羅 蕓，錢(qián) 進(jìn)，王一桂，朱道興

（1貴州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025；2中國(guó)電建集團(tuán)貴州工程有限公司，貴陽(yáng) 550025）

0 引 言

溫度分布信息對(duì)鍋爐、大氣層、海洋等的監(jiān)測(cè)都非常重要，其獲取方法大概可以分為2種：計(jì)算方法和測(cè)量方法。在實(shí)際應(yīng)用中，2種方法都有其局限性。計(jì)算方法是將數(shù)學(xué)問(wèn)題離散化形式表示，但由于計(jì)算方法運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜且對(duì)計(jì)算資源要求較高，溫度信息再現(xiàn)實(shí)時(shí)性差。測(cè)量方法受測(cè)量環(huán)境、被測(cè)物結(jié)構(gòu)、測(cè)量設(shè)備安裝以及工程造價(jià)等因素的影響，難以獲得全面溫度分布信息。

為了對(duì)適合工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)溫度分布進(jìn)行快速、準(zhǔn)確的重建，將降維算法引入溫度分布重建，綜合計(jì)算方法和測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)，由計(jì)算方法提供溫度分布重建的樣本數(shù)據(jù)集，測(cè)量方法得到少量溫度傳感器數(shù)據(jù)，使用數(shù)據(jù)降維算法提取樣本數(shù)據(jù)集中溫度分布特征，結(jié)合有限溫度測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)溫度分布實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)重建。

利用本征正交分解（POD）降維方法進(jìn)行溫度分布重建以及分析，獲得良好的效果，也是近些年來(lái)的研究熱點(diǎn)。POD算法是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的維度降低算法，從大量的已知數(shù)據(jù)中提取元數(shù)據(jù)的主要特征，得到原數(shù)據(jù)的低維表達(dá)。Woojin等人采用本征正交分解方法提取低維基向量，重構(gòu)了500 MW切向燃燒煤粉鍋爐溫度場(chǎng)，重構(gòu)效果良好。在POD方法的基礎(chǔ)上Sirovich等人首次提出了Gappy POD方法，該方法利用POD基結(jié)合部分測(cè)量數(shù)據(jù)重建缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)全重構(gòu)。與常用的基于POD的降維方法相比，Gappy POD的顯著優(yōu)點(diǎn)之一是其系數(shù)矢量是根據(jù)部分測(cè)量數(shù)據(jù)求解的，不需要了解測(cè)量對(duì)象物理過(guò)程的詳細(xì)信息。Lei等人基于Gappy POD方法，提出數(shù)值模擬信息和測(cè)量信息相結(jié)合，從局部測(cè)量數(shù)據(jù)中重建穩(wěn)定溫度場(chǎng)，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了其可行性和有效性。陳敏鑫等人、及孫單勛提出了一種將CFD信息融合至Gappy POD算法中實(shí)現(xiàn)了對(duì)物理場(chǎng)的實(shí)時(shí)重建方法，該方法重建范圍大，準(zhǔn)確性高，為未來(lái)物理場(chǎng)預(yù)測(cè)重建提供了一種新的思路。

綜上所述，提出基于Gappy POD算法，結(jié)合部分測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)溫度場(chǎng)進(jìn)行準(zhǔn)確重建，具體重建流程如圖1所示，并分析研究Gappy POD算法進(jìn)行重建時(shí)，POD基個(gè)數(shù)、傳感器數(shù)量和測(cè)量位置等因素對(duì)溫度場(chǎng)重建的影響。

圖1 重建流程Fig.1 Reconstruction process

1 本征正交分解方法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)POD方法

標(biāo)準(zhǔn)POD方法主要思想是將原始溫度場(chǎng)分解為基函數(shù)（POD基）和基系數(shù)的線性組合。應(yīng)用POD算法，原始溫度場(chǎng)組成的快照矩陣的大部分信息由少數(shù)POD基近似表示，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了降維。

將多組溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)構(gòu)成快照矩陣合集（x，t）（1，），是空間坐標(biāo)，是溫度場(chǎng)標(biāo)量編號(hào)。其樣本矩陣形式可表示為：

計(jì)算快照矩陣各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均值，即：

由此得到溫度場(chǎng)的脈動(dòng)量矩陣，即：

其中，為特征值，為特征向量。

通過(guò)式（6）、式（7）可以計(jì)算各階POD基Φ（）和其對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)a（），具體公式如下：

POD基表示捕獲溫度場(chǎng)的主要特征，前個(gè)POD模態(tài)所捕獲的能量占全階模態(tài)的能量為：

快照矩陣中任意溫度場(chǎng)可以由溫度場(chǎng)的平均值和一組基模態(tài)和線性組合來(lái)重構(gòu)，即：

1.2 Gappy POD方法

為了使值最小，對(duì)上式中的b求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)等于0得到誤差最小值。研究推得的數(shù)學(xué)公式如下：

整理得：

進(jìn)一步地，可以計(jì)算出：

為了后文的論述，定義均方根誤差為重建誤差：

2 溫度場(chǎng)重建仿真研究

2.1 二維溫度場(chǎng)模型仿真

為了對(duì)待測(cè)對(duì)象進(jìn)行二維溫度場(chǎng)仿真研究，采用雙峰偏斜溫度場(chǎng)模型，運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

雙峰偏斜數(shù)學(xué)模型：

其中，（，）表示雙峰偏置溫度分布模型坐標(biāo)點(diǎn)(，)處溫度值（K）；表示橫坐標(biāo)（m）；表示縱坐標(biāo)（m）；、表示邊界條件。

使用式（18）在計(jì)算區(qū)域內(nèi)計(jì)算溫度值，計(jì)算區(qū)域?yàn)?×4 m，采樣步長(zhǎng)為0.1 m，采集1 681個(gè)溫度值，形成溫度分布數(shù)據(jù)。計(jì)算不同邊界條件下的溫度分布數(shù)據(jù)，構(gòu)建樣本數(shù)據(jù)集以及測(cè)試集。設(shè)定雙峰偏斜溫度分布模型樣本數(shù)據(jù)集以及測(cè)試集邊界條件見(jiàn)表1、表2。

表1 樣本數(shù)據(jù)集邊界條件Tab.1 Boundary conditions of sample data sets

表2 測(cè)試數(shù)據(jù)集邊界條件Tab.2 Boundary conditions of test data sets

根據(jù)表1、表2給出的邊界條件，共有30組樣本數(shù)據(jù)和5組測(cè)試數(shù)據(jù)，應(yīng)用公式（15），計(jì)算溫度分布數(shù)據(jù)，采樣形成維數(shù)為1 681×30的樣本數(shù)據(jù)集和維數(shù)為1 681×5的測(cè)試數(shù)據(jù)集。

2.2 溫度場(chǎng)重建結(jié)果

在本節(jié)中，使用Gappy POD方法結(jié)合部分溫度測(cè)量數(shù)據(jù)重建溫度場(chǎng)。將樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行特征分解，按照公式（8）確定POD基的個(gè)數(shù)，構(gòu)成轉(zhuǎn)化矩陣，選擇幾個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)作為實(shí)際溫度測(cè)點(diǎn)，坐標(biāo)點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)作為溫度測(cè)量值，結(jié)合轉(zhuǎn)化矩陣對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)集進(jìn)行溫度場(chǎng)重建。

首先對(duì)30個(gè)不同工況的樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行POD分析，得到用于重構(gòu)溫度場(chǎng)的POD基。不同POD基所占能量曲線和前兩階POD模態(tài)分別如圖2、圖3所示。從圖中可以看出前兩階POD模態(tài)所占能量幾乎是總能量的100%，這意味著高維數(shù)據(jù)可以用2個(gè)空間模態(tài)來(lái)準(zhǔn)確表達(dá)，高維數(shù)據(jù)可以得到顯著壓縮。

圖2 各階POD基所占能量Fig.2 The energy of each order POD base

圖3 前兩階POD模態(tài)Fig.3 The first two order POD

其次，對(duì)表2中的5組測(cè)試工況選擇前兩階POD模態(tài)、10個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)和相同測(cè)點(diǎn)位置進(jìn)行溫度分布重建。重建結(jié)果如圖4所示，圖4（a）～（e）展示了測(cè)試工況原始溫度場(chǎng)，圖4（f）～（j）給出了重建溫度場(chǎng)結(jié)果。按照公式（17）計(jì)算重建誤差如圖5所示。

圖5 測(cè)試工況重建誤差Fig.5 Test condition reconstruction errors

由圖4可以看出，重建溫度分布與原始溫度分布大致保持一致，重建效果良好。

圖4 重建結(jié)果Fig.4 Reconstruction results

圖5 中，樣本工況范圍內(nèi)的測(cè)試工況1～3的重建誤差小于在樣本范圍外的測(cè)試工況4～5的重建誤差，但其溫度分布重建效果同樣良好，全部測(cè)試工況重建誤差均在1×10之下；測(cè)試工況4離樣本工況范圍近，測(cè)試工況5離樣本工況范圍遠(yuǎn)，測(cè)試工況5的重建誤差大于測(cè)試工況4的重建誤差。因此結(jié)合Gappy POD和部分測(cè)量數(shù)據(jù)的溫度分布重建算法有著良好的適用性和準(zhǔn)確性。

3 溫度場(chǎng)重建結(jié)果誤差分析

針對(duì)溫度場(chǎng)的重建，使用控制變量法來(lái)分析POD基個(gè)數(shù)、傳感器數(shù)量（測(cè)點(diǎn)數(shù)量）、傳感器放置位置（測(cè)點(diǎn)位置）等因素對(duì)重建結(jié)果造成的影響。為了消除實(shí)驗(yàn)帶來(lái)的隨機(jī)誤差，所有結(jié)果均進(jìn)行了多次，做圖數(shù)據(jù)為多次實(shí)驗(yàn)的平均值。

3.1 POD基數(shù)量對(duì)重建結(jié)果的影響

圖6中展示了測(cè)試工況1的重建誤差隨著POD基數(shù)量的變化情況。利用10、50和70個(gè)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，在固定的測(cè)量數(shù)據(jù)情況下，隨機(jī)選取不同位置的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行溫度重建計(jì)算，做圖數(shù)據(jù)為多次計(jì)算的平均值，消除測(cè)點(diǎn)位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響。從圖6中可以看出，使用前兩階POD基進(jìn)行重構(gòu)，比使用前一階POD基進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)誤差大大減小，重構(gòu)誤差隨著POD基數(shù)量的增加，先減小、而后趨于穩(wěn)定。3種不同的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)下，重建誤差隨POD基數(shù)量的變化保持相同的趨勢(shì)。

圖6 利用10、50和70個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，重建誤差隨POD基數(shù)量變化曲線Fig.6 The reconstruction errors curve with the number of POD bases by using 10，50 and 70 measurements

3.2 測(cè)點(diǎn)位置對(duì)重建結(jié)果的影響

圖7為3和5個(gè)傳感器在隨機(jī)位置點(diǎn)的重構(gòu)誤差。

從圖7中可以看出，由于測(cè)量數(shù)據(jù)的測(cè)點(diǎn)位置是隨機(jī)的，即使同樣數(shù)量的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，測(cè)點(diǎn)位置不同，重建誤差變化較大。

圖7 3和5個(gè)傳感器數(shù)量在隨機(jī)位置點(diǎn)下的重構(gòu)誤差Fig.7 Reconstruction errors of 3 and 5 sensors at random position points

圖8為利用2個(gè)POD基在不同傳感器數(shù)量和不同隨機(jī)位置下重構(gòu)的誤差，選取不同數(shù)量的測(cè)量數(shù)據(jù)，隨機(jī)選擇測(cè)點(diǎn)位置，進(jìn)行5組實(shí)驗(yàn)，得到5組計(jì)算結(jié)果。由圖8可以看出，不同隨機(jī)位置測(cè)點(diǎn)的重建誤差均是隨傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)量的增加由降低到趨于穩(wěn)定，但測(cè)點(diǎn)位置不同，其重建誤差也不相同。

圖8 不同傳感器數(shù)量和不同隨機(jī)位置的重建誤差Fig.8 Reconstruction errors of different random positions with different number of sensors

由此可見(jiàn)傳感器的放置位置十分重要，不同的放置位置對(duì)其在溫度分布重建算法中影響程度也不同。

3.3 測(cè)點(diǎn)數(shù)量對(duì)重建結(jié)果的影響

在傳統(tǒng)的溫度預(yù)測(cè)和重構(gòu)中，預(yù)測(cè)和重構(gòu)結(jié)果準(zhǔn)確度高需要大量的傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)做支撐，然而，大量傳感器使用卻需要大量資金、人力和物力投入。因此，盡量少的傳感器數(shù)量使用也是衡量預(yù)測(cè)重構(gòu)模型的標(biāo)準(zhǔn)之一。由上文可知測(cè)點(diǎn)位置對(duì)重建結(jié)果的影響，為消除此影響，對(duì)此進(jìn)行多次計(jì)算取平均值。

利用一階、二階和三階POD基進(jìn)行重建，重構(gòu)誤差如圖9所示。由圖9可以看出，一階POD基重建誤差隨傳感器數(shù)量增加雖呈下降趨勢(shì)，但過(guò)程跌宕起伏；二階和三階POD基重建誤差隨傳感器數(shù)量增加而減少、再趨于穩(wěn)定。一階與二、三階趨勢(shì)不相同，這是因?yàn)橐浑APOD基所占能量較低，對(duì)數(shù)據(jù)反應(yīng)能力較弱，這與前文中提出的結(jié)論是一致的。

圖9 不同POD基在不同傳感器下的重構(gòu)誤差Fig.9 Reconstruction errors under different sensors with different POD bases

由圖8和圖9可知，重建誤差均在測(cè)點(diǎn)數(shù)量為5后趨于穩(wěn)定，由此可知傳感器最佳數(shù)量為5個(gè)。

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）針對(duì)有限的已知測(cè)量數(shù)據(jù)的溫度場(chǎng)重構(gòu)，本文結(jié)合Gappy POD方法，利用少量POD基能夠快速準(zhǔn)確地重構(gòu)溫度場(chǎng)，為了驗(yàn)證算法的可行性和適用性，重建5組測(cè)試工況，重建誤差均在精度要求范圍內(nèi)，對(duì)于其邊界條件不在快照矩陣范圍內(nèi)的測(cè)試工況4、5的重建，仍有令人滿(mǎn)意的重建結(jié)果。

（2）重構(gòu)誤差隨POD基數(shù)量的增加先減少、而后趨于穩(wěn)定，少量的POD基就能重構(gòu)溫度場(chǎng)，對(duì)后續(xù)低階模型有一定指導(dǎo)意義。

（3）同樣數(shù)量的傳感器，放置位置不同，重建誤差變化較大，由此可見(jiàn)測(cè)點(diǎn)位置所攜帶信息重要程度在重建算法中也各有不同，因此測(cè)點(diǎn)位置的優(yōu)化布置尤為重要，后期會(huì)對(duì)最佳測(cè)點(diǎn)位置方式進(jìn)行研究。

（4）重建誤差隨傳感器數(shù)量的增加先減少、再趨于穩(wěn)定，根據(jù)成本和計(jì)算準(zhǔn)確性考慮，傳感器布置最佳數(shù)量為5個(gè)，顯著地減少測(cè)量傳感器的數(shù)量，可降低溫度分布測(cè)量的復(fù)雜性與測(cè)量成本。