梁志國

(航空工業(yè)北京長城計量測試技術研究所 計量與校準技術重點實驗室，北京 100095)

正弦波形在計量測試中的應用極為廣泛，是動態(tài)測試及校準中應用的基本波形。首先，被應用到波形記錄儀性能指標的定義及評價中[1]；相應地，曲線擬合方法研究獲得了發(fā)展[2-3];進而，誤差與不確定度研究被等同推進[4-6];其后，A/D轉換器的性能評估也使用了正弦曲線擬合[7-9]，并引出了相應的不確定度評估[10-12]，以及其他應用案例[13-14]。

隨著應用的深入，依賴于正弦曲線擬合，人們發(fā)展出了殘周期擬合方法[15-17]、非均勻采樣測量方法[18]、抖動測量方法[19]、失真測量方法[20]等。

由于正弦曲線的幅度、頻率、相位、直流分量等參數(shù)均已被工程應用。因而，各個參數(shù)的精確測量與評估成為人們極為關心的基本問題之一。由此，以四參數(shù)曲線擬合方式為特征的各種精確估計算法獲得廣泛應用。

伴隨著大規(guī)模集成電路技術的發(fā)展進步，A/D轉換器的位數(shù)、速率均在不斷提高，目前已有32 bit的A/D轉換器芯片產(chǎn)品面世。而在眾多的寬頻動態(tài)波形采集系統(tǒng)中，以16 bit A/D芯片為核心的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)漸成主流。因而，其采樣量化給正弦參數(shù)擬合所帶來的影響成為了人們特別關注的對象。由于影響因素眾多，關系錯綜復雜，很難從簡單的枚舉方式中確切估計出其各種條件影響及其變化規(guī)律。不同的A/D位數(shù)、測量條件、擬合軟件對擬合所帶來的影響尚無簡單規(guī)律，只能以個案形式單獨處理。

通常，人們會主觀認定量化誤差給擬合正弦幅度和直流分量帶來的影響小于量化誤差本身，但到底小到什么程度，并不確知。而其給擬合頻率和擬合相位帶來的誤差有多大，更加無從知曉。筆者的主要目標即是對量化誤差給四參數(shù)正弦曲線擬合帶來的影響進行定量研究，以便徹底解決這一問題。

此前，美國NIST的科學家曾試圖解決這一問題[4]，使用的是諧波、抖動、正態(tài)噪聲模型表征采樣測量誤差，并給出了噪聲帶來的擬合誤差與序列長度成反比的定量結論。而實際上，量化噪聲并非正態(tài)噪聲，其給正弦擬合的誤差影響隨采樣序列長度增加并不能呈現(xiàn)反比規(guī)律。另外的研究[21-22]涉及到量化噪聲估計的不確定度和其對失真測量的影響，也未涉及對擬合參數(shù)的誤差影響問題。

筆者將以仿真參數(shù)搜索方式，尋找出其各種條件影響下各個擬合參數(shù)的誤差界及其變化規(guī)律，以期能夠給16 bit A/D的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)在正弦參數(shù)擬合中的不確定度水平估計提供參考和借鑒。并用于指導正弦擬合方法的精確測量工作。

1 機理分析

量化誤差對正弦擬合參數(shù)誤差的影響，有多方面因素，其起因歸結為以下幾個方面的問題。

1.1 峰值量化碼問題

數(shù)據(jù)采集過程，實質上是一種針對被測波形的時域抽樣和幅度量化過程，并以抽樣量化后的數(shù)據(jù)序列表征被測量的波形。其中，若采集量程為E，所用A/D的位數(shù)為b，則全量程范圍內的所有量值被分成2b個均勻的小區(qū)間，稱為2b個量化碼值。每個小區(qū)間的寬度用LSB(Least Bit)表示，1 LSB=E/2b。任何一個被測量值都被用其所落在區(qū)間的量化碼值定量表征。被測量值與表征其所用量化碼值所代表的理論值之間的差被稱為量化誤差。

曲線擬合是用含有量化誤差的采樣序列逼近并復現(xiàn)原始信號波形的過程，各個抽樣點量化誤差的大小、出現(xiàn)幾率等均會對擬合參數(shù)的誤差造成影響。

當被測信號為正弦波時，其最大的問題是，它并非一個值域上等概率密度的函數(shù)波形，峰值附近的概率密度最大。因而，在量化后，其峰值和谷值碼在理論上可以有遠高于其他碼值的出現(xiàn)概率。若其峰值幅度為A，當其恰好覆蓋全量程時，峰值碼(谷值碼)出現(xiàn)的概率為

零值碼出現(xiàn)的概率為

由此可見，峰值碼出現(xiàn)的概率遠大于其他碼值出現(xiàn)的概率，導致峰值碼在曲線擬合中的權重遠大于其他碼值。

通常，被測正弦波不可能恰好覆蓋全量程范圍，由此導致實際使用的量化碼數(shù)少于2b個，且峰值碼和谷值碼均有可能不完整，即其寬度低于理論值，使得其碼寬度、量化誤差值的分布，以及在曲線擬合中的權重都會產(chǎn)生變化，從而影響曲線擬合參數(shù)誤差。

由于正弦波幅度和直流分量的變化均能造成峰值碼和谷值碼的量化寬度的變化，由此，對波形擬合誤差造成影響。需要在量化碼量級細度上進行掃描搜索，以定量呈現(xiàn)該影響。

1.2 初始相位的影響問題

任何一個用于曲線擬合的測量序列都是有限長采樣序列，以只含有一個周期的正弦波采樣序列為例，在任何其他因素都不變的情況下，僅根據(jù)初始相位發(fā)生變化所呈現(xiàn)的波形序列，就可以呈現(xiàn)出“中點對稱性波形”、“中點反襯性波形”和一般波形等情況，而含有量化誤差的測量序列，其在“中點對稱性波形”和“中點反襯性波形”等不同狀態(tài)下，擬合誤差將產(chǎn)生明顯變化。因而，初始相位的變化對曲線擬合將造成明顯的影響，需要通過深度相位掃描的方式予以定量表征。

1.3 波形陡峭度問題

正弦波形數(shù)據(jù)采集中，信號頻率的變化和采樣速率的變化最終歸結為每個周波內采樣點數(shù)的變化問題。每個周波采樣點數(shù)越少，信號序列的陡峭程度越高，其他條件不變時，波形的陡峭程度將對參數(shù)擬合誤差造成影響。以其他條件不變，序列中含有的信號周波數(shù)來表征該陡峭程度，周波數(shù)越多，則陡峭程度越高。本文以1～21個周波為研究對象。

1.4 序列長度問題

正弦波采集中，序列長度的變化主要從兩個方面影響擬合誤差。當與量化碼個數(shù)相比，序列長度很短時，由于采樣量化誤差不能達到依理論概率分布呈現(xiàn)的狀態(tài)，不同的采樣條件將給參數(shù)擬合造成較大波動。此時，單點測量值的權重較大、峰值碼寬度不完整等因素和量化誤差的變動將給參數(shù)擬合結果造成較大影響。

當序列長度到達一定長度以上后，量化誤差分布更加趨近于理論分布，單點測量值在整體中的權重下降，導致其變化時對參數(shù)擬合誤差造成的影響降低，擬合將更加穩(wěn)定。本文的序列長度選取范圍為100～16000。

1.5 整周期問題

實際工作中的數(shù)據(jù)采集序列很少是整周期采樣序列，其擬合參數(shù)的誤差規(guī)律也更加復雜和多樣。為降低工作量，并使過程更加穩(wěn)定，通過截取序列方式可保證其近似在整數(shù)個周期的狀況下工作。本文以1～21個周波為研究對象。

1.6 幅度變化問題

對于波形采樣序列而言，當其不能覆蓋全量程時，將導致量化階梯的使用數(shù)量減少。一般，對于量程為E、A/D位數(shù)為b的采集系統(tǒng)而言，半量程與滿量程的幅度區(qū)間是主要考察對象區(qū)間，屬于b位A/D的應用范疇；而在1/4～1/2量程的幅度區(qū)間，應該是量程為E/2的b-1位A/D的系統(tǒng)的考察區(qū)間。因而，過低幅度的誤差特征在實際應用中并無太大實際意義和價值。

本文研究的主要目標是定量展示上述各種條件要素變化時，正弦參數(shù)擬合誤差的變化情況。

2 基本思想

2.1 測量條件

正弦波形的數(shù)據(jù)采集中包括主觀條件和客觀條件，其被測波形及其各種參量屬于無法改變的客觀存在，很難被干預和調整。但測量條件，例如測量系統(tǒng)的量程、A/D位數(shù)、采樣速率、存儲深度等，可通過主觀選擇而變化。

實際的正弦波采樣測量中，通過控制采樣速率與信號頻率兩者之比確定每個周波包含的采樣點數(shù)；在此基礎上，以采樣序列長度確定其所包含的周波數(shù)。

通過采集量程，控制信號幅度與量程的占比；以不同A/D位數(shù)的測量系統(tǒng)，調控量化誤差水平;最終，用于調整和控制正弦波擬合參數(shù)誤差界。

綜合各方面因素，篩選出具有相互獨立性和系統(tǒng)完備性的可展現(xiàn)量化誤差影響的測量條件如下。

① 量程及A/D位數(shù)，用于確定量化誤差水平。

② 采樣序列包含信號周波數(shù)，用于確定周波數(shù)的影響。

③ 序列樣本點數(shù)，用于確定存儲深度的影響。

④ 信號幅度，用于確定幅度變化及量化帶來的影響。

⑤ 初始相位，用于確定相位變化帶來的影響。

⑥ 直流分量，用于確定直流分量變化及量化帶來的影響。

經(jīng)四參數(shù)正弦曲線擬合，獲得指標特征參量如下。

① 有效位數(shù)誤差界，以bit表述。

② 擬合幅度誤差界，以LSB表述。

③ 擬合頻率誤差界，以相對誤差表述。

④ 擬合相位誤差界，以度(°)表述。

⑤ 擬合直流分量誤差界，以LSB表述。

2.2 誤差界搜索

正弦擬合參數(shù)的誤差界是在上述6項測量條件下，固定其中的5項，變化1項，搜索出該條件變化時，四參數(shù)正弦擬合所獲得的有效位數(shù)、幅度、頻率、相位、直流分量5項指標的誤差界。

3 仿真實驗及數(shù)據(jù)處理

3.1 仿真實驗條件

為方便參數(shù)調控，不失一般性，設定包含6項測量條件的仿真實驗條件如下。

① A/D位數(shù)為16 bit。

② 信號幅度。未特別說明時，幅度為95.00%×量程。作為主變化因素時，幅度宏觀變化范圍為量程的3.052%～ 99.99%，1.977 LSB步進。作為輔助變化量時，在95.00%×量程點處，其微觀變化范圍為-0.5～0.5 LSB，0.1 LSB步進。

③ 采樣序列包含周波數(shù)。未特別說明時，為20個周波。作為主變化因素時，變化范圍為0.90～21.00個周波，0.01周波步進。作為輔助變化量時，變化范圍為1～20個周波，1周波步進。

④ 初始相位。未特別說明時，初始相位為0°。作為主變化因素時，變化范圍為-180°～180°，0.1°步進。作為輔助變化量時，范圍不變，20°步進。

⑤ 直流分量。未特別說明時，直流分量為0。作為主變化因素時，變化范圍為-2～2 LSB，0.01 LSB步進。作為輔助變化量時，變化范圍為-0.5～0.5 LSB，0.1 LSB步進。

⑥ 序列樣本點數(shù)。未特別說明時，序列樣本點數(shù)為16000點。作為主變化因素時，變化范圍為100～16000點，1點步進。作為輔助變化量時，變化范圍為1000～ 16000點，1000點步進。

3.2 仿真實驗結果

按照上述仿真實驗條件，分別以1種參量為主變化因素、1種參量為輔助變化因素生成實際的仿真條件，考察各指標要素的誤差變化情況。

3.2.1 幅度作為主變化因素

① 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖1所示。均為1～20個周波(步進1個周波)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖1 幅度與周波數(shù)同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

② 相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖2所示。均為初始相位在-180°～180°(步進20°)范圍內的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖2 幅度與相位同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

③ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖3所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖3 幅度與直流分量同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖4所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點數(shù)(步進1000點)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖4 幅度與數(shù)據(jù)點數(shù)同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

由圖1～圖4可知，不同條件下各個擬合參數(shù)的誤差界均有隨著信號幅度增加而降低的趨勢。主要是由量化誤差峰值恒定，隨著幅度增加，其在擬合中與幅度的占比呈下降趨勢造成。其中，半量程以上的誤差帶呈緩慢收窄趨勢。

3.2.2 周波數(shù)作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖5所示。均為幅度在95.00%×量程點處、微觀波動范圍為-0.5～0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖5 周波數(shù)與幅度同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

② 初始相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖6所示。均為初始相位在-180°～180°(步進20°)范圍內的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖6 周波數(shù)與相位同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

③ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖7所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖7 周波數(shù)與直流分量變化時的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖8所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點數(shù)(步進1000點)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖8 周波數(shù)與數(shù)據(jù)點數(shù)變化時的參數(shù)擬合誤差界

由圖5～圖8可知，除了頻率誤差以外，其他各個參數(shù)的擬合誤差界隨周波數(shù)的變化呈平穩(wěn)狀態(tài)，唯有頻率擬合誤差隨周波數(shù)增加呈反比下降趨勢。應該是擬合估計波形長度誤差與其他參數(shù)一樣，誤差界平穩(wěn)，而隨著周波數(shù)增多，相當于分配給每一個小周波的誤差帶變窄造成的。

3.2.3 初始相位作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖9所示。均為幅度在95.00%×量程點處、微觀波動范圍為-0.5～0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖9 初始相位與幅度同時變化時的參數(shù)擬合誤差界

② 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖10所示。均為1～20個周波(步進1個周波)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖10 初始相位與周波數(shù)變化時的參數(shù)擬合誤差界

③ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖11所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖11 初始相位與直流分量變化時的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖12所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點數(shù)(步進1000點)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖12 初始相位與數(shù)據(jù)點數(shù)變化時的參數(shù)擬合誤差界

由圖9～圖12可知，各個參數(shù)的擬合誤差界隨初始相位的變化與波形所含周波數(shù)有關，單周波時其擬合頻率誤差界波動較大，隨著周波數(shù)上升為2個以上后，各個擬合參數(shù)誤差界呈平穩(wěn)狀態(tài)。其原因應該是單周波時，初始相位的變化影響到波形的對稱和反稱狀態(tài)，從而給頻率擬合帶來更大的影響。

3.2.4 直流分量作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖13所示。均為幅度在95.00%×量程點處、微觀波動范圍為-0.5～0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖13 直流分量與幅度變化時的參數(shù)擬合誤差界

② 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖14所示。均為1～20個周波(步進1個周波)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖14 直流分量與周波數(shù)變化時的參數(shù)擬合誤差界

③ 初始相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖15所示。均為初始相位在-180°～180°(步進20°)范圍內的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖15 直流分量與相位變化時的參數(shù)擬合誤差界

④ 數(shù)據(jù)點數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖16所示。均為1000～16000數(shù)據(jù)點數(shù)(步進1000點)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖16 直流分量與數(shù)據(jù)點數(shù)變化時的參數(shù)擬合誤差界

由圖13～圖16可知，各個參數(shù)的擬合誤差界隨直流分量的變化呈周期性特征，其各個擬合參數(shù)的誤差界或呈對稱、反稱特征，其波動較大，但波動范圍穩(wěn)定，可以認定各個擬合參數(shù)誤差界呈平穩(wěn)狀態(tài)。其原因應該是直流分量在量化誤差尺度變化時，對峰值碼和谷值碼的完整性產(chǎn)生周期性影響造成了各個擬合參數(shù)誤差界的周期性特征。

3.2.5 數(shù)據(jù)點數(shù)作為主變化因素

① 幅度作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖17所示。均為幅度在95.00%×量程點處、微觀波動范圍為-0.5～0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖17 數(shù)據(jù)點數(shù)與幅度變化時的參數(shù)擬合誤差界

② 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖18所示。均為1～20個周波(步進1個周波)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖18 數(shù)據(jù)點數(shù)與周波變化時的參數(shù)擬合誤差界

③ 初始相位作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖19所示。均為初始相位在-180°～180°(步進20°)范圍內的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖19 數(shù)據(jù)點數(shù)與相位變化時的參數(shù)擬合誤差界

④ 直流分量作為輔助變化量，獲得誤差變化曲線波形如圖20所示。均為直流分量變化范圍為-0.5～ 0.5 LSB(步進0.1 LSB)的測量曲線相重合所形成誤差的包絡。

圖20 數(shù)據(jù)點數(shù)與直流分量變化時的參數(shù)擬合誤差界

由圖17～圖20可知，各個參數(shù)的擬合誤差界隨數(shù)據(jù)點數(shù)的增加呈降低趨勢。其原因應該是數(shù)據(jù)點數(shù)增加時，每一采樣點的擬合權重降低，導致單點量化誤差在曲線擬合中的影響降低，擬合模型值更趨于穩(wěn)定。

3.3 仿真實驗結果分析

將圖1～圖20中各個擬合參數(shù)誤差界整理歸納形成表1所述的量值及測量條件。每一個擬合參數(shù)都可以選取其誤差界最大者進行誤差估計和使用。

表1 正弦擬合參數(shù)的條件誤差界(16bit A/D)

3.3.1 有效位數(shù)誤差界

由圖1(a)～圖20(a)可知：

① 數(shù)據(jù)點數(shù)是影響有效位數(shù)誤差界(誤差包絡線)的最重要因素，總體而言，在6000點以下，數(shù)據(jù)點數(shù)的增大可以導致有效位數(shù)誤差界的單調變窄。6000點以上的數(shù)據(jù)點數(shù)，誤差帶比較平穩(wěn)，沒有明顯的總體變化趨勢，此時，可以獲得有效位數(shù)誤差界下界為-0.05 bit，上界為0.05 bit。

② 當幅度在量程范圍內大尺度變化時，有效位數(shù)誤差界隨幅度增加呈緩慢下降趨勢，由±0.1 bit下降到±0.05 bit。當幅度量程比在50%以上時，誤差界趨于平穩(wěn)，其誤差下界為-0.05 bit，上界為0.05 bit。幅度在LSB量值尺度的微觀進行變化時，有效位數(shù)誤差隨幅度變化呈局部周期性變化，變化范圍為±0.01 bit，變化周期為1 LSB。

③ 有效位數(shù)誤差沒有隨周波數(shù)的變化而變化的趨勢，其誤差帶平穩(wěn)，但存在離散跳動點，誤差帶下界為-0.02 bit，上界為0.02 bit，少數(shù)離散跳動范圍為±0.04 bit。

④ 初始相位因素對有效位數(shù)影響的誤差帶波動平穩(wěn)，但是，其他因素，例如幅度、周波數(shù)、直流分量等會影響誤差帶寬度和位置。其波動的誤差下界為-0.04 bit，上界為0.04 bit。

⑤ 直流分量在LSB量值尺度微觀變化時，有效位數(shù)誤差隨其變化呈周期性變化，幅度周期為1 LSB；其波動的誤差下界為-0.03 bit，上界為0.03 bit。在直流分量變化時，其他因素的變化對誤差界也有影響，按照影響由大到小排列，它們依次為數(shù)據(jù)個數(shù)、初始相位、周波數(shù)、幅度。

3.3.2 幅度誤差界

由圖1(b)～圖20(b)可知：

① 數(shù)據(jù)點數(shù)是影響幅度誤差界的重要因素，在5000點以下時，數(shù)據(jù)點數(shù)的增大可以導致幅度誤差界的單調變窄。

當周波數(shù)為2以上，超過5000點后，其誤差界趨于平穩(wěn)，誤差界下界約為-0.04 LSB，上界約為0.04 LSB。

② 在量程范圍內大尺度變化時，幅度誤差界隨幅度增加呈平穩(wěn)趨勢，下界為-0.05 LSB，上界為0.05 LSB；其他對其影響的因素按重要性排列依次為數(shù)據(jù)個數(shù)、直流分量、初始相位、周波數(shù)。

幅度在LSB量值尺度微觀變化時，幅度誤差隨幅度變化呈局部周期性變化，下界為-0.022 LSB，上界為0.04 LSB，變化周期為1 LSB；不同幅度將改變幅度誤差的量值。

③ 周波變化給幅度誤差界帶來的影響比較平穩(wěn),下界約為-0.01 LSB，上界約為0.01 LSB。

④ 初始相位因素的影響處于平穩(wěn)波動狀態(tài)，不同初始相位的波動帶可能有明顯的寬窄和位置差異，其下界為-0.024 LSB，上界為0.03 LSB。

⑤ 幅度誤差界隨直流分量的變化呈周期變化，周期為1 LSB，其下界為-0.024 LSB，上界為0.024 LSB。

3.3.3 頻率誤差界

由圖1(c)～圖20(c)可知：

① 數(shù)據(jù)點數(shù)與周波數(shù)的結合是影響頻率誤差界的最重要因素，數(shù)據(jù)點數(shù)的增大可以導致頻率誤差界的變窄，但并非單調變窄。6000點以上的數(shù)據(jù)點數(shù)，1/2量程以上的幅度，2個以上的周波數(shù)，可以獲得頻率誤差界下界為-1.0E-7，上界為1.0E-7；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據(jù)點數(shù)，以及更多的周波數(shù)。

② 頻率誤差隨幅度增加呈衰減下降趨勢，但不單調下降，主要由幅度、周波數(shù)的變化確定，半量程幅度以后，其頻率誤差下界為-1E-7，上界為1E-7。

③ 周波數(shù)增大時，頻率誤差隨周波數(shù)增加呈衰減趨勢，其中，與初始相位結合的影響比其他因素顯著，10個周波以上時，頻率誤差下界為-2E-8，上界為2E-8。

④ 周波數(shù)大于2時，初始相位、直流分量因素的影響小于1E-8，可以忽略。

3.3.4 初始相位誤差界

由圖1(d)～圖20(d)可知：

① 數(shù)據(jù)點數(shù)與周波數(shù)的結合是影響初始相位誤差界的最重要因素，數(shù)據(jù)點數(shù)的增大可以導致初始相位誤差界的變窄，但并非單調變窄。2個周波以上的波形，5000點以上的數(shù)據(jù)點數(shù)，其誤差界下界為-1.5E-4(°)，上界為1.5E-4(°)；更窄的誤差界需要更多的數(shù)據(jù)點數(shù)。

② 初始相位誤差隨幅度增加呈衰減下降趨勢，但不單調下降，主要由幅度、周波數(shù)的變化確定，半量程以上幅度，下界為-1.5E-4(°)，上界為1.5E-4(°)。

③ 當周波數(shù)變化時，初始相位誤差界比較平穩(wěn)，下界為-5E-5(°)，上界為5E-5(°)；在數(shù)據(jù)個數(shù)較低時，會有較大跳變，下界為-4E-4(°)，上界為4E-4(°)。

④ 初始相位誤差界，隨初始相位本身、直流分量等各種因素影響而變化的規(guī)律均比較平穩(wěn)，下界為-6E-5(°)，上界為6E-5(°)；當數(shù)據(jù)個數(shù)較少時，會有增加，下界為-4E-4(°)，上界為4E-4(°)。

3.3.5 直流分量誤差界

由圖1(e)～圖20(e)可知：

① 數(shù)據(jù)點數(shù)是影響直流分量誤差界的重要因素之一，在4000點以下，數(shù)據(jù)點數(shù)的增大可以導致直流分量誤差界的變窄。4000點以上，其誤差界比較平穩(wěn)，下界為-0.02 LSB，上界為0.02 LSB。

② 0值的直流分量誤差界隨幅度增加呈緩慢上升趨勢，主要由于幅度上升后，接近0值的直流分量與其相差懸殊，運算舍入誤差造成；下界為-0.014 LSB，上界為0.014 LSB。非0值的直流分量誤差界量值由幅度、直流分量組合變化確定，幅度大尺度而變化時，誤差界呈平穩(wěn)下降趨勢，下界為-0.06 LSB，上界為0.06 LSB；隨著直流分量的不同，誤差界寬度與位置呈較多的變化。

③ 周波數(shù)變化時，直流分量誤差界隨周波數(shù)增加呈平穩(wěn)趨勢。

④ 初始相位因素對直流分量誤差的影響可以忽略，下界為-5E-5 LSB，上界為5E-5 LSB。

⑤ 直流分量在LSB尺度的微觀變化將導致其自身誤差變化較大，局部具有周期性特征，以1 LSB為周期，下界為-0.014 LSB，上界為0.014 LSB。

4 問題討論

上述過程是以幅度、周波數(shù)、相位、直流分量和數(shù)據(jù)點數(shù)5個條件作為變動條件參量，用有效位數(shù)誤差、幅度誤差、頻率相對誤差、相位誤差和直流分量誤差作正弦擬合結果的指針參量。

以1個參量作為主變動條件因素，其他4項參量作為輔助變量的情況進行二維搜索，揭示其在雙變量組合變化情況下的各個指針參量誤差界的變化情況，獲得不同組合實驗條件下的誤差界測量曲線。結果表明：

① 擬合序列的數(shù)據(jù)點數(shù)是最重要的測量條件，也是影響擬合結果的誤差界的主導條件，若想獲得更高準確度的擬合結果，通常需要更多的數(shù)據(jù)點數(shù)。

② 波形幅度指的是其相對量程范圍的占比。實驗表明，超過半量程以后幅度的信號波形擬合誤差界趨于平穩(wěn)。因此，測量活動應盡量選擇半量程以上覆蓋率的幅值，至少是覆蓋四分之一量程以上的幅度值進行測量。

③ 周波數(shù)的影響實際上體現(xiàn)的是采樣速率和信號頻率比的影響。實驗表明，頻率擬合誤差界隨周波數(shù)的增加呈衰減趨勢，并且周波數(shù)越小，變化趨勢越顯著；在10個周波以后，變化趨勢趨于平穩(wěn)。若想獲得較小的擬合誤差，則應適當提高擬合序列周波數(shù)，至少應為2個周波以上；和多周波條件相比，2個周波以下時擬合誤差顯著升高。對于頻率以外的其他指針參量，誤差帶的總體趨勢平穩(wěn)，沒有隨周波數(shù)變動的明顯趨勢性變化。

④ 初始相位變化時，當其他因素固定時，僅由初始相位變化導致的各個參數(shù)誤差帶波動平穩(wěn)。但其他因素變化后，由初始相位與其他因素聯(lián)動變化導致的各個參數(shù)誤差帶寬度和位置可以有較大變化。其對于有效位數(shù)誤差帶的影響約為±0.04 bit；對于幅度擬合誤差帶的影響約為±0.03 LSB；當周波數(shù)為2個以上時，對于初始相位擬合誤差帶的影響約為±6E-5(°)；對于直流分量擬合誤差帶的影響約為±0.026 LSB；當周波數(shù)為10個以上時，對于頻率擬合誤差帶的影響約為±2.0E-8。

⑤ 直流分量的變化，本文只關注到了LSB量值范圍的變化帶來的影響。在該尺度上，它的變化給每一個參量的誤差帶均帶來周期性影響。給其他參量誤差帶的影響均呈現(xiàn)明顯的對稱性，而給直流分量自己的誤差帶的影響則具有反稱性特征。

配合其他因素的變動，直流分量的微觀變化可對有效位數(shù)造成的誤差帶的影響約為±0.05 bit；對于幅度擬合誤差帶的影響約為±0.04 LSB；對于初始相位擬合誤差帶的影響約為±0.00015°；對于直流分量擬合誤差帶的影響約為±0.032 LSB。當周波數(shù)為2個以上時，對于頻率擬合誤差帶的影響約為±3.6E-8；

⑥ 在實際工作中，如果并不需要獲得全部上述5個參量，而僅僅需要其中某一個參量的高精度結果，例如有效位數(shù)，則可以根據(jù)該參量的影響因素顯著程度，只注意調控和構建所需要的影響量條件即可，其他可以自由選取，不必全盤考慮，這會使得實驗設計更加容易。

5 結束語

綜上所述，通過仿真，對使用16 bit A/D轉換器的測量系統(tǒng)所得正弦測量序列，在波形擬合中獲得的幅度、頻率、初始相位、直流分量和有效位數(shù)5個參數(shù)的擬合誤差界進行了搜索研究，給出了誤差界隨波形幅度、周波數(shù)、初始相位、直流分量、數(shù)據(jù)點數(shù)等不同組合條件而變化的曲線，揭示出其變化規(guī)律。例如，頻率擬合誤差界隨幅度宏觀上升變化而呈現(xiàn)出總體下降的趨勢，隨幅度和直流分量在LSB尺度的微觀變化呈現(xiàn)出周期性變化的規(guī)律，隨周波數(shù)、數(shù)據(jù)點數(shù)上升而呈現(xiàn)出總體下降的趨勢。

總結出了顯著影響量和非顯著影響量。對正弦擬合參量的不確定度評估和誤差界定具有重要意義和價值。另外，對于擬合參數(shù)誤差有明確要求的場合，可以通過構筑相適應的測量條件獲得預期結果。

由于16 bit A/D轉換器的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是動態(tài)波形測量的主流設備，而正弦擬合逐漸成為高精度測量分析的重要手段，因而，獲得的結論將擁有良好的實際應用前景。