張麗娟, 李永祥

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

解的存在性與唯一性, 在非線性項f(x,u,v)滿足適當?shù)牟坏仁綏l件下, 獲得了該問題解的存在性與唯一性， 其中α,β>0, f: [0,2π]×2→連續(xù).

0 引 言

四階常微分方程邊值問題是描述彈性梁在一定邊界條件下靜態(tài)形變的數(shù)學模型, 由于其重要的物理背景, 因此關于該問題的可解性研究得到廣泛關注[1-8]. 本文討論四階周期邊值問題(PBVP):

(1)

解的存在性與唯一性, 其中α,β>0,f: [0,2π]×2→連續(xù).

對非線性項f不含未知函數(shù)u的二階導數(shù)項u″的特殊情形, 關于PBVP(1)的研究已有許多結果[1-4]: Cabada[1]對微分算子Lu=u(4)+αu建立了極大值原理, 并基于該極大值原理, 用上下解方法獲得了解的存在性結果； Li[2]對微分算子Lu=u(4)-βu″+αu建立了強極大值原理, 在f(x,u)非負且關于u超線性或次線性增長的情形下, 用錐上的不動點指數(shù)理論獲得了PBVP(1)正解的存在性； 文獻[3]應用文獻[2]中的強極大值原理, 討論了PBVP(1)多重正解的存在性; 文獻[4]討論了變系數(shù)α=a(x),β=0的情形, 用錐上的不動點指數(shù)理論獲得了PBVP(1)正解的存在性結果.

對非線性項f含有u″的一般情形, 文獻[5-8]對PBVP(1)的可解性進行了研究. 文獻[5]在涉及兩參數(shù)特征值問題的一個非共振條件下, 獲得了PBVP(1)解的存在性結果; 文獻[6]在文獻[5]的基礎上, 在用橢圓和圓描述的兩參數(shù)非共振條件下, 獲得了PBVP(1)解的存在性與唯一性結果. 文獻[5-6]的兩參數(shù)非共振條件均限定f(x,u,v)關于u,v至多一次增長.文獻[7]建立了PBVP(1)上下解的單調(diào)迭代求解程序; 文獻[8]討論了非線性項f(x,u,v)非負的情形, 在允許f(x,u,v)關于u,v超線性增長或次線性增長的條件下, 獲得了PBVP(1)正解的存在性.

本文在不假設f(x,u,v)非負的一般情形下討論PBVP(1)的可解性.在允許f(x,u,v)關于u與v超線性增長的不等式條件下, 用Leray-Schauder不動點定理獲得了PBVP(1)解的存在性結果, 并在此基礎上進一步討論解的唯一性.

1 預備知識

為討論PBVP(1)的可解性, 先考慮相應的線性周期問題(LPBVP):

(2)

其中h∈L2(I).

引理1設α,β>0, 則對?h∈L2(I), LPBVP(2)有唯一解u=Sh∈H4(I), 且解算子S:L2(I)→H4(I)為線性有界算子, 并且u=Sh滿足

‖u′‖≤‖u″‖≤‖u?‖≤‖u(4)‖,

當h∈C(I)時,u∈C4(I).

證明: ?h∈L2(I), 因為三角函數(shù)系{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…}為L2(I)中的一個完備直交系, 故h在L2(I)中可展為三角函數(shù)

做函數(shù)

(3)

易驗證u∈H4(I)為LPBVP(2)的解. 由Fourier展式的唯一性知,u=Sh為LPBVP(2)的唯一解.顯然解算子S:L2(I)→H4(I)為線性有界算子.當h∈C(I)時,u∈C4(I), 且解算子S:C(I)→C4(I)有界.由Fourier展式的系數(shù)公式和式(3)可得u′,u″,u?,u(4)的展式:

故有

‖u′‖≤‖u″‖≤‖u?‖≤‖u(4)‖.

2 主要結果及其應用

假設：

(H1) 存在00, 使得

f(x,u,v)u-f(x,u,v)v≤au2+bv2+c,x∈I,u,v∈.

定理1設α,β>0,f:I×2→連續(xù).若f滿足假設條件(H1), 則PBVP(1)至少有一個解.

證明: 定義映射F:C2(I)→C(I),

F(u)(x)=f(x,u(x),u″(x)),x∈I,

(4)

則F:C2(I)→C(I)連續(xù).由引理1知, LPBVP(2)的解算子S:C(I)→C2(I)全連續(xù), 故復合映射A=S°F:C2(I)→C2(I)全連續(xù).由解算子S的定義知, PBVP(1)的解等價于A的不動點.下面對A應用Leray-Schauder不動點定理.

考慮方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(5)

設u∈C2(I)為方程簇(5)中一個方程的解, 則u=λAu=S(λF(u)).由S的定義知,u為h=λF(u)∈C(I)相應的LPBVP(2)的解, 因此u∈C4(I)滿足

(6)

將方程(6)兩邊同乘u(x)-u″(x), 并由假設條件(H1), 有

將式(7)兩邊在I上關于x積分, 得

對式(8)左端應用分部積分公式, 得

因此, 由式(8)得

(9)

進而

(10)

(11)

由式(9),(11)知

(12)

由式(11),(12)有

‖u‖C2≤C0‖u‖3,2≤C0M1∶=M2,

其中C0為嵌入常數(shù).因此, 方程簇(5)的解集在C2(I)中有界, 從而由Leray-Schauder不動點定理知,A在C2(I)中有不動點, 該不動點為PBVP(1)的解.證畢.

假設：

(H2) 存在0

定理2設α>0,β>0,f:I×2→連續(xù).若f滿足假設(H2), 則PBVP(1)存在唯一解.

證明: 先證存在性.由定理1, 只需證(H2)?(H1).對?(x,u,v)∈I××, 取

則由(H2), 有

由式(13), 有

再證唯一性.設u1,u2∈C2(I)均為PBVP(1)的解.令u=u2-u1, 則由方程(1)及F的定義(式(4)), 有

u(4)-βu″+αu=F(u2)-F(u1),

(14)

將式(14)兩端同時乘以u-u″, 由條件(H2), 有

先將式(15)左端展開, 然后兩邊在I上積分, 得

(16)

因此, 有

(17)

例1考慮超線性四階周期邊值問題:

(18)

對應于PBVP(1),α=3,β=2,u=u(x),v=u″(x),x∈I, 非線性項為

f(x,u,v)=-u3-u2v+uv2+v3+sinx,

(19)

將式(19)兩邊同乘u-v, 可得

例2考慮非線性四階周期邊值問題:

(20)

對應于PBVP(1),α=5,β=3,u=u(x),v=u″(x),x∈I, 非線性項為

f(x,u,v)連續(xù)可微, 其偏導數(shù)為

因此, 有

(21)

對?(x,u1,v1),(x,u2,v2)∈I××, 由微分中值定理知, 存在

ξ=u1+θ(u2-u1),η=v1+θ(v2-v1),

其中θ∈(0,1), 使得

于是由式(21), 有

取a=b=4, 則0