鄧世廣

（中國地震臺網(wǎng)中心，北京 100045）

引言

地震復(fù)發(fā)間隔的概率分布是計(jì)算地震危險(xiǎn)性概率的重要基礎(chǔ)，利用概率分布函數(shù)F(t)能夠計(jì)算未來一段時(shí)間 ?T內(nèi)發(fā)生地震的條件概率Pc[1-5]：

式中，Te是上次地震以來的離逝時(shí)間，?T為預(yù)測時(shí)段。對于某一震源區(qū)或發(fā)震斷裂段，如果有足夠豐富的歷史地震數(shù)據(jù)，我們能夠建立適用的F(t)來計(jì)算發(fā)生地震的概率[3]。然而，由于我們累積的歷史地震資料有限，對于單一斷裂段而言，地震復(fù)發(fā)事件較少，通過較少的樣本難以建立可靠的概率分布函數(shù)[6]。Nishenko 和Buland[1]使用歸一化值作為統(tǒng)計(jì)樣本建立了一種通用的地震復(fù)發(fā)間隔分布模型。其中Ti,k是第k斷裂段的第i次復(fù)發(fā)間隔，是該段落總共n次復(fù)發(fā)間隔的中位數(shù)。由于采用了歸一化值而不是復(fù)發(fā)間隔T作為統(tǒng)計(jì)樣本，該模型能夠消除不同斷裂段復(fù)發(fā)間隔的絕對差別，使得能將不同斷裂段的資料用于建立統(tǒng)一分布，解決了對單個(gè)斷裂段建模的樣本不足的問題。他們對環(huán)太平洋板塊邊界上的特征地震資料進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，認(rèn)為對數(shù)正態(tài)分布相比高斯分布和韋布爾分布能夠更好地?cái)M合歸一化的地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)，并給出了最佳擬合的對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)μ=?0.01，σ=0.215，該方法也成為了美國加州概率工作組對圣安德烈斯斷層系開展地震危險(xiǎn)性概率預(yù)測工作的基礎(chǔ)。聞學(xué)澤[7-8]利用該模型對我國個(gè)別斷裂帶的地震潛勢進(jìn)行了估算。然而，中國大陸的地震活動屬于板內(nèi)環(huán)境，大陸板內(nèi)無論在構(gòu)造活動速率、地殼結(jié)構(gòu)還是介質(zhì)物性等方面均與板緣有著明顯差別[2]。張培震和毛鳳英[9]根據(jù)我國大陸活動斷裂的古地震資料，采用同樣的方法建立了通用復(fù)發(fā)間隔分布，在不考慮古地震測齡數(shù)據(jù)誤差的情況下，歸一化復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)樣本較好地服從參數(shù)μ=?0.12，σ=0.50的對數(shù)正態(tài)分布。甘衛(wèi)軍等[10]以中國大陸大地震原地復(fù)發(fā)資料（古地震及歷史地震）為基礎(chǔ)，同時(shí)考慮了古地震測齡數(shù)據(jù)的誤差，確定了板內(nèi)大地震的歸一化復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)樣本較好地服從參數(shù)μ=?0.025，σ=0.262的對數(shù)正態(tài)分布，該結(jié)果表明板內(nèi)大地震在重復(fù)行為上具有與板緣特征地震相類似的分布特征，但板內(nèi)大地震的復(fù)發(fā)間隔相對離散。

多位地震學(xué)者對我國大陸中強(qiáng)地震進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析研究，表明中國大陸中強(qiáng)地震的時(shí)空分布呈現(xiàn)一定的成組活動特征[11-15]。地震的成組活動特征意味著在活躍期地震活動表現(xiàn)出叢集性，而地震活躍期之間可能存在準(zhǔn)周期性。李姜一和周本剛[16]對中國大陸東部102 個(gè)中強(qiáng)潛在震源區(qū)的5—6 級地震的復(fù)發(fā)間隔進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，采用指數(shù)分布能夠較好地?cái)M合具有叢集性特征的地震復(fù)發(fā)間隔。張秋文等[17]認(rèn)為大陸板內(nèi)地震可能是一種準(zhǔn)周期的叢集復(fù)發(fā)行為，地震叢集復(fù)發(fā)間隔滿足對數(shù)正態(tài)分布，叢內(nèi)的地震復(fù)發(fā)間隔滿足指數(shù)分布。但目前還缺少兼顧地震周期性與叢集性特征的地震復(fù)發(fā)間隔概率分布研究。

為了進(jìn)一步研究中國大陸中強(qiáng)地震復(fù)發(fā)間隔的概率分布，本文利用我國歷史地震目錄資料，統(tǒng)計(jì)分析中國大陸中強(qiáng)地震歸一化復(fù)發(fā)間隔分布特征。分析表明中國大陸中強(qiáng)地震活動兼具了周期性和叢集性的特點(diǎn)，因此，采用對數(shù)正態(tài)分布與指數(shù)分布構(gòu)建混合概率分布模型，通過最小二乘法擬合混合概率分布函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明，本文建立的混合概率分布模型能夠更好地符合中國大陸中強(qiáng)地震的歸一化復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)樣本。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 中強(qiáng)地震資料選取與分析

地震資料基于中國地震臺網(wǎng)中心的MS4.7 以上歷史強(qiáng)震目錄，為保證在地震目錄完備的前提下盡可能充分利用歷史地震資料，對地震目錄進(jìn)行了完備性分析認(rèn)為，1960年以來地震目錄記錄的5 級以上地震是足夠完備的（圖1）。另外，中強(qiáng)地震與大地震的復(fù)發(fā)特征可能存在顯著差異，為了避免大地震活動對分析結(jié)果的影響，本文僅針對中強(qiáng)地震震級段（MS5.0—6.5）數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。綜合以上分析，在不考慮遠(yuǎn)海及境外地震的情況下，選取1960年1月1 日以來中國大陸地區(qū)MS5.0—6.5 淺源地震目錄作為基礎(chǔ)資料開展后續(xù)研究。

圖1 中國大陸1960年以來MS4.7 以上地震目錄的完整性分析[18]Fig.1 Completeness analysis of earthquake catalog （MS≥4.7）in mainland China since 1960[18]

為了消除余震對地震復(fù)發(fā)間隔的影響，采用擴(kuò)散鏈法對選取地震目錄內(nèi)的余震進(jìn)行刪除[19]。為了檢驗(yàn)余震刪除效果，對我國大陸1960年以來的MS5.0以上地震目錄刪除余震前后的累積頻次曲線進(jìn)行對比分析（圖2）?？梢钥吹绞苡嗾鸹顒佑绊懀瑒h除余震前的累積頻次曲線（實(shí)線）在強(qiáng)震發(fā)生后存在突然增長的現(xiàn)象；而刪除余震后的累積頻次曲線（虛線）隨時(shí)間的變化保持了平穩(wěn)的增長，這表明余震得到了較好的去除。

圖2 刪除余震前后的累積頻次曲線對比Fig.2 Cumulative frequency curve before and after declustering

與大地震資料相比，中強(qiáng)地震資料相對更加豐富，減少了計(jì)算過程對古地震資料的依賴，因此，能夠避免古地震測齡數(shù)據(jù)誤差對分布參數(shù)估算的影響。另外，中強(qiáng)地震所屬的發(fā)震斷裂往往不夠明確，而大地震大多發(fā)生在明確的主要斷裂帶，因此，以斷裂段為基礎(chǔ)得到的歸一化值作為統(tǒng)計(jì)量對于中強(qiáng)地震并不適用。針對中強(qiáng)地震的這一特點(diǎn)，我們將地震復(fù)發(fā)間隔的統(tǒng)計(jì)范圍規(guī)定在一定區(qū)域內(nèi)，具體做法是將全國按經(jīng)緯度劃分為0.3°×0.3°的網(wǎng)格，每個(gè)格點(diǎn)統(tǒng)計(jì)其周邊80km 范圍內(nèi)的地震作為該點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)樣本，這樣基于網(wǎng)格劃分為基礎(chǔ)得到的歸一化值作為統(tǒng)計(jì)量，其中是第k個(gè)格點(diǎn)80km 范圍內(nèi)共n次歷史地震復(fù)發(fā)間隔的算術(shù)平均值，Ti,k是在該范圍內(nèi)觀測到的具體復(fù)發(fā)間隔。需要說明的是，以這種方式統(tǒng)計(jì)得到的地震復(fù)發(fā)間隔不是傳統(tǒng)意義上的原地復(fù)發(fā)，可理解為區(qū)域范圍內(nèi)的地震復(fù)發(fā)，本文關(guān)于中強(qiáng)地震復(fù)發(fā)間隔的討論也均指區(qū)域復(fù)發(fā)。通過這種統(tǒng)計(jì)方式，使相鄰統(tǒng)計(jì)格點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)范圍在空間上存在一定的重疊和差異，增加了區(qū)域地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的更多可能性，這對于難以明確發(fā)震斷裂歸屬的中強(qiáng)地震來說是有益的。將更多的區(qū)域地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)納入統(tǒng)計(jì)可有效增加統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)量，并提高概率密度函數(shù)參數(shù)擬合結(jié)果的可靠性。

從中國大陸中強(qiáng)地震區(qū)域復(fù)發(fā)間隔的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果（圖3）能夠看到，歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔Ti,k/Tk的統(tǒng)計(jì)峰值在0 附近，表明地震活動具有較強(qiáng)的叢集性，另外，在1 附近統(tǒng)計(jì)值略有升高，表明地震活動同時(shí)具有一定的周期性。甘衛(wèi)軍等[10]統(tǒng)計(jì)的中國大陸歷史大地震歸一化復(fù)發(fā)間隔分布結(jié)果（圖4）顯示，樣本數(shù)據(jù)主要集中在1 附近，地震活動與板緣特征地震相類似，能夠用對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)據(jù)進(jìn)行較好的擬合。中國大陸的中強(qiáng)地震與大地震活動特點(diǎn)表現(xiàn)出顯著的差異性，表明中強(qiáng)地震的歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔并不完全符合對數(shù)正態(tài)分布，而是表現(xiàn)出了同時(shí)具有周期性和叢集性的特征，因此，嘗試采用混合分布模型對其進(jìn)行擬合。另外，如果統(tǒng)計(jì)樣本符合正態(tài)對數(shù)分布，采用復(fù)發(fā)間隔中位數(shù)對統(tǒng)計(jì)樣本進(jìn)行歸一化能夠得到更好的擬合結(jié)果[1]，但由于我國大陸中強(qiáng)地震的區(qū)域復(fù)發(fā)間隔分布不再滿足對數(shù)正態(tài)分布，因此，采用復(fù)發(fā)間隔平均值對統(tǒng)計(jì)樣本進(jìn)行歸一化。

圖3 1960年以來中國大陸中強(qiáng)地震 （MS5.0—6.5） 歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔頻率直方圖Fig.3 Normalized frequency histogram of moderate-strong（MS5.0—6.5） earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960

圖4 中國大陸歷史大地震歸一化復(fù)發(fā)間隔頻率直方圖[10]Fig.4 Normalized frequency histogram of large earthquake recurrence intervals in mainland China[10]

1.2 概率分布函數(shù)構(gòu)建

據(jù)我國大陸中強(qiáng)地震歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔頻率直方圖（圖3），我們能夠認(rèn)識到我國大陸中強(qiáng)地震的活動特點(diǎn)兼具叢集性和周期性。參考前人對歷史大地震的研究工作，地震活動的周期性可以用對數(shù)正態(tài)分布合適地表達(dá)?；趯?fù)發(fā)間隔統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分析，本研究采用指數(shù)分布來描述地震活動的叢集性。為了同時(shí)描述地震活動的叢集性和周期性，建立了一種由對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布混合的概率密度函數(shù)：

1.3 參數(shù)擬合

圖3 和圖4 中展示的統(tǒng)計(jì)直方圖在細(xì)節(jié)上的分辨率較低，直接擬合概率密度函數(shù)存在困難。為了解決統(tǒng)計(jì)樣本不足的問題，對原始觀測數(shù)據(jù)的累加得到的累積概率密度函數(shù)（Cumulative Density Function,CDF）進(jìn)行估算，能夠獲得更好的擬合結(jié)果[1]。

首先我們定義復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)為Ti,k，i=1，2，···，Nk；k=1，2，···，K，其中，K是劃分的網(wǎng)格的個(gè)數(shù)，Nk是第k個(gè)網(wǎng)格統(tǒng)計(jì)范圍內(nèi)地震復(fù)發(fā)間隔的個(gè)數(shù)。所以數(shù)據(jù)的總數(shù)為：

對于第k個(gè)網(wǎng)格，復(fù)發(fā)間隔的均值為：

可以計(jì)算對應(yīng)的累積概率密度函數(shù)曲線（圖5）。

圖5 1960年以來中國大陸中強(qiáng)地震（MS5.0—6.5） 歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔頻率直方圖及CDF 曲線Fig.5 Normalized frequency histogram and cumulative density function curve of moderate-strong （MS5.0—6.5）earthquake recurrence intervals in mainland China since 1960 and the curve of CDF

對公式（2）f(τ)的積分能夠得到在任意τj處的累積概率值基于最小二乘原理，對于最佳的模型參數(shù)應(yīng)滿足

2 擬合結(jié)果分析

基于中國大陸中強(qiáng)地震震級范圍（MS5.0—6.5）的地震歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)，對公式（2）混合分布模型的概率密度函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行最小二乘估算，獲得擬合結(jié)果（表1 和圖6）。為了對比評價(jià)，同時(shí)也分別單獨(dú)采用對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布對歸一化區(qū)域地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合（表1、圖7 和圖8）。

圖6 混合分布累積概率密度函數(shù)擬合結(jié)果。黑線為基于數(shù)據(jù)繪制的累積概率密度函數(shù)（CDF） 曲線，綠線為擬合的CDF 曲線，紅線為基于估算得到的參數(shù)繪制的概率密度函數(shù)（PDF） 曲線，相應(yīng)的對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布函數(shù)曲線分別用黑色線段虛線和點(diǎn)虛線表示，藍(lán)色柱狀圖為歸一化區(qū)域地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)頻率直方圖Fig.6 Cumulative density function fitting result of hybrid distribution model.The solid black line is the estimated cumulative density function （CDF） curve based on recurrence data，the green solid line is the bestfitting CDF curve，the red line is the best-fitting probability density function （PDF） curve，the black dashed and dotted lines show the lognormal and exponential distribution functions，respectively.The blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals

圖7 對數(shù)正態(tài)分布累積概率密度函數(shù)擬合結(jié)果。黑線為基于數(shù)據(jù)繪制的累積概率密度函數(shù)（CDF） 曲線，綠線為擬合的CDF 曲線，紅線為基于估算得到的參數(shù)繪制的概率密度函數(shù)（PDF） 曲線，藍(lán)色柱狀圖為歸一化區(qū)域地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)頻率直方圖Fig.7 Cumulative density function fitting result of lognormal distribution.The solid black line is the estimated cumulative density function （CDF） curve based on recurrence data，the green solid line is the best-fitting CDF curve，the red line is the best-fitting probability density function （PDF） curve，the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals

圖8 指數(shù)分布累積概率密度函數(shù)擬合結(jié)果。黑線為基于數(shù)據(jù)繪制的累積概率密度函數(shù)（CDF） 曲線，綠線為擬合的CDF 曲線，紅線為基于估算得到的參數(shù)繪制的概率密度函數(shù)（PDF） 曲線，藍(lán)色柱狀圖為歸一化區(qū)域地震復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)頻率直方圖Fig.8 Cumulative density function fitting result of exponential distribution.The solid black line is the estimated cumulative density function （CDF） curve based on recurrence data，the green solid line is the best-fitting CDF curve，the red line is the best-fitting probability density function （PDF） curve，the blue histogram is the normalized frequency histogram of earthquake recurrence intervals

表1 參數(shù)估算與擬合誤差結(jié)果Table1 Results of estimated parameters and fitting error

為了統(tǒng)一比較誤差結(jié)果，我們通過下式計(jì)算擬合誤差：

從誤差對比結(jié)果（表1）來看，混合概率分布模型的擬合結(jié)果能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。說明本研究建立的混合概率分布模型能夠更加符合中國大陸中強(qiáng)地震的活動特點(diǎn)。

3 總結(jié)與討論

對中國大陸中強(qiáng)地震歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔的統(tǒng)計(jì)分析表明，中國大陸中強(qiáng)地震活動兼具周期性與叢集性的特點(diǎn)，采用對數(shù)正態(tài)分布與指數(shù)分布混合的概率分布能夠更好地?cái)M合中國大陸中強(qiáng)地震的歸一化區(qū)域復(fù)發(fā)間隔數(shù)據(jù)，這也表明該混合概率分布模型更加符合中國大陸中強(qiáng)地震的活動特點(diǎn)。本文提出的混合概率分布模型能夠?yàn)槲覈袕?qiáng)地震危險(xiǎn)性概率分析提供計(jì)算基礎(chǔ)。

與我國大陸的大地震活動特點(diǎn)相比，我國大陸中強(qiáng)地震活動呈現(xiàn)出更顯著的叢集性特征，造成這種差別的原因可能與地震孕育條件存在較大差異有關(guān)。孕育大地震所需累積的能量巨大，通常具有一定規(guī)模的大型斷裂帶才具備孕育大地震的條件，而孕育中強(qiáng)地震所需要累積的能量要遠(yuǎn)小于大地震。我國大陸的構(gòu)造格局復(fù)雜，能夠孕育中強(qiáng)地震的發(fā)震斷層相對更加豐富。當(dāng)區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變累積達(dá)到一定程度可能引發(fā)該區(qū)域多次中強(qiáng)地震相繼發(fā)生，從而構(gòu)成一組地震活動，這些地震是同期孕育、成組發(fā)生的。因此，我國大陸中強(qiáng)地震的活動不僅具有周期性，還存在明顯的叢集性活動特點(diǎn)。

需要指出的是，本文僅對中國大陸中強(qiáng)地震復(fù)發(fā)間隔的概率分布開展了初步的研究，提出的混合概率分布模型在地震危險(xiǎn)性分析和應(yīng)用中還存在很多問題。如，基于該模型計(jì)算的發(fā)震條件概率是否具有時(shí)間可預(yù)測性、網(wǎng)格中心點(diǎn)位置和統(tǒng)計(jì)半徑對歸一化地震復(fù)發(fā)間隔統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響以及不同震級檔的地震活動是否符合統(tǒng)一的累積概率密度函數(shù)，等等。這些問題還有待進(jìn)一步的研究與驗(yàn)證。

致謝

感謝審稿專家提出的寶貴建議。