盧睿彬，嚴(yán) 凌，蔡近近

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

近年來(lái)，有很多學(xué)者對(duì)分時(shí)段制定票價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究。鄒慶茹，等建立了以運(yùn)力運(yùn)量匹配度最大化為目標(biāo)的峰前折扣定價(jià)模型，對(duì)比實(shí)際方案，發(fā)現(xiàn)相比于提高折扣比例，推遲折扣截止時(shí)間可以更為有效地轉(zhuǎn)移高峰客流量，提高疏解效率。張楨樺細(xì)分旅客類(lèi)型，劃分出鐵路客流的峰谷時(shí)段，建立各類(lèi)旅客運(yùn)輸方式選擇的時(shí)間價(jià)值模型，設(shè)計(jì)算法求解出各個(gè)時(shí)段的票價(jià)，通過(guò)分時(shí)定價(jià)調(diào)節(jié)各個(gè)時(shí)段的客流量。根據(jù)小時(shí)客流量分布特點(diǎn)，劃分出合理的時(shí)段是分時(shí)段差異化收費(fèi)的首要條件。劉普寅，等提出可以用偏小型模糊分布刻劃偏向小的一方的模糊現(xiàn)象，用偏大型模糊分布刻畫(huà)偏向大的一方的模糊現(xiàn)象，并將該理論應(yīng)用于實(shí)際算例，分別計(jì)算出各個(gè)時(shí)段的峰、谷擬合度，對(duì)時(shí)段進(jìn)行劃分。Ralf Bornd?rfer，等提出用博弈論的方法來(lái)提高高速公路網(wǎng)收費(fèi)效率的策略，用交通流表示用戶(hù)決策，通過(guò)混合整數(shù)規(guī)劃尋找Stackelberg 博弈的納什均衡解。胡文君，等提出路網(wǎng)設(shè)計(jì)過(guò)程是路網(wǎng)管理者與用戶(hù)之間Stackelberg博弈的過(guò)程，雙層規(guī)劃模型能很好地對(duì)這個(gè)過(guò)程進(jìn)行刻畫(huà)。陳建華，等提出出行者廣義出行費(fèi)用的基本函數(shù)表達(dá)式，對(duì)鐵路客票價(jià)格進(jìn)行優(yōu)化。孫朝苑提出公路、鐵路的票價(jià)制定應(yīng)由經(jīng)濟(jì)、時(shí)間、舒適性因素組成的服務(wù)特性決定。R.L.Tobin提出了靈敏度分析算法，可有效地求解雙層規(guī)劃模型。

2021年6月，交通運(yùn)輸部、國(guó)家發(fā)展改革委、財(cái)政部聯(lián)合印發(fā)了《全面推廣高速公路差異化收費(fèi)實(shí)施方案》，提出各地應(yīng)在充分考慮本地公路網(wǎng)結(jié)構(gòu)及運(yùn)行特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，選擇合適的差異化收費(fèi)方案，全面推廣差異化收費(fèi)，可以從分路段、分車(chē)型、分時(shí)段、分出入口、分方向、分支付方式角度進(jìn)行差異化收費(fèi)。本文對(duì)高速公路實(shí)行差異化收費(fèi)進(jìn)行研究，考慮影響出行者出行時(shí)段選擇的相關(guān)因素，將這些因素加入到現(xiàn)有的出行者效用函數(shù)中，建立以高速公路運(yùn)營(yíng)方為決策者的上層模型，以出行者為決策者的下層模型，用靈敏度分析算法對(duì)模型進(jìn)行求解，迭代計(jì)算出高速公路分時(shí)段通行費(fèi)率，從而對(duì)高速公路客流起到有效的均衡引導(dǎo)作用。

1 問(wèn)題提出

1.1 問(wèn)題描述

高速公路的交通量時(shí)變圖一般呈馬鞍形，在上、下午各有一個(gè)出行高峰，高峰時(shí)段較大的車(chē)流量會(huì)使高速公路部分路段出現(xiàn)緩行及擁堵情況，谷時(shí)、平時(shí)車(chē)流量較少，造成高速公路運(yùn)能資源浪費(fèi)，對(duì)高速公路劃分時(shí)段制定合理的通行費(fèi)率研究,具有顯著的現(xiàn)實(shí)意義。本文中，高速公路運(yùn)營(yíng)方與高速公路出行者之間存在Stackelberg博弈，高速公路運(yùn)營(yíng)方制定出分時(shí)段的通行費(fèi)率，出行者做出相應(yīng)的出行選擇，高速公路運(yùn)營(yíng)方會(huì)依據(jù)出行者做出的出行選擇調(diào)整通行費(fèi)率，出行者按照調(diào)整后的通行費(fèi)率重新做出出行選擇，反復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到得出一個(gè)相對(duì)均衡的結(jié)果。建立雙層規(guī)劃模型模擬這個(gè)過(guò)程，高速公路運(yùn)營(yíng)方為上層模型的決策者，出行者為下層模型的決策者。本文根據(jù)交通量的時(shí)間分布特性，制定與之相適應(yīng)的分時(shí)段通行費(fèi)率，運(yùn)用價(jià)格杠桿使高速公路出行高峰時(shí)段擁堵的客流得到有效轉(zhuǎn)移，從而使高速公路網(wǎng)的交通量分布更加均衡，提高路網(wǎng)運(yùn)行整體效率。

1.2 問(wèn)題假設(shè)

本文假設(shè)條件如下：

（1）出行者出行時(shí)段選擇受到出行價(jià)格因素、出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素的影響；

（2）高速公路運(yùn)營(yíng)方的決策變量是分時(shí)段的通行費(fèi)率，出行者的決策變量是各時(shí)段與通行費(fèi)率相對(duì)應(yīng)的客流量；

（3）分時(shí)段的通行費(fèi)率對(duì)各時(shí)段的出行客流量起到均衡調(diào)節(jié)作用，但不改變每天的出行總客流量。

1.3 符號(hào)說(shuō)明

本文所用符號(hào)說(shuō)明見(jiàn)表1。

表1 符號(hào)說(shuō)明

2 時(shí)段劃分

高速公路上一天的交通量在不同時(shí)段有著較大的差異，將高速公路按其交通量特征劃分出不同時(shí)段，并制定出對(duì)應(yīng)的合理通行費(fèi)率，可以有效地對(duì)客流起到均衡作用。本文運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)，用偏大型隸屬度函數(shù)計(jì)算出每個(gè)小時(shí)交通量的峰擬合度，用偏小型隸屬度函數(shù)計(jì)算出每個(gè)小時(shí)交通量的谷擬合度，據(jù)此將該小時(shí)確定為或峰、或平、或谷時(shí)段，并進(jìn)行時(shí)段劃分。

3 建立雙層規(guī)劃模型

為制定合理的分時(shí)段通行費(fèi)率，建立雙層規(guī)劃模型，上層決策者為高速公路運(yùn)營(yíng)方，下層決策者為高速公路出行者。上層模型的決策變量是分時(shí)段的折扣率，目標(biāo)函數(shù)是制定合理的分時(shí)段折扣率，使高速公路運(yùn)營(yíng)方收益最大化；下層模型的決策變量是分時(shí)段通行費(fèi)率下的客流量，目標(biāo)函數(shù)是在假定當(dāng)天高速公路總出行量不變且為正的條件下，使考慮高速公路出行者出行價(jià)格因素、出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素的廣義出行費(fèi)用最小化。

3.1 上層模型

上層模型以在合理的通行費(fèi)率區(qū)間內(nèi)，高速公路運(yùn)營(yíng)方利益最大化為目標(biāo)函數(shù)。高速公路運(yùn)營(yíng)方利益用各時(shí)段通行費(fèi)用與該時(shí)段交通量乘積之和來(lái)表示。

3.2 下層模型

用冪函數(shù)表示廣義出行費(fèi)用函數(shù)。

其中,為待定參數(shù)，分別取2,0.4；V為效用函數(shù)。通常高速公路出行者的出行效用與出行價(jià)格因素、出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素有關(guān)，這些因素會(huì)帶來(lái)出行負(fù)效用。本文將高速公路出行效用表示為：

本文用某時(shí)段通行費(fèi)率下的通行費(fèi)用表示該時(shí)段的出行價(jià)格因素，用某天交通量的小時(shí)均值與某時(shí)段交通量的小時(shí)均值之間的偏差度表示該時(shí)段的出行時(shí)間因素，用某時(shí)段的出行阻抗系數(shù)表示該時(shí)段的出行舒適安全度綜合因素。本文中時(shí)段的出行價(jià)格因素、出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素分別表示如下：

綜上所述，下層模型為：

4 基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法

4.1 算法原理

運(yùn)用靈敏度分析法可以求出變分不等式對(duì)其中擾動(dòng)項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，本文假定這個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)是各時(shí)段的出行價(jià)格因素，即分時(shí)段的通行費(fèi)率，并且假設(shè)各時(shí)段的出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素保持不變。通過(guò)靈敏度分析法得出各個(gè)時(shí)段的高速公路客流量對(duì)通行費(fèi)率的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，用泰勒展開(kāi)式得出反應(yīng)函數(shù)q()的線性表達(dá)式，從而求解雙層規(guī)劃問(wèn)題。

下層模型通行費(fèi)率與客流量的均衡配流模型，用變分不等式表示如下：

在OD對(duì)w間，存在：

q()是下層模型的均衡解。變分不等式在=1時(shí)，即各時(shí)段通行費(fèi)率相同時(shí)，存在唯一的q()，在=1時(shí)有解的必要條件為：

Λ是OD對(duì)間通行費(fèi)率與對(duì)應(yīng)客流量之間的關(guān)聯(lián)矩陣，是下層模型中等式約束的Lagrangian乘子向量。令()[q(),μ()]，用J()表示式（17）和式（18）對(duì)于[q(),μ()]的Jacobian 矩陣，J()表示式（17）和式（18）對(duì)于的Jacobian矩陣，則有如下結(jié)果：

4.2 算法步驟

該算法計(jì)算步驟為：

第2步：計(jì)算出下層模型的Jacobian矩陣J()和J()，將客流量值代入Jacobian矩陣J()中，并根據(jù)式（19）計(jì)算出?y()，得到客流量對(duì)通行費(fèi)率的導(dǎo)數(shù)值；

5 算例分析

本算例選取江蘇省某高速公路斷面逐小時(shí)交通量為研究對(duì)象，首先，計(jì)算每個(gè)小時(shí)交通量的峰擬合度與谷擬合度，將出行者出行時(shí)間劃分成若干時(shí)段；其次，標(biāo)定各個(gè)時(shí)段的出行價(jià)格因素，計(jì)算各個(gè)時(shí)段的出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素，并代入模型中；最后，結(jié)合靈敏度分析算法進(jìn)行計(jì)算，得出各個(gè)時(shí)段的通行費(fèi)率與相應(yīng)的客流量。以期通過(guò)制定合理的分時(shí)段通行費(fèi)率，達(dá)到引導(dǎo)出行者錯(cuò)峰出行，調(diào)節(jié)客流量的效用。

5.1 數(shù)據(jù)輸入

該段高速公路的交通量時(shí)變圖為M形，有明顯的波峰波谷，高峰時(shí)段客流量較大，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)擁堵情況。交通量時(shí)變圖如圖1所示。

圖1 江蘇省某高速公路斷面逐小時(shí)交通量圖

5.2 實(shí)驗(yàn)方案

計(jì)算出每個(gè)小時(shí)的峰、谷擬合度，以70%為分割點(diǎn)，若峰擬合度大于70%，則該時(shí)段為峰時(shí)段；若峰擬合度在30%-70%之間，則該時(shí)段為平時(shí)段；若峰擬合度小于30%，則該時(shí)段為谷時(shí)段。一天被劃分為7個(gè)時(shí)段，根據(jù)前文的分析，相關(guān)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 各時(shí)段交通量、峰谷擬合度、偏離度、阻抗系數(shù)

出行價(jià)格因素、出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素所占權(quán)重分別為：0.159 6、0.669 1、0.171 3。在本算例中，取1.3，因?yàn)闀r(shí)段為夜間時(shí)段，對(duì)于高速公路運(yùn)營(yíng)方而言，管理運(yùn)營(yíng)較其他時(shí)段難度稍大，對(duì)于出行者而言，便利性較低，所以t時(shí)段的取0.8，其他時(shí)段取0.7。取0.15，取4，取5元/萬(wàn)km，取600輛/h。

為模擬初始狀態(tài)，令各時(shí)段的通行費(fèi)率都為1。將權(quán)重?cái)U(kuò)大1倍、5倍、10倍、15倍、20倍、25倍、30倍、35倍、40倍，用MATLAB軟件分別計(jì)算出各時(shí)段的客流量。將各時(shí)段計(jì)算得出的客流量與實(shí)際客流量之間差值的絕對(duì)值加總，記為。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 權(quán)重φ1,φ2,φ3 擴(kuò)大后的各時(shí)段客流量

值在一定程度上可以反映出模型的擬合效果，由表3可知，權(quán)重、、擴(kuò)大20倍后值最小，故本文將權(quán)重、、擴(kuò)大20倍。

將參數(shù)取值代入雙層規(guī)劃模型中，本算例上層模型為：

下層模型為：

高速公路運(yùn)營(yíng)方給定各時(shí)段的通行費(fèi)率，出行者做出對(duì)應(yīng)的出行決策，運(yùn)營(yíng)方會(huì)根據(jù)出行者的出行決策調(diào)整通行費(fèi)率，同時(shí)出行者會(huì)根據(jù)新的通行費(fèi)率做出新的決策。運(yùn)營(yíng)方給定的各時(shí)段初始通行費(fèi)率都為1，將其代入下層模型，得出各時(shí)段對(duì)應(yīng)的客流量，運(yùn)用前文所述靈敏度分析算法確定高速公路各時(shí)段客流量對(duì)通行費(fèi)率的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，通過(guò)泰勒展開(kāi)式計(jì)算出高速公路各個(gè)時(shí)段的客流量與其對(duì)應(yīng)通行費(fèi)率的反應(yīng)函數(shù)，將其代入上層模型，計(jì)算得出第1步的分時(shí)段通行費(fèi)率，再將其代入下層模型，得出與之對(duì)應(yīng)的分時(shí)段客流量。重復(fù)這個(gè)迭代過(guò)程，直到運(yùn)營(yíng)方給出的通行費(fèi)率與上一輪相比差值在一個(gè)可接受范圍內(nèi)，即停止迭代計(jì)算。經(jīng)過(guò)4 步迭代，最終得到誤差值＜0.005的分時(shí)段通行費(fèi)率，見(jiàn)表4。

表4 迭代計(jì)算結(jié)果

5.3 結(jié)果分析

經(jīng)過(guò)4步迭代，可得各時(shí)段的通行費(fèi)率分別為0.8、0.944 9、1.250 1、1.123 9、1.248 2、1.012 2、0.851 9。通過(guò)計(jì)算可知，制定分時(shí)段通行費(fèi)率前，上層規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)值為46 400元，下層規(guī)劃模型中出行者廣義費(fèi)用為364.38元；將第4步迭代計(jì)算結(jié)果代入雙層規(guī)劃模型中，可得分時(shí)段通行費(fèi)率下，上層規(guī)劃模型目標(biāo)函數(shù)值為50 511.4元，下層規(guī)劃模型中出行者廣義費(fèi)用為375.2元。對(duì)比制定分時(shí)段通行費(fèi)率前后的客流量，可知對(duì)不同時(shí)段按相應(yīng)的通行費(fèi)率征收費(fèi)用，可以在滿(mǎn)足上層規(guī)劃模型高速公路運(yùn)營(yíng)方利益最大化目標(biāo)，考慮下層規(guī)劃模型出行者廣義費(fèi)用最小化目標(biāo)下，有效地轉(zhuǎn)移高峰時(shí)段客流量，緩解了該高速公路路段早晚高峰的擁堵情況，同時(shí)，更好地發(fā)揮了高速公路谷時(shí)、平時(shí)的運(yùn)行效能，對(duì)高速公路交通流起到了顯著的均衡作用，如圖2所示。

圖2 制定分時(shí)段通行費(fèi)率前后客流量對(duì)比圖

6 結(jié)語(yǔ)

制定合理的分時(shí)段通行費(fèi)率是轉(zhuǎn)移高峰時(shí)段客流量的有效手段之一，本文首先運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)將出行者出行時(shí)段劃分為峰、平、谷時(shí)段；其次，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型，上層模型以高速公路運(yùn)營(yíng)方收益最大化為目標(biāo)，下層模型以出行者廣義出行費(fèi)用最小化為目標(biāo)，在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上構(gòu)建了考慮高速公路出行者出行價(jià)格因素、出行時(shí)間因素、出行舒適安全度綜合因素的廣義出行費(fèi)用函數(shù)；最后，運(yùn)用基于靈敏度分析方法的啟發(fā)式算法求解，得到各個(gè)時(shí)段的差異化通行費(fèi)率以及相應(yīng)的客流量分布，并通過(guò)算例分析驗(yàn)證了模型算法的有效性。研究結(jié)果表明，分時(shí)段的通行費(fèi)率可以有效地對(duì)交通流起到削峰填谷的作用，在考慮高速公路運(yùn)營(yíng)方與出行者雙方利益的條件下，使高速公路交通量得以均衡。