江蘇省南京市小營(yíng)小學(xué) 王 歡

五年級(jí)上學(xué)期期初，學(xué)生遇到這樣一道題：

為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，某市從2018年1月1日起實(shí)施階梯水價(jià)制，每戶4人以下（含4人）按下表收費(fèi)：

第一階段：年用水量0～150噸（含） 2．65元/噸第二階段：年用水量150～250噸（含） 3．45元/噸第三階段：年用水量250噸以上 5．85元/噸

李阿姨全家4人一年用水約270噸，請(qǐng)你算一算：她家一年應(yīng)付水費(fèi)多少元？

我們統(tǒng)計(jì)學(xué)校6個(gè)班214名學(xué)生的完成情況得知，正確解答的學(xué)生只有68名，正確率為31.8%。在錯(cuò)誤的解法中，將水費(fèi)的單價(jià)直接按第二階梯的單價(jià)3.45元/噸來(lái)計(jì)算的學(xué)生達(dá)到118人，占55.1%。

學(xué)生對(duì)“階梯計(jì)費(fèi)”的計(jì)費(fèi)方法不理解，教師也反映現(xiàn)階段學(xué)生還沒(méi)有遇到類似的問(wèn)題。我們靜心思考能夠發(fā)現(xiàn)，學(xué)生把問(wèn)題解決的落腳點(diǎn)放在了“數(shù)據(jù)的分段整理”（如圖1）上，問(wèn)題數(shù)據(jù)在哪一段，學(xué)生就在哪一個(gè)項(xiàng)目中抽取條件，“數(shù)據(jù)的分段整理”模型與“數(shù)據(jù)的階梯計(jì)費(fèi)”模型的認(rèn)知模糊才是學(xué)生解題出錯(cuò)的原因所在。

圖1

其實(shí)，蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第47頁(yè)、第81頁(yè)的“探索與實(shí)踐”板塊，分別編排了這樣的綜合與實(shí)踐活動(dòng)（如圖2、圖3）。這兩次綜合實(shí)踐活動(dòng)，不僅與學(xué)生的生活實(shí)際密切聯(lián)系，還是學(xué)生充分感受“分段數(shù)量關(guān)系”的好素材，具有很強(qiáng)的針對(duì)性、探索性和綜合性。

圖2

圖3

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，模型是溝通數(shù)學(xué)與世界的橋梁，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。吳正憲老師認(rèn)為，在小學(xué)滲透模型思想，需要教師結(jié)合學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)，創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題情境，讓學(xué)生把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程，從而提高建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，感受建立數(shù)學(xué)模型的作用。

為改善“綜合與實(shí)踐”這一板塊的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者聚焦模型思想，進(jìn)行了以“階梯計(jì)費(fèi)”為主題的實(shí)踐研究。

一、自主探究，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題

對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，獨(dú)立研究電費(fèi)單上復(fù)雜的數(shù)據(jù)還存在著很多困難。于是，課前，筆者給學(xué)生提供了一份“電費(fèi)單的研究報(bào)告”（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生先自主研究，將自己已經(jīng)知道的信息寫(xiě)下來(lái)，同時(shí)把想研究的和存在的疑惑記錄下來(lái)，再進(jìn)行小組交流。

圖4

從學(xué)生反饋的情況來(lái)看，他們已經(jīng)知道了電費(fèi)單上的用戶名、地址等基本信息，還知道了用電量＝本月示數(shù)－上月示數(shù)，電費(fèi)＝單價(jià)×用電量，總電費(fèi)＝峰時(shí)電費(fèi)+谷時(shí)電費(fèi)。他們的疑問(wèn)及想進(jìn)一步研究的內(nèi)容大都集中在：（1）什么是“一檔基數(shù)”“二檔基數(shù)”“三檔基數(shù)”；（2）如何根據(jù)這些基數(shù)計(jì)算電費(fèi)。

通過(guò)課前的思考，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)隱藏在電費(fèi)計(jì)價(jià)單中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，又進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情。

生活原型是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，從貼近學(xué)生生活的真實(shí)素材入手，引發(fā)學(xué)生思考并提出問(wèn)題，這樣的過(guò)程是有挑戰(zhàn)性的、有思維價(jià)值的。熟悉的、典型的素材有助于學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、分析、抽象、概括等過(guò)程，從而形成一般的模式表達(dá)，這也是生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化對(duì)感悟模型思想的價(jià)值。

二、畫(huà)圖表征，外顯并初建數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，實(shí)際上就是將生活中的實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程。學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程就是獲得某種“數(shù)學(xué)模型”的過(guò)程。根據(jù)學(xué)生的研究報(bào)告，筆者精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解“階梯計(jì)費(fèi)”的本質(zhì)內(nèi)涵，構(gòu)建“階梯計(jì)費(fèi)”的計(jì)算方法模型，讓學(xué)生感悟模型思想的功能與價(jià)值。

學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)與模型思想的建構(gòu)，首先在于其對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解、表達(dá)和轉(zhuǎn)述。為了讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題有深入的理解和表達(dá)，筆者引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式，重新分析、整理、描述問(wèn)題情境，以達(dá)到對(duì)問(wèn)題條件表述的一目了然。綜合學(xué)生的整理情況，筆者總結(jié)出主要有以下幾種呈現(xiàn)方式（如圖5、圖6、圖7）：

圖5

圖6

圖7

通過(guò)展示、交流、比較和概括，學(xué)生逐漸厘清了三個(gè)階段電量“分階”的范圍、對(duì)應(yīng)單價(jià)。如果學(xué)生能將生活素材中所蘊(yùn)藏的本質(zhì)屬性，用自己的理解方式提煉、轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述與刻畫(huà)，從本質(zhì)上看，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷就是學(xué)生在大腦中形成數(shù)學(xué)初步模型的過(guò)程。

三、抽象概括，修正并完善數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程不是對(duì)已有知識(shí)的直接轉(zhuǎn)移和套用。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行分析，對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整。建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不斷進(jìn)階、提升，對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)不斷修正、完善的過(guò)程。

教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生表示出富有個(gè)性的數(shù)學(xué)化圖示（如圖8）后，筆者又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的表征進(jìn)行比較，抽象概括出不同形式表征蘊(yùn)藏的共同本質(zhì)特征，嘗試用更加簡(jiǎn)明的方法表示問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系。針對(duì)部分學(xué)生提出的“電費(fèi)＝總電量×對(duì)應(yīng)單價(jià)”的計(jì)算方法，有的學(xué)生提出了電費(fèi)的計(jì)價(jià)方式是逐級(jí)計(jì)價(jià)，電費(fèi)總價(jià)是逐級(jí)遞增的計(jì)價(jià)方式：電費(fèi)＝第一階段電量×第一階段單價(jià)+第二階段電量×第二階段單價(jià)+第三階段電量×第三階段單價(jià)。通過(guò)交流比較，學(xué)生一致認(rèn)為后者的計(jì)算方式相對(duì)于前者，顯得更為人性化，更能促成人們節(jié)約用電意識(shí)的培養(yǎng)，而生活中電費(fèi)計(jì)價(jià)方式恰恰也是這樣的。

圖8

通過(guò)這個(gè)層次的教學(xué)，學(xué)生在觀察、比較、分析中初步抽象出了更為一般的數(shù)量關(guān)系式：總電費(fèi)＝第一階段要付的電費(fèi)+第二階段要付的電費(fèi)+第三階段要付的電費(fèi)，從而提高了初步建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型的能力。

四、應(yīng)用拓展，體驗(yàn)并感悟模型價(jià)值

對(duì)于某一個(gè)數(shù)學(xué)模型，不同水平、不同能力、不同經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生在理解上千差萬(wàn)別，在實(shí)際操作中更是有可能大相徑庭。數(shù)學(xué)模型如果只能夠解決某一個(gè)問(wèn)題，那就失去了其應(yīng)有的價(jià)值。當(dāng)學(xué)生初步形成模型意識(shí)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用這個(gè)“模型”去解決一些新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生聚焦“模型思想”的內(nèi)涵，不斷優(yōu)化、推廣這些“數(shù)學(xué)模型”，那么，建立“模型思想”的意識(shí)就易于在學(xué)生的思維習(xí)慣中“落地”，教師與學(xué)生之間教與學(xué)的效率就會(huì)提高，學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)模型”去解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力才會(huì)不斷得到進(jìn)階。

為了檢測(cè)學(xué)生對(duì)“階梯計(jì)費(fèi)”計(jì)算模型的理解和掌握情況，筆者布置學(xué)生在新知鞏固階段完成了這道題：

戶籍人口在4人及以下的居民住戶，每月第一檔電量0～230度（含），每度電價(jià)格為0.53元；每月第二檔電量230～400度（含），每度電價(jià)格為0.58元；每月第三檔電量大于400度，每度電價(jià)格為0.83元。明明一家上月共用電450度，他家上月共繳納電費(fèi)多少元？

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，同類型、同難度問(wèn)題的正確率從之前的31.8%上升到了現(xiàn)在的92.1%。這一變化在一定程度上說(shuō)明了教學(xué)的效果，凸顯了“階梯計(jì)費(fèi)”模型教學(xué)的價(jià)值和作用。

在此基礎(chǔ)上，筆者還引導(dǎo)學(xué)生試著運(yùn)用解決“階梯電費(fèi)計(jì)價(jià)”的經(jīng)驗(yàn)，來(lái)統(tǒng)整“階梯電費(fèi)”“階梯水費(fèi)”“階梯燃?xì)赓M(fèi)”的本質(zhì)含義，從而抽象出更為一般化的“階梯計(jì)費(fèi)”數(shù)學(xué)計(jì)算模型，讓學(xué)生感受到經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程的意義和價(jià)值。

至此，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師借助對(duì)“階梯計(jì)費(fèi)”計(jì)算方法的探索與實(shí)踐，引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)提出問(wèn)題—初步建立模型—修正完善模型—模型應(yīng)用拓展”的建模過(guò)程，讓學(xué)生逐漸感悟模型思想的本質(zhì)及作用，獲得對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加深刻的理解。

教師要讓學(xué)生在主動(dòng)探究中感悟優(yōu)化意識(shí)，在綜合與實(shí)踐中積累反思經(jīng)驗(yàn)，在模型演繹中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)理性的數(shù)學(xué)品質(zhì)。這些都是學(xué)生帶得走、用得著的終身本領(lǐng)，也是教師要適時(shí)培養(yǎng)的學(xué)科核心素養(yǎng)。