開的大小”這層含義。

這一種方案基本按照“提出關(guān)鍵問題、呈現(xiàn)爭議觀點、暴露思維過程、揭示正確答案”的過程展開。這種“識錯、改錯”“棄暗投明”的差錯處理的方式，被我們稱為糾錯，可用圖1表示。

圖1中，OA為學(xué)生最初的思維路徑，OB是教師預(yù)設(shè)的思路（標(biāo)準(zhǔn)答案）。課上，學(xué)生表達(dá)自己的觀點OA后，教師一般會通過追問，暴露、放大學(xué)生思維過程中存在的問題；在此基礎(chǔ)上，揭示正確思路OB；最后，讓學(xué)生獨立、完整地“經(jīng)歷”O(jiān)B這一過程，加深對標(biāo)準(zhǔn)答案“關(guān)門過節(jié)”的體驗和理解。

（二）第二種教學(xué)方案：在找對中“融錯”

拋出問題一：指一指，角在哪兒？

引出：三角尺上有三個角，你能將它們指出來嗎？

學(xué)生指著三角尺三個角的頂端。

追問：還有其他的指角方法嗎？說說你們的想法。

有學(xué)生指頂點，有學(xué)生描邊，有學(xué)生畫射線，等等。

評價：大家用不同的方法表示出了自己對角的獨特理解，直觀、有創(chuàng)意！掌聲鼓勵。

拋出問題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

部分學(xué)生搶答：不能。

追問：放大鏡沒有放大角，放大的到底是什么？

總結(jié)：放大鏡放大的是圖的大小，但沒有改變角的“形”狀，角兩條邊張開的大小始終沒有變。

拋出問題三（部分）：“”表示角，還是直線？

有學(xué)生說，是平角；有學(xué)生說，沒有標(biāo)角的標(biāo)記，不能算是角。

組織：同學(xué)們的觀點不一致。這樣，我們暫時先將它放一放，看看下面這個圖形?！啊北硎窘?，還是射線？說說你是怎么想的。

學(xué)生意見比較集中，都認(rèn)為是射線。

再問：現(xiàn)在你認(rèn)為“”表示什么？為什么？

有學(xué)生改口：這是一條直線；這是兩條射線。

提問：再看看這個圖形，“”表示什么？

總結(jié)：有的時候，差錯與正確之間并沒有明顯的界限。差錯也叫“差對”：差一點就對了。

提醒：畫角時，要標(biāo)上角的記號，這樣有助于表達(dá)的完整、清晰，避免不必要的爭議。

第二種方案與第一種方案相比，略有變化，主要體現(xiàn)在：學(xué)生回答問題后，教師不是直接進行對錯判斷或給出所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，而是鼓勵學(xué)生充分表達(dá)自己的想法；然后，師生一起耐心、有組織地破解、梳理學(xué)生思維過程中的正確因素，補充、完善原先的想法。這種方法被我們稱為融錯，可用圖2表示。

圖2中，學(xué)生最初的想法OA有問題，但不是全錯。教師在學(xué)生表達(dá)觀點后，和他們一道辨析，明確OA中正確的部分OC，再由OC“接著想”，最終到達(dá)目的地。路徑OCB與標(biāo)準(zhǔn)答案OB相比，雖然走了不少彎路，但是學(xué)生自己冥思苦想出來的——OB再好，也是別人的。

有些彎路是學(xué)生認(rèn)識新事物過程中必須走的。時間的洗滌、沉淀，會使得這些彎路漸漸收縮、變直，逐漸靠近最優(yōu)路徑OB，甚至與OB重合。這種經(jīng)歷了“由彎到直”后的OB，包含了學(xué)生豐富的、寶貴的、不可或缺的學(xué)習(xí)體驗，特別有價值。

（三）第三種教學(xué)方案：在對錯之外“化錯育人”

拋出問題一：指一指，角在哪兒？

引出：三角尺上有三個角，誰來指一指？

學(xué)生指著三角尺三個角的頂端。

追問：大家還有其他的指角方法嗎？

聚焦：同學(xué)們的指角方法很多，請分析一下大家的指角方法各有什么優(yōu)點。

總結(jié)：同學(xué)們有的指出了角的關(guān)鍵要素，有的描出了角的樣子，有的把角的邊無限延伸的特點表示了出來，還有的動態(tài)表示出了角兩條邊張開的大小這一本質(zhì)內(nèi)涵。不同的指角方法，體現(xiàn)了大家對角內(nèi)涵的豐富認(rèn)識。學(xué)習(xí)過程中，我們要學(xué)會看到不同甚至對立觀點背后的合理之處，對之分析綜合，使之為我所用。這一過程有助于學(xué)生的認(rèn)知更全面、更嚴(yán)謹(jǐn)、更辯證。

課件出示（或板書）：求同存異，和而不同。

拋出問題二：放大鏡能夠?qū)⒔欠糯髥幔?/p>

部分學(xué)生認(rèn)為“不能”，少數(shù)學(xué)生認(rèn)為“能”。

追問：其他同學(xué)猜一猜，為什么有同學(xué)認(rèn)為放大鏡將角放大了呢？

總結(jié)：生活中的角和數(shù)學(xué)中的角不同，生活中我們見到的角是由兩條線段組成的圖形；數(shù)學(xué)上的角是由兩條射線組成的圖形。數(shù)學(xué)中的一個角是對生活中無數(shù)個“開口相同、朝向一致，有公共頂點”的角的抽象，用一個“數(shù)學(xué)角”（同上文所說的“射線角”）表示了一類“生活角”（同上文所說的“線段角”）。

延伸：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很多時候是在不斷地補充、完善、明晰、更替我們已有日常經(jīng)驗中不清晰、不科學(xué)的生活概念。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要我們用開放的心態(tài)接受新觀點，完善舊想法。

課件出示（或板書）：知錯能改，善莫大焉。

拋出問題三（部分）：“”表示角，還是直線？

組織：同學(xué)們的觀點不是很一致。這樣，我們暫時先將它放一放！看看“”這個圖形，它表示角，還是射線？

絕大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為是射線。

回看：現(xiàn)在你認(rèn)為“”表示什么？

學(xué)生觀點不一。

提問：再看看“”這個圖形，它表示什么？

總結(jié)：指望改變別人，不如努力改變自己。在學(xué)習(xí)、生活中，我們一方面，要多角度地思考、揣摩他人的可能想法，努力理解他人；另一方面，要盡可能清晰、到位地表達(dá)自己的想法，不讓他人產(chǎn)生誤會。

課件出示（或板書）：行有不得，反求諸己。

第三種方案不再拘泥于某個想法到底“是對，還是錯”。一幅畫，要找優(yōu)點，整幅畫都會圈滿優(yōu)點；要找缺點，整幅畫又將圈滿缺點。凡事都有兩面，往好處想、用成長型思維看，有助于學(xué)生從你的、我的、他的“對”中吸取養(yǎng)分，進而完善、滋養(yǎng)自己的“對”。這就是我們所說的“化錯育人”，可用圖3表示。

圖3中，OB是教師鼓勵的標(biāo)準(zhǔn)思路，OA是學(xué)生可能存在的、本真的、模糊的想法，其他的線表示不同學(xué)生的思路。路徑不同、路程不同，但相互之間密切關(guān)聯(lián)。

這樣的方案有助于加深學(xué)生對角本質(zhì)的理解，還能通過爭議話題的討論，鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，提高學(xué)生的思辨水平，幫助他們在“尋找‘錯中對（正確因素）”“剖析‘錯中錯（導(dǎo)致錯誤的原因）”“跳出‘對錯之外（參與即成長）”的經(jīng)歷中，獲得關(guān)于角的“對”與“錯”的辯證認(rèn)識，參悟待人、處事的哲理。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 仲海峰.數(shù)學(xué)概念教學(xué)：淡化末節(jié)，把握本質(zhì)——“角的認(rèn)識”教學(xué)中幾個疑難問題的思考感悟［J］.教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（9）.