魯宇明,張祥飛,黎明,趙閔清

(1.南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院,江西 南昌 330063;2.南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院,江西 南昌 330063)

0 引言

機床夾具被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代機械制造業(yè)。夾具定位方案的設(shè)計是夾具設(shè)計的主要環(huán)節(jié)之一,定位方案是否穩(wěn)健[1]直接影響工件加工的質(zhì)量。在夾具定位方案的穩(wěn)健性研究領(lǐng)域,國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究。

在工件定位方案的數(shù)學(xué)建模及優(yōu)化方法方面,Qin等[2]綜合考慮定位元件制造、安裝誤差以及工件定位表面的制造誤差對接觸點的影響,基于運動學(xué)原理建立了工件定位誤差模型;吳玉光等[3]通過加工表面與工序基準、工序基準與定位基準、定位基準與定位元件等構(gòu)建了與工件-夾具系統(tǒng)等價的機構(gòu)學(xué)模型;Corrado等[4]建立了工件表面加工誤差關(guān)于定位元件誤差和工件加工誤差的數(shù)學(xué)模型;Cai等[5]采用非線性規(guī)劃法求解工件穩(wěn)健定位方案;Huang等[6]提出了一種順序空間填充算法來搜索最優(yōu)的定位方案;Wang等[7]使用蟻群算法和遺傳算法優(yōu)化設(shè)計穩(wěn)健性的定位方案;Jiang等[8]基于D-最優(yōu)準則和蒙特卡洛法對蠟?zāi)A具定位方案實現(xiàn)穩(wěn)健設(shè)計。上述優(yōu)化方法,多數(shù)采用加權(quán)的方式評價定位方案的穩(wěn)健性,該方法的局限性在于,以工件在空間中的6個自由度所產(chǎn)生偏移的方差作為加權(quán),這容易忽視工件產(chǎn)生的誤差之間的相互關(guān)系,導(dǎo)致難以直觀地表達誤差之間的共性規(guī)律,而且缺乏對受到性能、幾何區(qū)域和裝配約束方面的考慮。

在約束多目標進化算法方面,Fan等[9]提出了一種基于Push和Pull機制的搜索框架的推拉搜索(PPS)算法;Liu等[10]提出了一種兩階段優(yōu)化過程的兩階段算法(TOP);Li等[11]提出了一種基于協(xié)同進化思想的雙存檔約束多目標進化算法(CTAEA);同樣是基于協(xié)同進化思想,Wang等[12]提出了一種多種群協(xié)同進化算法。上述算法針對約束多目標優(yōu)化問題上提出了一些獨特的求解思路,取得了一定的效果,但在具有強約束、低可行域和不規(guī)則Pareto前沿的問題中,難以有效平衡多樣性和收斂性之間關(guān)系,特別是同時具有目標空間和決策變量約束的優(yōu)化問題,求解效果難以達到期望效果。近期,Zhu等[13]提出了一種基于Detect-and-Escape策略的約束處理輔助機制,取得良好效果,采用額外的輔助約束處理或進化機制對進一步提升求解效果具有重要作用

根據(jù)以上分析,本文提出了一種基于網(wǎng)格約束分解的雙種群約束多目標進化算法(DP-CDG),基于工件位置偏移與定位源誤差之間關(guān)系的定位方案運動學(xué)模型[2],以盤套類零件斷面加工孔為例,優(yōu)化設(shè)計穩(wěn)健性的定位方案,并直觀地揭示了工件在不同方向上偏移方差的相互關(guān)系,為設(shè)計更穩(wěn)健的定位方案提供了參考。

1 夾具定位方案及穩(wěn)健性

1.1 定位方案的數(shù)學(xué)模型

夾具定位方案示意圖如圖1所示,定位方案由k個定位元件組成。

圖1 夾具定位方案Fig.1 Fixture locating scheme

圖1中,Owxwywzw表示工件坐標系,Ogxgygzg表示全局坐標系,Ol xl yl zl表示接觸點定位坐標系。圖1中,rw表示全局坐標系到工件坐標系的映射,rw,ce表示工件坐標系到接觸點的映射,rw,le表示工件坐標系到定位點的映射,rle表示全局坐標系到定位點的映射,rce表示全局坐標系到定位點的映射,rte表示全局坐標系到對刀點的映射,rfe表示全局坐標系到第e個定位件坐標系的映射,rf,ce表示第e個定位件坐標系到接觸點的映射,rtle表示對刀點到定位點的映射,nw,ce為第e個接觸點處單位法向量。

定位方案的數(shù)學(xué)模型[2]如(1)式所示:

式中:δqw為工件實際定位位置與理論正確位置的偏差,

δxw、δyw、δzw、δαw、δβw、δγw分別為工件6個自由度方向上的偏差;N為接觸點單位法向量矩陣,N=diag(nw,1,nw,2,…,nw,e,…,nw,k),nw,e為第e個接觸點的單位法向量,1≤e≤k,nw,e=[nw,ex,nw,ey,nw,ez]T,nw,ex、nw,ey、nw,ez分別表示第e個接觸點單位法向量在工件坐標系x軸、y軸、z軸上的分量;δrlt為對刀點相對于定位點的位置偏移量,

δrTlte表示第e個對刀點相對于定位點位置偏移量;I為6×6階單位矩陣;λ為任意常數(shù)向量,一般不考慮工件在自由方向上的位置偏差,取λ=0;J為定位雅可比矩陣,J+為J的Moore-Penrose逆,且有J=

xw,ce、yw,ce、zw,ce分別表示第e個接觸點在工件坐標系中x軸、y軸、z軸上的坐標值。

1.2 定位方案的穩(wěn)健設(shè)計模型

定位元件的制造誤差、各定位元件之間的安裝誤差和工件的制造誤差都會導(dǎo)致工件位置偏移。其中,定位元件為可控因素,包括定位元件的尺寸、各定位元件的安裝位置及其偏差,而工件為不可控因素。正常制造過程中,工件位置偏移量服從正態(tài)分布概率模型,結(jié)合具有望目特性的質(zhì)量損失函數(shù),夾具定位方案優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型[14]如下:

式中:G(δrlt)≤0和H(δrlt)≤0分別表示幾何約束和性能約束,包括定位元件的設(shè)置區(qū)域、合適的裝配及工件位置偏移控制在設(shè)定精度范圍內(nèi)的約束條件。

2 約束多目標優(yōu)化算法

2.1 約束多目標優(yōu)化問題的定義

不失一般性,一個約束多目標優(yōu)化問題表達如下:

式中:F(x)為由m個實值目標函數(shù)組成的目標空間,x為一個D維決策變量;gi(x)、hj(x)分別為第i個不等式約束和第j個不等式約束;p和q分別表示不等式和等式約束的數(shù)量;Ω表示決策空間。

通常情況下,把等式約束轉(zhuǎn)化成不等式約束:

式中:μ為等式約束的容忍參數(shù),一般設(shè)定為0.000 1。

決策變量x的約束違反程度表示為

式中:G(x)表示決策變量x的約束違反程度;max(0,gi(x))表示決策變量x在第i個不等式的約束違反程度,max(0,|hj(x)|-μ)表示決策變量x在第j個等式的約束違反程度。

2.2 DP-CDG原理

由于存在約束優(yōu)化目標和約束決策變量的條件,會造成可行域占比極低或離散,并且Pareto前沿會變得不規(guī)則。本文提出的DP-CDG融合了基于網(wǎng)格約束分解的多目標進化算法(CDG-MOEA)[15]和雙種群優(yōu)化算法[16-17]的優(yōu)勢。CDG-MOEA的機制能夠提升DP-CDG的多樣性管理能力,保證算法能有效兼顧收斂性和多樣性;雙種群優(yōu)化算法能夠優(yōu)化不同對象,實現(xiàn)對收斂性和多樣性任務(wù)的分配,并進一步結(jié)合信息分享機制兼顧不同種群所分配任務(wù),解決低可行域、強約束和不規(guī)則Pareto前沿的問題。DP-CDG流程如圖2所示。

該算法主要分為2個階段:第1階段為基于穩(wěn)態(tài)演化的可行解搜索階段,該階段旨在搜索決策空間的可行解,并為啟動雙種群優(yōu)化模式做前期準備;第2階段為雙種群進化階段,該階段由多種優(yōu)化方法組成,不同種群分別負責(zé)算法收斂性和多樣性的任務(wù)。

DP-CDG算法主框架如下:

2.2.1 基于穩(wěn)態(tài)演化的可行解搜索階段

目標函數(shù)和決策變量的約束條件共同限制下,會造成多目標優(yōu)化問題在決策空間中的可行域占比極低且離散,進而導(dǎo)致在求解該問題過程中難以搜索到可行解。Wang等[18]在求解約束單目標問題中采用一種穩(wěn)態(tài)演化的進化方式,能夠求解可行域極小的問題并獲得良好的效果。本文借鑒該思想,設(shè)計了一種新的穩(wěn)態(tài)演化機制,該搜索階段的偽代碼如下:

首先將種群隨機地分成指定數(shù)量的相同大小的子種群,然后子種群基于約束支配準則演化,演化過程中變異和突變算子如(9)式和(10)式:

式中:vi為第i個變異向量,vi=[vi,1,vi,2,…,vi,D]T,r1、r2和r3為[1,N]中3個隨機選擇的不同整數(shù),N為種群規(guī)模;變異因子F為0～1之間的隨機數(shù);ui,j為第i個突變向量ui=[ui,1,ui,2,…,ui,D]T中的一個元素;突變因子CR為0.90～0.95之間的隨機數(shù);rj為第j個0～1之間的隨機數(shù);jr為[1,D]之間的隨機整數(shù)。

2.2.2 雙種群進化階段

雙種群進化階段由多種優(yōu)化方法共同完成。經(jīng)過第1階段的可行解搜索后,根據(jù)設(shè)定的子種群規(guī)模及個體的可行性將種群P分為子種群P1和子種群P2,對這兩個子種群分別采用不同演化方式,具體演化方式的偽代碼如下:

在求解不規(guī)則Pareto 前沿的無約束多目標問題上,CDG-MOEA具有良好的適應(yīng)性,并能較好地保持種群的多樣性。鑒于該算法的優(yōu)點,本文將該算法運用于優(yōu)化可行解子種群P1,以保障可行解集的多樣性,演化子種群P2獲得推動整個種群進化的理想個體,子種群P2的演化通過加權(quán)方式將約束多目標問題轉(zhuǎn)化為約束單目標問題。具體轉(zhuǎn)化方式如(11)式所示:

將約束多目標問題轉(zhuǎn)化成約束單目標問題后,為提高子種群P2演化效率,將子種群P1中有價值的個體信息進行分享,即引入子種群P1中的非支配個體參與演化,實現(xiàn)兩個子種群進化的合作,進而兼顧算法對收斂性和多樣性。由于引入了子種群P1的優(yōu)秀個體參與子種群P2的演化,對子種群P2的演化不采用突變算子[19],采用只具有變異算子的如下算子:

式中:F1為0～1之間的隨機數(shù);F2為0.9～1.0之間的隨機數(shù);x n為種群P1非支配個體中的隨機選擇個體;x r1和x r2分別為子種群P2中與x i不同的個體。

2.3 實驗結(jié)果與分析

為驗證DP-CDG的性能,選用Liu等[10]等提出的約束多目標問題(DOC)作為測試函數(shù)進行驗證分析,對比算法有基于約束支配準則的非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ-CDP)[20]、PPS[9]、TOP-NSGA-Ⅱ-CDP[10]、C-TAEA[11]。DP-CDG的參數(shù)設(shè)置如下:λ=15,求解二維和三維目標參數(shù)分別為N1=300,N2=150和N1=600,N2=300;所有算法終止條件為二維和三維目標的函數(shù)評估次數(shù)分別為300 000和600 000;算法獨立運行30次。

本文實驗中選取反向迭代距離(IGD)作為評價指標,比較了DP-CDG與TOP-NSGA-Ⅱ-CDP、PPS算法和C-TAEA在DOC問題上的IGD指標平均值和標準差,IGD指標對比如表1所示。由表1可知,DP-CDG在所有問題上都優(yōu)于上述算法,表明本文提出的DP-CDG能夠有效地處理約束多目標優(yōu)化問題。

表1 IGD指標對比結(jié)果Tab.1 Comparison results of IGD indicators

3 實例驗證

圖3所示為直徑d=40 mm的盤套類零件端面加工孔的雙圓柱定位方案[14]。圖3中B、D1、D2分別為定位元件的位置和尺寸?，F(xiàn)需要確定D1、D2和B及其公差,使得該定位方案的定位精度具有穩(wěn)健性。

圖3 雙圓柱定位方案Fig.3 Fixture locating scheme for cylindrical workpiece

假設(shè)全局坐標系Ogxgygzg與工件坐標系Owxwywzw重合,Pc1和Pc2為接觸點,Pt1和Pt2為調(diào)刀點,定位點Pl1和Pl2均與O點重合。通過(5)式建立數(shù)學(xué)模型如(13)式所示:

(13)式是一個多目標優(yōu)化問題,Var(δqw)主要由Var(δxw)和Var(δyw)構(gòu)成,因此優(yōu)化對象為

為檢驗DP-CDG的實用性,本文選用經(jīng)典NSGA-Ⅱ-CDP、TOP-NSGA-Ⅱ-CDP和PPS算法進行對比實驗,每個算法分別進行30次仿真。由于實際問題無法獲取真實的Pareto前沿,本文實驗選用超體積(HV)指標作為評價指標,其中參考點選用DPCDG多次實驗獲取的最大極值點的1.1倍,DPCDG參數(shù)設(shè)置詳見2.3節(jié)。為保證對比算法可以達到最佳優(yōu)化效果,NSGA-Ⅱ-CDP、TOP-NSGA-Ⅱ-CDP和PPS算法參數(shù)按原文設(shè)置,所有算法終止條件設(shè)定為函數(shù)評價次數(shù)300 000。通過圖4的箱型圖可以清晰地看出,本文提出的DP-CDG算法取得了最優(yōu)結(jié)果,在求解實際問題中具有更好的實用性。

圖4 HV值的箱型圖對比Fig.4 Box plots of HV obtained by different algorithms

DP-CDG求解結(jié)果如圖5所示。通過對圖5中Pareto近似解集的分析可知,工件在x軸和y軸的偏移方差呈現(xiàn)對立關(guān)系,即一方增加則另一方減小,且y軸偏移方差在數(shù)量級上明顯大于x軸,因此定位方案的穩(wěn)健性受y軸方向的影響顯然大于x軸方向,根據(jù)工件最穩(wěn)健的設(shè)計原則和以上分析可知,圖5中的方形點應(yīng)為夾具定位方案中最穩(wěn)健的一個,其穩(wěn)健設(shè)計結(jié)果如表2所示,與傳統(tǒng)設(shè)計方法(圖5中的菱形點)和加權(quán)設(shè)計方法(圖5中的星形點)相比,定位方案令Var(δxw)分別增加1.570 7×10-6和5.276 9×10-6,Var(δyw)分別減少6.560 4×10-5和4.865 5×10-5。由此可見,本文定位方案使得Var(δxw)上的增加量遠遠小于Var(δyw)上的減少量,因此可以認定該方案整體上優(yōu)于其他定位方案。

表2 設(shè)計結(jié)果對比Tab.2 Comparison of design results

圖5 設(shè)計結(jié)果與Pareto近似解集對比Fig.5 Comparison of design results with Pareto's approximate solution set

傳統(tǒng)設(shè)計方式基于設(shè)計人員自身經(jīng)驗設(shè)計且缺乏理論數(shù)據(jù)的支持,一般難以設(shè)計出Pareto近似解集中的定位方案。采用加權(quán)優(yōu)化設(shè)計方法,雖然可以獲取Pareto近似解集中某一個的定位方案,但是由于該方法未能揭示工件在不同方向上誤差之間的相互關(guān)系,無法確定所求解的定位方案是否為最優(yōu)解。

在雙圓柱定位方案中影響其穩(wěn)健性的因素主要包括定位元件尺寸D1、D2和位置B等,為研究D1、D2和B對定位方案的影響程度,對這些參數(shù)進行敏感性分析。由于雙圓柱定位方案的特殊性,實際設(shè)計時D1、D2都相等,因此認定D1、D2對定位方案的穩(wěn)健性影響程度是等同的。在滿足性能、幾何和裝配約束條件下,選取D1、D2分別為10 mm、10 mm、15 mm、15 mm和20 mm、20 mm,B分別為30 mm、35 mm和40 mm,實驗結(jié)果如表3所示。

由表3中的數(shù)據(jù)可看出,工件無論是以x軸方向還是y軸方向的波動量為指標,定位元件位置參數(shù)B對夾具定位方案穩(wěn)健性的影響都大于定位元件尺寸D1、D2。

表3 設(shè)計變量敏感性分析Tab.3 Sensitivity analysis of design variables

4 結(jié)論

本文以網(wǎng)格約束分解的方法為基礎(chǔ),提出了一種雙種群優(yōu)化約束多目標算法,并成功地運用于夾具定位方案的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。通過測試函數(shù)和工程實例驗證,得到如下結(jié)論:

1)當約束目標空間和決策變量同時存在約束條件時,與其他算法相比,本文算法能夠較好地處理求解約束多目標優(yōu)化問題中面對的多樣性、可行域和收斂性方面的困難。

2)相比于其他方法,本文算法能夠在具有性能、幾何和裝配等方面約束情況下,直觀地揭示工件在不同方向上偏移方差的相互關(guān)系,為設(shè)計更穩(wěn)健的定位方案提供數(shù)據(jù)上的參考,滿足實際工程運用的需求。