梁蒲佳，許 濤，楊鵬程，徐 晉，王兆輝

(西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引言

精密齒輪是機(jī)械傳動系統(tǒng)中的重要零件，其形狀誤差是影響傳動精度的重要因素[1]。通過激光干涉測量系統(tǒng)來獲取齒面干涉條紋圖像后，經(jīng)過相位提取、相位解包裹和配準(zhǔn)等步驟來得到齒面誤差信息。其中相位解包裹是整個(gè)激光干涉測量技術(shù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，包裹圖攜帶著齒面的全部信息，解包裹質(zhì)量的高低將直接影響到最終測量精度。從齒面干涉條紋圖像中提取的相位值是由反正切函數(shù)的形式表示的，其相位值是被截?cái)?、或者說被包裹在(-π，π]的主值區(qū)域內(nèi)，為得到真實(shí)值，必須將截?cái)嗟南辔换謴?fù)為連續(xù)的狀態(tài)，這個(gè)過程稱為相位解包裹[2-3]。相位解包裹應(yīng)用場景非常廣，有合成孔徑雷達(dá)測量、光學(xué)干涉測量、摩爾測量、核磁共振成像和結(jié)構(gòu)光投影測量等[4-7]。

1986年，Goldstein[8-9]提出路徑跟蹤的枝切法來解包裹。1991年，Bone[10-11]提出的質(zhì)量圖引導(dǎo)法有效的避免了枝切法中由于枝切線閉合導(dǎo)致的“孤島”現(xiàn)象。1994年，Ghiglia[12]等在非加權(quán)最小二乘法的基礎(chǔ)上提出加權(quán)最小二乘法，抑制了誤差的傳遞。2002年，趙爭等提出的遺傳算法以及2008年魏志強(qiáng)等提出的蟻群算法被引到枝切法中，優(yōu)化了枝切線的放置[13-15]。2012年，李芳芳等[16]根據(jù)質(zhì)量圖引導(dǎo)提出快速相位解纏法，對解纏效率有所提高。2016年，Backoach等[17]利用計(jì)算機(jī)圖形處理單元并行處理離軸全息圖中的相位信息，用來捕獲具有快速鞭毛運(yùn)動的微生物干涉成像相位圖。2019年，趙振強(qiáng)等[18-20]提出基于深度學(xué)習(xí)的InSAR相位解纏算法。在過去的幾十年，相位解包裹技術(shù)一直是研究的熱點(diǎn)，但是由于各個(gè)領(lǐng)域干涉圖像特征的不同，使得目前并無通用的解包裹算法。

對于精密齒輪在加工和使用過程中形成的形狀誤差使得齒面干涉圖像具有局部散斑、邊緣雜散條紋、疏密不均和粘連等特征，目前并無通用的算法，也沒有統(tǒng)一的數(shù)據(jù)集，所以依然依托于經(jīng)典算法來尋求一種適用于齒面形狀誤差測量的解包裹方法用于后期改進(jìn)。根據(jù)已有的經(jīng)典算法，選取枝切法、相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法、最小二乘法、傅里葉變換輪廓術(shù)和傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法對齒面干涉圖像進(jìn)行解包裹實(shí)驗(yàn)分析比較，相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法解包裹的灰度圖以及相位數(shù)據(jù)圖相比于其他算法更加平滑，能更好地處理齒面干涉圖像中噪聲嚴(yán)重的問題。

1 經(jīng)典解包裹算法實(shí)現(xiàn)

1.1 枝切法

枝切法[21-23]是經(jīng)典的路徑跟蹤法。首先，實(shí)際測量情況下，相位數(shù)據(jù)獲取過程中會受到噪聲的影響而出現(xiàn)非連續(xù)點(diǎn)，把這些非連續(xù)點(diǎn)在包裹相位圖中標(biāo)記為殘差點(diǎn)(正負(fù)極性電荷)；其次，為了平衡全圖的殘差點(diǎn)，將正負(fù)殘差點(diǎn)進(jìn)行配對，在配對連接的過程中要注意枝切線要盡可能的短；之后，從包裹相位圖中某一非殘差點(diǎn)位置開始向四周方向進(jìn)行解包裹操作，若遇到枝切線上的點(diǎn)則繞過此點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行正常相位點(diǎn)的解包裹，直至全圖所有正常相位點(diǎn)完成解包裹；最后，通過分析枝切線周圍的正常點(diǎn)相位信息對枝切線上的相位進(jìn)行解包裹。

其中，殘差點(diǎn)計(jì)算表達(dá)式為

(1)

φ(i,j)為包裹相位圖上i行j列的相位值；W為相鄰相位差。Δi的和為殘差點(diǎn)，和記作q，如果q為2π的正整數(shù)倍，則稱為正殘差點(diǎn)，值設(shè)為+1；反之，為負(fù)殘差點(diǎn)，值設(shè)為-1。

其中，q的表達(dá)式為

(2)

其算法流程如圖1所示。

圖1 枝切法算法流程

枝切法計(jì)算效率非常高，在殘差點(diǎn)不集中的情況下，可以解決絕大多數(shù)包裹相位的包裹，但是在殘差點(diǎn)比較集中的局部區(qū)域，容易因?yàn)橹η芯€放置環(huán)繞形成封閉的“孤島”區(qū)域，使得解包裹結(jié)果出錯(cuò)。

1.2 相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法

相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法[24-28]是通過相位差分偏差法先建立一個(gè)可以表示包裹相位圖各點(diǎn)的質(zhì)量好壞的質(zhì)量圖，再以該質(zhì)量圖為解包裹引導(dǎo)路徑，沿著質(zhì)量從高到低有序解包裹，直到所有的包裹相位被解開為止。

首先通過相位導(dǎo)數(shù)偏差法建立質(zhì)量圖，表達(dá)式為

(3)

(4)

(5)

W為將計(jì)算結(jié)果限制在(-π,π]的包裹算子。

這里對相位導(dǎo)數(shù)偏差的數(shù)值進(jìn)行了取反操作，因?yàn)橄辔粚?dǎo)數(shù)偏差法計(jì)算的數(shù)值大小與相位質(zhì)量的是反相關(guān)的，取反后，其數(shù)值就與相位質(zhì)量正相關(guān)。

相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法的算法流程如圖2所示。

圖2 相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法的算法流程

相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法跟枝切法一樣也是將殘差點(diǎn)放在最后解包裹，不同的是利用相位導(dǎo)數(shù)偏差法將包裹相位圖每個(gè)像素按照質(zhì)量高低排序后再從高到低擴(kuò)散式進(jìn)行解包裹操作的，理論上更優(yōu)于枝切法，但是更耗時(shí)。

1.3 最小二乘法

最小二乘法[29]主要是計(jì)算待求相位與包裹相位之間的相位梯度誤差的最小二階范數(shù)，從而獲得待求相位的逼近值，表達(dá)式為

(6)

Φi，j為待求相位；M，N為包裹相位的像素點(diǎn)M×N；

最小二乘法的算法流程如圖3所示。

圖3 最小二乘法的算法流程

最小二乘法屬于路徑無關(guān)算法，是全局意義下的最優(yōu)化問題。對于干涉圖像殘差點(diǎn)有很好的抑制效果，采用經(jīng)典的高斯-塞德爾松弛算法進(jìn)行迭代，但其收斂速度非常慢，實(shí)際求解采用離散余弦變換。

1.4 傅里葉變換輪廓術(shù)

傅里葉變換輪廓術(shù)[30-32]最早是在1983年由日本的Takeda和Mutoh提出來的，開始應(yīng)用于物體的三維形貌測量。傅里葉變換輪廓術(shù)是利用投影儀將正弦條紋投影到被測物體上，用CCD相機(jī)拍攝被測物體高度調(diào)制的變形條紋；再將變形條紋圖像通過傅里葉變換從空域變換為頻域，通過濾波將噪聲濾掉，保留包含物體高度信息的基頻信息；再通過逆傅里葉變換得到變形條紋的光強(qiáng)分布，通過反正切計(jì)算獲取變形條紋的包裹相位；最后再進(jìn)行解包裹操作得到被測物體的高度信息。

將此方法運(yùn)用到激光干涉領(lǐng)域，就是將投影得到的變形條紋圖像替換為由本激光干涉測量系統(tǒng)拍攝得到的齒面干涉圖像，具體實(shí)現(xiàn)流程如圖4所示。

圖4 傅里葉變換輪廓術(shù)流程

傅里葉變換輪廓術(shù)包裹相位只需1個(gè)干涉圖像就可以獲取，但傅里葉變換是全局的分析方法，如果齒面劇烈變化則不能保證包裹相位獲取的正確性，而且在提取基頻分量時(shí)，容易出現(xiàn)頻譜混疊，同樣不能獲取正確的包裹相位。

1.5 傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法

此方法[33-35]是傅里葉變換輪廓術(shù)和質(zhì)量圖引導(dǎo)法的結(jié)合，通過對干涉條紋圖像進(jìn)行快速傅里葉變換，對頻譜圖進(jìn)行高通濾波濾掉噪聲和背景，再進(jìn)行傅里葉逆變換，通過調(diào)制度法計(jì)算質(zhì)量圖。此時(shí)調(diào)制度與相位質(zhì)量成正比例關(guān)系，也就是說干涉條紋圖調(diào)制度越高的像素點(diǎn)，相位質(zhì)量越高。以計(jì)算的質(zhì)量圖為引導(dǎo)路徑，沿著質(zhì)量從高到低有序解包裹，直到所有的包裹相位被解開為止。具體實(shí)現(xiàn)流程如圖5所示。

圖5 傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法流程

其中，調(diào)制度函數(shù)為

(7)

Re[b(x,y)]為傅里葉逆變換后的實(shí)部；Im[b(x,y)]為傅里葉逆變換后的虛部。

傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法同樣具有傅里葉變換輪廓術(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)，齒面缺陷以及提取基頻時(shí)出現(xiàn)的頻譜混疊將直接影響到質(zhì)量圖的優(yōu)劣。

2 實(shí)驗(yàn)對比

激光干涉測量系統(tǒng)如圖6所示。利用該系統(tǒng)，采用四步移相法，移相器步進(jìn)π/2拍攝了一系列齒面干涉圖像。為檢驗(yàn)各解包裹算法在本測量系統(tǒng)中應(yīng)用效果，選取了原始大小為1 240×290像素的1組齒面干涉圖像(如圖7所示)作為實(shí)驗(yàn)對象，計(jì)算包裹相位(如圖8所示)后進(jìn)行解包裹處理，對各個(gè)算法的解包裹結(jié)果進(jìn)行對比和總結(jié)。

圖6 激光干涉測量系統(tǒng)

圖7 齒面干涉圖像(四步移相法)

采用第1節(jié)所述方法進(jìn)行解包裹操作，結(jié)果如圖9所示。從解包裹結(jié)果灰度圖情況來看，枝切法(圖9a)結(jié)果圖出現(xiàn)灰度較低的點(diǎn)，稱為無法解包裹的“孤島”區(qū)域。傅里葉變換輪廓術(shù)(圖9d)結(jié)果圖灰度有明顯差異。相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法(圖9b)、傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法(圖9e)、最小二乘法(圖9c)3種方法灰度比較接近，但傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法相比于相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法灰度仍有起伏。最小二乘法(圖9c)本質(zhì)上是二維的最小二乘擬合，如果包裹相位數(shù)據(jù)存在殘差點(diǎn)，那么解包裹結(jié)果會存在扭曲現(xiàn)象，為此對最小二乘法進(jìn)行反包絡(luò)。反包絡(luò)后的相位圖(圖10)與原始包裹相位圖(圖8)相比，重新包裹后的相位圖條紋扭曲嚴(yán)重，而測量對象是精密齒輪，要求每一點(diǎn)的解包裹結(jié)果都是精確的。因此，最小二乘法暫不適用于本課題，后面不再對其進(jìn)行討論。

圖8 包裹相位圖

圖9 相位解包裹結(jié)果

圖10 反包絡(luò)后的相位圖

這里提取出各算法解包裹結(jié)果圖中第130行的相位數(shù)據(jù)用來定量說明，如圖11所示。

圖11 130行解包裹相位數(shù)據(jù)曲線

由于齒面干涉圖像局部區(qū)域噪聲影響，致使局部枝切線比較密集，最終導(dǎo)致枝切法解包裹結(jié)果出現(xiàn)“孤島”區(qū)域，如圖11a中a,b此2點(diǎn)處的相位值。傅里葉變換輪廓術(shù)解包裹相位圖曲線(圖11c)整體趨勢上有較大波動。傅里葉變換法的質(zhì)量圖引導(dǎo)法解包裹相位圖曲線(圖11d)在cd段出現(xiàn)波動。相比之下，相位導(dǎo)數(shù)偏差法的質(zhì)量圖引導(dǎo)法對齒面干涉圖像噪聲有更好的抑制作用，其解包裹相位曲線(圖11b)更加平滑，解包裹精度高。

3 結(jié)束語

針對激光干涉測量系統(tǒng)采集到的齒面干涉圖像，相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法在處理齒面干涉圖像的噪聲問題上可以得到理想的解包裹結(jié)果。枝切法由于齒面干涉圖像中局部散斑、邊緣雜散條紋、條紋粘連等噪聲使得枝切線封閉形成“孤島”區(qū)域，導(dǎo)致解包裹結(jié)果出錯(cuò)。傅里葉變換輪廓術(shù)由于齒面干涉圖像中條紋疏密不均以及噪聲的影響造成解包裹結(jié)果出現(xiàn)大面積錯(cuò)誤。傅里葉變換的質(zhì)量圖引導(dǎo)法計(jì)算質(zhì)量圖的方法與傅里葉變換輪廓術(shù)是同樣的思想，同樣的原因?qū)е掠?jì)算的質(zhì)量圖較差，最終解包裹結(jié)果出現(xiàn)局部錯(cuò)誤。綜上，相位導(dǎo)數(shù)偏差的質(zhì)量圖引導(dǎo)法更適用于處理齒面干涉圖像，后期改進(jìn)也將主要基于此方法繼續(xù)展開研究。