陳元千，徐 良，2

（1.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京 100083）

對(duì)于包括頁(yè)巖氣的油氣井和油氣藏，當(dāng)產(chǎn)量進(jìn)入遞減階段后，產(chǎn)量遞減法是評(píng)價(jià)油氣井產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量的主要方法。ARPS 于1945年基于對(duì)油井產(chǎn)量遞減曲線數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)、分析，首創(chuàng)地提出了遞減率概念及其微分表達(dá)式［1-2］。在此基礎(chǔ)上，對(duì)于遞減率為常數(shù)和非常數(shù)的兩種情況，分別建立了指數(shù)遞減模型和雙曲線遞減模型與調(diào)和遞減模型的雛形。1956年ARPS 對(duì)三種遞減模型又進(jìn)行了整理歸納和研究［2］。然而，應(yīng)當(dāng)指出，遞減率為常數(shù)的指數(shù)遞減模型，由于具有簡(jiǎn)單易行的特點(diǎn)，在國(guó)際上得到油氣開采公司和評(píng)估公司的青睞。而雙曲線遞減模型和由它簡(jiǎn)化得到的調(diào)和遞減模型，在實(shí)際中應(yīng)用得很少。為此，筆者對(duì)Arps 雙曲線遞減模型進(jìn)行了回顧性推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用得很少與該模型存在的多解性和不確定性有關(guān)，與陳元千泛指數(shù)遞減模型（GEDM）［3］的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行對(duì)比，得到了n=0.5 的雙曲線遞減模型是最佳模型。

1 Arps 雙曲線遞減模型建立的回顧性推導(dǎo)

ARPS 基于對(duì)油井產(chǎn)量遞減曲線的統(tǒng)計(jì)、分析，首次提出的遞減率微分表達(dá)式［1-2］為：

應(yīng)當(dāng)指出，Arps 這一遞減率概念及微分表達(dá)式，已被陳元千等［4-5］成功地應(yīng)用于等溫吸附方程和滲吸驅(qū)油方程的推導(dǎo)。

為了建立雙曲線遞減模型，ARPS 在缺乏理論研究的情況下，直接提出了遞減率與產(chǎn)量的經(jīng)驗(yàn)公式［1-2］，其表達(dá)式為：

ARPS 將n稱為遞減指數(shù)，其理論變化范圍為（0，1）。

將（2）式代入（1）式，分離變量，代入上下限得到的表達(dá)式為：

將（3）式積分并整理后，可得產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系式為：

由（2）式可得初始理論月遞減率的表達(dá)式為：

將（5）式代入（4）式得Arps 雙曲線遞減模型的產(chǎn)量公式為：

由推導(dǎo)可知，Arps 雙曲線遞減模型的建立是依賴于經(jīng)驗(yàn)性的（2）式。因此，它應(yīng)該是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式。

已知累積產(chǎn)量表示為：

將（6）式代入（7）式，經(jīng)分離變量，代入上下限進(jìn)行積分后，可得Arps 雙曲線遞減模型的累積產(chǎn)量為：

再將（6）式代入（8）式，得到Arps 雙曲線遞減模型的累積產(chǎn)量與產(chǎn)量的關(guān)系式為：

當(dāng)q→0時(shí)，由（9）式得Arps雙曲線遞減模型的井控可采儲(chǔ)量為：

由（2）式除以（5）式得：

將（11）式代入（6）式得Arps 雙曲線遞減模型的遞減率為：

應(yīng)當(dāng)指出，由（2）式看出，當(dāng)n=0時(shí)，qn=1，D=k，經(jīng)推導(dǎo)可得Arps指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量公式；當(dāng)n=1時(shí)，由Arps 雙曲線遞減模型，可得Arps 調(diào)和遞減模型的產(chǎn)量和遞減率的公式，但得不到累積產(chǎn)量和井控可采儲(chǔ)量的公式。由此可見，調(diào)和遞減模型不能用于可采儲(chǔ)量的評(píng)價(jià)。BAIHLY 等利用Arps雙曲線遞減模型評(píng)價(jià)美國(guó)Barnett，F(xiàn)ayetteville，Woodfort，Haynesville 和Marcellus 等5 個(gè)頁(yè)巖氣田單井30 a 的累積產(chǎn)量時(shí)，所得到的遞減指數(shù)n均大于1［6-7］。而Arps 雙曲線遞減模型的遞減指數(shù)范圍應(yīng)為（0，1），因此，BAIHLY等評(píng)價(jià)的結(jié)果顯然是不正確的。

將（1）式代入（9）式，并變換可以得到q1-n與Gp的關(guān)系式為：

其中：

通過(guò)（14）式和（15）式，確定qi和Di的表達(dá)式分別為：

2 Arps 雙曲線遞減模型不確定性的揭示

美國(guó)賓州Marcellus 頁(yè)巖氣藏M1 井生產(chǎn)數(shù)據(jù)（表1）中，第1 個(gè)月的產(chǎn)量實(shí)際是投產(chǎn)后第2 個(gè)月的產(chǎn)量。因排液的影響，該氣井開井后第1 個(gè)月的產(chǎn)量偏低，為262×104m3/mon。

表1 M1頁(yè)巖氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)（據(jù)文獻(xiàn)［8］修改）Table1 Production data from M1 shale gas well［8］

根據(jù)表1，利用（13）式求解，得到了Arps雙曲線遞減模型（AHDM）不同n值下的相關(guān)系數(shù)（R2）、初始理論月產(chǎn)量（qi）、初始遞減率（Di）和井控可采儲(chǔ)量（GR）（表2），將相關(guān)系數(shù)（R2）和井控可采儲(chǔ)量（GR）繪于圖1。由圖1可以看出，相關(guān)系數(shù)和井控可采儲(chǔ)量均隨n值的增加而增加，并不存在評(píng)價(jià)井控可采儲(chǔ)量的最佳條件。這充分表明了Arps 雙曲線遞減模型存在多解性和不確定性。

圖1 M1頁(yè)巖氣井利用AHDM評(píng)價(jià)的R2和GR與n的關(guān)系Fig. 1 Plot of R2 and GR with n for M1 shale gas well by AHDM

表2 M1頁(yè)巖氣井利用AHDM評(píng)價(jià)的結(jié)果Table2 Estimated results of M1 shale gas well by AHDM

3 Arps 雙曲線遞減模型的可比性選擇

利用陳元千提出的泛指數(shù)遞減模型（GEDM）［3］用于Arps 雙曲線遞減模型的可比性選擇。陳元千提出的泛指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量為：

井控可采儲(chǔ)量為：

遞減率與時(shí)間的關(guān)系式為：

（18）式—（20）式中的m為泛指數(shù)，其理論范圍為（0，1）。當(dāng)m=1 時(shí)可得Arps 指數(shù)遞減模型的關(guān)系式。為了確定模型中的qi和c值，將（18）式取自然對(duì)數(shù)得：Γ(1/m)和GR值列于表3，并將R2和GR繪于圖2。由

表3 M1頁(yè)巖氣井利用GEDM的評(píng)價(jià)結(jié)果Table3 Estimated results of M1 shale gas well by GEDM

將由（21）式求得的不同m值下的R2，qi，c，圖2 看出，R2與m的關(guān)系曲線存在峰值，對(duì)應(yīng)的峰位m=0.5。該m值對(duì)應(yīng)的井控可采儲(chǔ)量即為欲求的最佳井控可采儲(chǔ)量GR=1.626×108m3。根據(jù)文獻(xiàn)［8］的研究，雙曲線遞減模型的n值，與泛指數(shù)遞減模型的m值，存在n=1-m的關(guān)系。因此，由m=0.5 泛指數(shù)遞減模型，可得雙曲線遞減模型n=0.5 的最佳選擇。由表1 可知，n=0.5 的井控可采儲(chǔ)量GR=1.537 5×108m3，這與m=0.5 泛指數(shù)遞減模型評(píng)價(jià)的井控可采儲(chǔ)量基本相同。

圖2 M1頁(yè)巖氣井利用GEDM評(píng)價(jià)的R2和GR與n的關(guān)系Fig. 2 Plot of estimated R2 and GR with n of M1 shale gas well by GEDM

當(dāng)雙曲線遞減模型和泛指數(shù)遞減模型的指數(shù)均為0.5 時(shí)，M1 頁(yè)巖氣井實(shí)際產(chǎn)量數(shù)據(jù)點(diǎn)與m=0.5泛指數(shù)遞減模型的預(yù)測(cè)理論曲線擬合得較好（圖3）；雙曲線遞減模型預(yù)測(cè)的遞減率曲線變化較小（圖4），而泛指數(shù)遞減模型預(yù)測(cè)的遞減率曲線開始變化較大，5 個(gè)月后遞減率變化趨勢(shì)逐漸變緩，這符合頁(yè)巖氣井產(chǎn)量遞減曲線變化的特征。

圖3 指數(shù)為0.5時(shí)兩類遞減模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量與M1頁(yè)巖氣井實(shí)際產(chǎn)量對(duì)比Fig. 3 Plot of predicting q with t of two decline models（m=0.5 and n=0.5）

圖4 雙曲線和泛指數(shù)遞減模型指數(shù)為0.5時(shí)預(yù)測(cè)的D值Fig. 4 Plot of predicting D with t of two decline models（m=0.5 and n=0.5）

4 結(jié)論

對(duì)于非常規(guī)的頁(yè)巖氣藏，需要通過(guò)鉆水平井，實(shí)施多段壓裂，以降壓解吸方式投入開采。通過(guò)多段壓裂形成的以頁(yè)巖水平氣井為中心的連通體，是一個(gè)定容、封閉、獨(dú)立的開采單元。因此，產(chǎn)量遞減法是評(píng)價(jià)頁(yè)巖氣井產(chǎn)量和井控可采儲(chǔ)量的重要方法。由ARPS 建立的指數(shù)遞減模型、雙曲線遞減模型和調(diào)和遞減模型，可能是世人共同關(guān)注的評(píng)價(jià)方法。然而，Arps 指數(shù)遞減模型，由于遞減率隨時(shí)間為常數(shù)，并不適用于頁(yè)巖氣井產(chǎn)量開始遞減得快，而后逐漸變慢的特點(diǎn)。Arps 雙曲線遞減模型，由于存在明顯的不確定性，難以進(jìn)行可靠的評(píng)價(jià)。由Arps 雙曲線遞減模型，當(dāng)n=1 時(shí)簡(jiǎn)化得到的調(diào)和遞減模型，在實(shí)際中很少應(yīng)用，只有其名，而無(wú)有其實(shí)。通過(guò)對(duì)Arps 雙曲線遞減模型建立的回顧，揭示了該模型存在的經(jīng)驗(yàn)性、多解性和不確定性。同時(shí)，通過(guò)與泛指數(shù)遞減模型的實(shí)際對(duì)比應(yīng)用，得到了n=0.5 雙曲線遞減模型具有較好的評(píng)價(jià)結(jié)果。n=0.5 雙曲線遞減模型和m=0.5 泛指數(shù)遞減模型評(píng)價(jià)的井控可采儲(chǔ)量基本一致。m=0.5 的泛指數(shù)遞減模型的預(yù)測(cè)結(jié)果好于n=0.5的雙曲線遞減模型。n=0.5雙曲線遞減模型預(yù)測(cè)的遞減率曲線自始至終變化較小，并不符合頁(yè)巖氣井產(chǎn)量開始遞減較快而后遞減變慢的特點(diǎn)。而m=0.5 的泛指數(shù)遞減模型，預(yù)測(cè)的遞減率曲線符合頁(yè)巖氣井開始遞減得快，而后變慢的特點(diǎn)。BAIHLY 等利用Arps 雙曲線遞減模型，預(yù)測(cè)美國(guó)Barnett等5個(gè)頁(yè)巖氣田單井30 a的累積產(chǎn)量，由于確定的遞減指數(shù)n都大于1，完全不符合該模型遞減指數(shù)為（0，1）的理論范圍，因此，評(píng)價(jià)結(jié)果是不正確的。

符號(hào)解釋

A和B——Arps雙曲線遞減模型直線的截距和斜率；

c——泛指數(shù)遞減模型的時(shí)間常數(shù)，mon；

D——月遞減率，mon-1；

Di——初始理論月遞減率，即t=0 時(shí)的理論月遞減率，mon-1；

Gp——累積產(chǎn)量，104m3；

GR——井控可采儲(chǔ)量，104m3或108m3；

k——Arps經(jīng)驗(yàn)公式的比例常數(shù)；

m——泛指數(shù)遞減模型的冪指數(shù)，dim；

n——Arps雙曲線遞減模型的遞減指數(shù)，dim；

q——頁(yè)巖氣井月產(chǎn)量，104m3/mon；

qi——初始理論月產(chǎn)量，即t=0 時(shí)的理論月產(chǎn)量，104m3/mon；

R2——相關(guān)系數(shù)，dim2；

t——生產(chǎn)時(shí)間，mon；

α和β——泛指數(shù)遞減模型直線的截距和斜率；

Γ(1/m)——完全伽馬函數(shù)。