陳 南，張雪健

(廈門工學(xué)院計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院，福建廈門 361021)

0 引言

非線性偏微分方程的求解問(wèn)題，一直以來(lái)受到廣大學(xué)者的關(guān)注.目前，已有很多方法對(duì)方程求解，例如：齊次平衡法[1]、達(dá)布變換法[2]、Painlevé分析法[3]、G′/G函數(shù)展開(kāi)法、F-展開(kāi)法等.文獻(xiàn)[4]中，把F-展開(kāi)法推廣到一般橢圓方程

F′2(ξ)=c0+c1F(ξ)+c2F2(ξ)+c3F3(ξ)+c4F4(ξ)

(1)

式(1)中ci(i=0,1,...,4)為參數(shù)，并給出了一般橢圓方程(1)的由系數(shù)之間的聯(lián)系所確定的12種Jacobi橢圓函數(shù)解，并借助這些解把F-展開(kāi)法推廣到一般橢圓方程的情形，即提出了通用F-展開(kāi)法.

(1+1)維混合KdV方程

ut+a0ux+a1uux+a2u2ux+βuxxx=0

(2)

它則是描述非線性晶體傳播的方程.目前對(duì)(1+1)維混合KdV方程的研究文獻(xiàn)比較多，文獻(xiàn)[5]用F-展開(kāi)法對(duì)該方程進(jìn)行了求解，文獻(xiàn)[6]中使用G'/G展開(kāi)法和G'/G擴(kuò)展法對(duì)方程進(jìn)行求解.本文選擇了文獻(xiàn)[4]提出的通用F-展開(kāi)法對(duì)該方程進(jìn)行求解.

1 應(yīng)用通用F-展開(kāi)法

作行波變換，u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x-ct)，其中k和c分別為波數(shù)和波速，則方程(2)變?yōu)?/p>

-cu'+α0u'+α1uu'+α2u2u'+k2βu'''=0

(3)

假設(shè)方程(3)具有如下形式的解，

(4)

式(4)中n,ai(i=0,1,...,n)為待定常數(shù)，且F(ξ)滿足一般橢圓方程(1).利用齊次平衡原則，可得n=1.故式(3)的解為

u(ξ)=a0+a1F(ξ)

(5)

式(5)中F=F(ξ)滿足式(1).由式(1)可得

(6)

利用式(1)、式(6)，由式(5)可得

u′=a1F′

(7)

u?=a1(c2F′+3c3FF′+6c4F2F′)

(8)

將式(5)、式(7)、式(8)代入式(3)，并令FiF′(i=0,1,2)的系數(shù)為零，得到關(guān)于a0,a1,k,c的方程組

(9)

(10)

(11)

解該方程組得

(12)

式(12)中ε=±1.

2 (1+1)維混合KdV方程的精確解

利用文獻(xiàn)[4]中給出得一般橢圓方程得Jacobi橢圓函數(shù)解，得到方程(2)的如下三種情形的解為：

其中，m(0

3 結(jié)論

求解非線性偏微分方程，一直是一個(gè)重要的問(wèn)題.本文利用文獻(xiàn)[4]中提出的通用F-展開(kāi)法對(duì)(1+1)維混合KdV方程進(jìn)行分析求解，得到了12種Jacibi橢圓函數(shù)解，豐富了(1+1)維混合KdV方程的解系.后續(xù)，可推廣至其他方程.