喬桂香

（隴南師范高等?？茖W校 初等教育學院，甘肅成縣 742500）

1 問題的提出

比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法，即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個標準比色卡進行對比，就可以確定待測物質(zhì)的濃度檔位了.如果能夠建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關系模型，人們就只要輸入物質(zhì)濃度顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度.為此，要解決以下3 個問題[1]：

（1）根據(jù)附件Data1.xls 中5 種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)，探討依據(jù)這5 組數(shù)據(jù)能否確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的數(shù)量關系，如何評價這5 組數(shù)據(jù)優(yōu)劣.

（2）根據(jù)附件Data2.xls 中提供的數(shù)據(jù)，通過二氧化硫在不同濃度下的R，G，B，H，S 顏色讀數(shù)建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學模型，并給出模型的誤差分析.

（3）運用（1）和（2）建立的數(shù)學模型，探討顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學模型，評價顏色數(shù)據(jù)量和顏色維度之間的關系.

對于上述問題，已有不少研究者運用不同的方法建立了數(shù)學模型予以解決.韋碧鵬等[2]運用多元線性回歸模型進行了研究；田茹會[3]、景亞琴[4]利用Excel軟件，通過多元回歸分析的方法進行分析和建模；年福耿等[5]利用平均相對誤差分析、Pearson 相關性建立了多元非線性回歸模型對問題進行了研究；馮娜[6]運用差平方和、多元線性規(guī)劃的方法進行研究；王慶[7]利用Logistic 變換建立了廣義線性模型進行了研究.本文則運用Excel 軟件對數(shù)據(jù)進行擬合，并運用回歸分析方法，建立與上述研究不同的數(shù)學模型，并解決了問題中的其他問題.

2 模型假設及符號說明

模型假設：不同濃度下采集的多組數(shù)據(jù)可以自由組合為一組濃度數(shù)據(jù)，不受其他條件影響；圖像數(shù)據(jù)為同一條件下采集，除拍攝條件外不受其他條件影響；溶液是穩(wěn)定的，模型中不考慮各種化學反應因素的影響；符號說明：R，G，B，H，S 是五種顏色代碼，r2是相關系數(shù).

3 模型的建立與求解

3.1 顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的數(shù)量關系

3.1.1 五種物質(zhì)的顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)分析

根據(jù)文獻[1]附件Data1.xls 中給出的數(shù)據(jù)，利用Excel 軟件對數(shù)據(jù)進行處理，并對數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得出5 種物質(zhì)濃度與R，G，B，H，S 之間的關系.

（1）溶液1：組胺

數(shù)據(jù)分析：圖1 表示了組胺兩組濃度與R，G，B顏色值的擬合曲線，其中紅色值R 的兩組曲線（R1，R2）高度重合.說明，不同顏色組對物質(zhì)濃度顏色值的影響不大，所以選取一組數(shù)據(jù)進行分析.選取數(shù)據(jù)R2、G2、B2、H2、S2 做離散點圖（圖2），分別擬合出下列函數(shù)：

圖1 組胺濃度R，G，B 圖

圖2 組胺濃度H,S 圖

結論：對于組胺溶液來說，不同濃度對顏色的影響很大，每種顏色值都可以擬合出一個擬合度很高的一元一次或一元三次函數(shù)，說明該種物質(zhì)適合比色法檢測.

（2）溶液2：溴酸鉀

數(shù)據(jù)分析：圖3 表示溴酸鉀兩組濃度與R，G，B顏色值的擬合曲線，從紅色值R 兩組曲線（R1，R2）來看，兩組曲線高度重合，說明不同顏色組對濃度顏色值影響不大，選取一組進行分析.

圖3 溴酸鉀濃度R，G，B 圖

選取R2、G2、B2、H1、S1 做離散點圖（圖4），分別擬合出下列函數(shù)：

圖4 溴酸鉀H,S 圖

結論：對于溴酸鉀溶液，不同的濃度對顏色的影響很大，每種顏色值都可以擬合出一個擬合度很高的一元三次或四次函數(shù)，說明該種物質(zhì)適合比色法檢測.

（3）溶液3：工業(yè)堿

數(shù)據(jù)分析：圖5、圖6 表示工業(yè)堿兩組濃度與R，G，B，H，S 顏色值的擬合曲線，從圖形曲線來看，兩組曲線擬合程度比較低，說明不同顏色組對濃度顏色值影響比較大.

圖5 工業(yè)堿R，G，B 濃度

圖6 工業(yè)堿H，S 圖

結論：對于工業(yè)堿溶液，不是任何濃度下都影響顏色變化，只有在高于濃度閾值時濃度才影響顏色值，也就是這種溶液用比色法檢測要有一個最小閾值.

（4）溶液4：硫酸鋁鉀

數(shù)據(jù)分析：圖7、圖8 表示了兩組濃度R，G，B顏色值影響離散點擬合曲線，從兩組曲線（R1，R2）來看，兩組曲線高度重合，說明不同顏色組對濃度顏色值影響不大，所以選取一組進行分析.

圖7 硫酸鋁鉀濃度R、G、B 圖

圖8 硫酸鋁鉀H，S 圖

由圖7、圖8 中的R，G，B，H，S 曲線可以看出，硫酸鋁鉀溶液濃度2 ppm 和5 ppm 情況下在R，G，B，H，S 的值非常相近，幾乎相同：2 ppm（156，106，34，102，199），5ppm（155，107，34，101，198）.但是2 ppm以前曲線變化趨向明顯，利用曲線可以擬合出一個擬合函數(shù).

由此說明，硫酸鋁鉀溶液在高于一定濃度時，濃度對顏色影響不明顯，即在高于一定濃度時，無法用比色法檢測，也就是這種溶液用比色法檢測要有一個最大閾值.

結論：對于硫酸鋁鉀溶液，不是任何濃度下濃度都影響顏色的變化，只有在低于濃度閾值時濃度才影響顏色值，也就是這種溶液利用比色法檢測有一個最大閾值[8].

（5）溶液5：奶中尿素

數(shù)據(jù)分析：圖9、圖10 表示了三組濃度下R，G，B，H，S 顏色值影響離散點擬合曲線，從整體來看R，G，B 顏色曲線走向趨勢較為平緩，不同濃度下R，G，B 顏色值接近（以圖11 中R 顏色值為例），說明奶中尿素不同濃度對R，G，B 顏色影響不大，也就是靈敏度不高.

圖9 奶中尿素H，S 圖

圖10 奶中尿素R，G，B 圖

圖11 二氧化硫濃度R，G，B 圖

結論：對于奶中尿素溶液，不同濃度下濃度對顏色值的影響變化不大，也就是靈敏度不高，利用比色法檢測可能有一定的難度.

3.1.2 五種物質(zhì)的顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度關系分析

（1）五種溶液濃度對顏色的影響程度各不相同.

（2）組胺和溴酸鉀溶液濃度對顏色的影響情況基本相近，靈敏度高，每種顏色值離散圖都可以擬合出一個擬合度很高的函數(shù)表達式，適合運用比色法檢測濃度.

（3）工業(yè)堿濃度對顏色的影響有一個最小閾值，大于閾值時比色法才有效.

（4）硫酸鋁鉀濃度對顏色的影響有一個最大閾值，小于閾值時比色法才有效.

（5）奶中尿素濃度對顏色的影響靈敏度不高，不太適合比色法檢測.

3.1.3 比色法檢測物質(zhì)濃度的準則

通過分析得出4 條準則：

（1）不是所有物質(zhì)濃度檢測都適合比色法，有些物質(zhì)濃度對顏色變化影響不大；

（2）有些物質(zhì)適合比色法檢測，效果較為明顯；

（3）有些物質(zhì)濃度對顏色影響有一個最大或最小濃度閾值或同時具有最大和最小閾值；

（4）比色法檢測物質(zhì)濃度對物質(zhì)的濃度和物質(zhì)種類有一定的要求.

3.1.4 數(shù)據(jù)優(yōu)劣性評價

（1）從以上結論得出五種數(shù)據(jù)中組胺和溴酸鉀的數(shù)據(jù)較為準確，數(shù)據(jù)具有較高的規(guī)律性，通過各種離散圖可以擬合出一個擬合度很高的函數(shù)表達式.

（2）工業(yè)堿和硫酸鋁鉀的數(shù)據(jù)較為準確，在閾值范圍內(nèi)通過各種離散圖可以擬合出一個擬合度很高的函數(shù)表達式.

（3）奶中尿素的數(shù)據(jù)對比色法來說準確度不高.

3.2 二氧化硫溶液濃度的顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學模型

3.2.1 二氧化硫溶液濃度比色法檢測屬性分析

根據(jù)文獻[1]附件Data2.xls 中給出的數(shù)據(jù)，利用Excel 軟件對數(shù)據(jù)進行處理，并對數(shù)據(jù)進行曲線擬合，得出二氧化硫濃度與R，G，B，H，S 曲線之間的關系（圖11、圖12）.

數(shù)據(jù)分析：由圖11、圖12 可知，二氧化硫的濃度變化與R，G，B，H，S 顏色值具有高度的吻合性，因此二氧化硫的濃度適合用比色法檢測.

圖12 二氧化硫濃度H，S 圖

3.2.2 二氧化硫濃度與R，G，B，H，S 顏色值關系的數(shù)學模型

根據(jù)文獻[1]附件Data2.xls 中給出的數(shù)據(jù),利用Excel 軟件對數(shù)據(jù)進行處理，分別做出二氧化硫的濃度與R，G，B，H，S 顏色值關系的散點圖（圖13-17）.

圖13 R-濃度圖

圖14 G-濃度圖

圖15 B-濃度圖

圖16 H-濃度圖

依據(jù)圖13-17 數(shù)據(jù)擬合曲線，得出二氧化硫濃度對R，G，B，H，S 顏色值影響的函數(shù)表達式：（為便于理解，圖中的y，x 均替換為下列各式中的p 和r，g，b，h，s）

R 值與濃度的擬合函數(shù)為

圖17 S-濃度圖

3.2.3 二氧化硫濃度與R，G，B，H，S 顏色值關系數(shù)學模型的誤差分析

表1 為上述函數(shù)式（1）（2）（3）（4）（5）與附件Data2.xls 中實際數(shù)據(jù)的相對誤差.從表1 得知，相對誤差在0.06 以下.

表1 二氧化硫濃度與R、G、B、H、S 顏色值關系模型的誤差

3.3 顏色數(shù)據(jù)量和顏色維度之間的關系評價

根據(jù)問題（1）和（2）的圖表分析可知：

（1）數(shù)據(jù)量越大則建立的數(shù)學模型越接近真實值.數(shù)據(jù)量大，函數(shù)曲線與數(shù)據(jù)離散圖的吻合性越高，相對誤差較小，否則相反.

（2）顏色維度對模型影響極大，因為顏色維度之間具有關聯(lián)性，單個顏色維度無法確定溶液濃度，也無法建立模型.

4 結束語

為了研究顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的數(shù)量關系，運用Excel 數(shù)據(jù)處理軟件，對問題中給出的5 種不同物質(zhì)顏色讀數(shù)和濃度之間的關系進行數(shù)據(jù)擬合和回歸分析，得出了5 種物質(zhì)運用比色法檢測濃度的適宜性和使用的條件.同樣地，運用數(shù)據(jù)擬合的方法建立了二氧化硫在不同濃度下的R，G，B，H，S顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的一元多項式數(shù)學模型.研究從多角度對問題進行分析，給出分析結果，準確性高；運用數(shù)學軟件Excel 對數(shù)據(jù)進行分析和處理，操作簡便，適用性強.該模型建立的方法具有較大的普遍性，便于應用到類似實際問題的解決中.