張躍明，朱桂龍，紀姝婷

（北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124）

1 引言

RV（rotate vector）減速器具有傳動比范圍大、傳動精度高、承載能力強和使用壽命長等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于工業(yè)機器人手臂關(guān)節(jié)、高精度數(shù)控機床等自動化設(shè)備領(lǐng)域［1］。隨著我國對RV減速器研究的不斷深入，國產(chǎn)RV 減速器性能不斷發(fā)展，但綜合性能尤其是在回差等關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)上與國外尚存差距，所以研究擺線針輪RV 減速器的傳動精度具有十分重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

文獻［2］分析了單一擺線針輪行星減速器的回轉(zhuǎn)精度以及由于加工制造誤差引起的傳動比變化，推導(dǎo)了齒隙、傳動比、扭矩之間的關(guān)系式。1900年，文獻［3］建立了RV 減速器力學(xué)模型，并應(yīng)用了質(zhì)量彈簧的等價模型建立了回傳機構(gòu)的誤差分析數(shù)學(xué)模型，探討了單項加工誤差、裝配誤差和部分誤差綜合作用時對傳動精度的影響。國內(nèi)的一些專家學(xué)者也對RV 減速器的傳動精度進行了一些研究：2001年，文獻［4］根據(jù)擺線輪和針輪的嚙合關(guān)系，建立了嚙合誤差與傳動精度的計算公式，提出了綜合嚙合誤差這一概念來評定傳動誤差。2002年，文獻［5］分析了在一齒差和二齒差的擺線針輪結(jié)構(gòu)中，擺線輪、針輪、柱銷和柱銷孔受動態(tài)載荷狀態(tài)下的變形，推導(dǎo)出受載情況下回轉(zhuǎn)誤差的計算方法和回轉(zhuǎn)角的計算公式。2006年，文獻［6］分析了針輪加工誤差、擺線輪齒距累積誤差、擺線輪偏心誤差和行星輪等構(gòu)件的裝配誤差對輸出轉(zhuǎn)角的影響。2013年，文獻［7］基于作用線增量原理和誤差傳遞矩陣法，得出了系統(tǒng)子機構(gòu)的原始誤差對輸出轉(zhuǎn)角誤差的影響。2016年，文獻［8］分析了RV 減速器靜態(tài)回差的影響因素，推導(dǎo)出了包括針輪中心圓半徑的等15項誤差的分配模型，建立了ADAMS 仿真模型驗證了模型的正確性。然而，上述文件對RV 減速器的傳動特點和誤差傳遞過程的研究存在不足。

這里將在系統(tǒng)分析RV減速器的結(jié)構(gòu)和傳動特點的基礎(chǔ)上，利用作用線增量法推導(dǎo)了漸開線行星齒輪傳動機構(gòu)、平行四邊形輸入機構(gòu)、擺線針輪傳動機構(gòu)和輸出機構(gòu)的誤差傳遞過程，建立了機構(gòu)的傳動誤差數(shù)學(xué)模型，為RV減速器的設(shè)計和分析提供理論依據(jù)。

2 減速器的結(jié)構(gòu)組成及原理簡介

RV減速器由漸開線行星傳動機構(gòu)和擺線針輪行星傳動機構(gòu)兩級減速機構(gòu)組成，下面分別對這兩級機構(gòu)進行原理分析。

RV減速器連接外部動力，動力經(jīng)過輸入軸通過太陽輪1傳遞給行星輪2，完成第一級減速；由于行星輪2 和曲柄軸3 固連，所以第一級減速的輸出是第二級減速的輸入，將行星輪2 的旋轉(zhuǎn)運動通過曲柄軸3 傳遞給擺線輪4，使擺線輪4 做偏心運動；由于擺線針輪的獨特構(gòu)造，同時受到與其嚙合的針齒的限制，隨著曲柄軸3 的旋轉(zhuǎn)，擺線輪4 將會產(chǎn)生繞針齒殼5 軸線旋轉(zhuǎn)的公轉(zhuǎn)運動和繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的自轉(zhuǎn)運動。擺線輪4 的自轉(zhuǎn)運動通過輸出機構(gòu)6 以1：1 的比例輸出，完成二級減速，作為最終的運動輸出。RV 減速器的傳動機構(gòu)包括漸開線齒輪傳動機構(gòu)、平行四邊形輸入機構(gòu)、擺線針輪傳動機構(gòu)和輸出機構(gòu)。機構(gòu)運動簡圖，如圖1所示。

圖1 機構(gòu)運動簡圖Fig.1 Kinematic Diagram of Mechanism

3 誤差分析模型

以一種簡單機構(gòu)為例說明誤差分析模型的基本原理，構(gòu)件1是主動件，構(gòu)件3是從動件，如圖2所示。n1是構(gòu)件3的作用力方向；n2為從動件上參考點瞬時運動軌跡的切線方向，n1、n2均為單位矢量。

圖2 簡單機構(gòu)的誤差分析模型Fig.2 Error Analysis Model of Simple Mechanism

設(shè)任一構(gòu)件的原始誤差矢量為δi，由誤差傳遞的原理可知，將原始誤差矢量δi投影到作用線n1上得到作用誤差分量，然后將作用誤差分量投影到運動線n2上得到折合誤差分量［9-10］。在ORXRYRZR的固定坐標(biāo)系中，可建立任意構(gòu)件原始誤差引起的從動件位置誤差的表達式為：

式中：n1?δi—原始誤差在作用線上的折算量；σi—原始誤差在運動線上的折算量。

3.1 系統(tǒng)坐標(biāo)系的建立

對RV減速器建立系統(tǒng)坐標(biāo)系，如圖3所示。以RV減速器的擺線輪的公轉(zhuǎn)中心即針輪中心圓的中心為坐標(biāo)原點o0建立系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系o0x0y0；oi為構(gòu)件i的回轉(zhuǎn)中心，以此回轉(zhuǎn)中心為原點建立構(gòu)件i的局部坐標(biāo)系oixiyi。xi和x0的初始位置是相同的，θi是各構(gòu)件的自轉(zhuǎn)角度，逆時針方向為正；φ為偏心軸的初始偏心角度。各構(gòu)件i的坐標(biāo)系oixiyi到固定坐標(biāo)系o0x0y0的坐標(biāo)變換矩陣可以用C0i表示。

圖3 系統(tǒng)坐標(biāo)系Fig.3 System Coordinate System

3.2 各子機構(gòu)誤差分析模型的建立

由于RV減速器的傳動機構(gòu)主要由上述四個子機構(gòu)組成，所以下面主要對這四種機構(gòu)進行誤差建模，分析原始誤差對機構(gòu)輸出轉(zhuǎn)角的影響。

3.2.1 漸開線齒輪傳動機構(gòu)誤差分析

當(dāng)中心輪在某一時刻轉(zhuǎn)過角度為θ1時，漸開線齒輪機構(gòu)的各構(gòu)件的相對位置，如圖4所示。以兩齒輪的嚙合點為參考點，在固定坐標(biāo)系o0x0y0中，參考點的作用線方向即嚙合齒廓在參考點的公法線方向，用n11表示，參考點的運動線方向即兩齒輪節(jié)圓在參考點的公切線方向，用n12表示。

圖4 漸開線齒輪傳動機構(gòu)Fig.4 Involute Gear Transmission Mechanism

由圖4的幾何關(guān)系可知：

根據(jù)作用線增量原理，漸開線齒輪傳動機構(gòu)的行星輪轉(zhuǎn)動誤差可表示為：

式中：C0i—動坐標(biāo)系oixiyi到固定坐標(biāo)系o0x0y0的坐標(biāo)變換矩陣；ii2—構(gòu)件i對行星輪自傳的傳動比；r2—行星輪的分度圓半徑；r2cosα—行星輪的回轉(zhuǎn)中心到作用線的垂直距離即機構(gòu)瞬時臂；α—作用線和運動線的夾角即壓力角。

3.2.2 平行四邊形輸入機構(gòu)誤差分析

根據(jù)圖3可知，由于行星輪和曲柄軸固連在一起，所以行星輪的旋轉(zhuǎn)運動會傳遞給曲柄軸，當(dāng)曲柄軸轉(zhuǎn)過的角度為θ3時，各構(gòu)件的相對位置，如圖5所示。對機構(gòu)受力分析可知，機構(gòu)的作用線方向和曲柄軸偏心方向垂直，用n12表示。擺線輪公轉(zhuǎn)的運動線方向和作用線一致，用n22表示。

圖5 平行四邊形輸入機構(gòu)Fig.5 Parallelogram Input Mechanism

由圖5的幾何關(guān)系可知，n12和n22在固定坐標(biāo)系o0x0y0中的表達式為：

則平行四邊形輸入機構(gòu)中的擺線輪公轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角誤差為：

式中：a—曲柄軸的偏心量。

3.2.3 擺線針輪傳動機構(gòu)誤差分析

此機構(gòu)中的兩個曲柄機構(gòu)可以用位于針齒中心圓中心的虛擬曲柄軸等效，偏心量和曲柄軸的偏心量一致，其大小為a。建立相對應(yīng)的擺線針輪機構(gòu)簡圖，如圖6所示。

圖6 擺線針輪傳動機構(gòu)Fig.6 Cycloidal Pin Wheel Drive Mechanism

當(dāng)曲柄軸轉(zhuǎn)過的角度為θ3時，機構(gòu)各構(gòu)件的相對位置如圖所示，任意時刻以針輪和擺線輪的一個嚙合點進行分析，選取嚙合點作為參考點。參考點處針輪對擺線輪的作用線方向為擺線輪齒廓的法線方向，用n13表示。參考點處的擺線輪的運動線方向為垂直于參考點處的擺線輪矢徑方向，用n23表示。

在固定坐標(biāo)系o0x0y0中，n13和n23的表達式為：

式中：r—固定坐標(biāo)系中推導(dǎo)的擺線輪齒廓矢徑所以在固定坐標(biāo)系o0x0y0下擺線輪的轉(zhuǎn)角誤差

3.2.4 輸出機構(gòu)誤差分析

輸出機構(gòu)和平行四邊形輸入機構(gòu)類似，運動簡圖，如圖7所示。

圖7 輸出機構(gòu)Fig.7 Output Mechanism

輸出盤受切向力作用，所以作用線n14和運動線n24的方向一致。在固定坐標(biāo)系o0x0y0中，n14和n24的表達式為：

所以可以得到該子機構(gòu)中的輸出盤的轉(zhuǎn)角誤差為：

式中：r6—出盤中心到曲柄軸孔中心的距離。

3.3 系統(tǒng)傳動誤差分析模型的建立

通過對RV 減速器的四個子機構(gòu)的誤差傳遞過程進行分析和建模，結(jié)合系統(tǒng)整體的運動關(guān)系，可以得出第J個子機構(gòu)的輸出轉(zhuǎn)角誤差是第J+1個子機構(gòu)的輸入轉(zhuǎn)角誤差，然后以此類推最終可以求得系統(tǒng)整體的輸出轉(zhuǎn)角誤差。

由于漸開線行星齒輪傳動機構(gòu)和平行四邊形輸入機構(gòu)的傳動誤差需要經(jīng)過第二級減速才能傳遞給輸出機構(gòu)，所以這兩個子機構(gòu)的傳動誤差其實是被縮小的，而擺線針輪傳動機構(gòu)和輸出機構(gòu)由于直接和輸出盤連接，所以其傳動誤差會以1：1的比例傳遞給輸出盤。

根據(jù)上述原理，可以得出系統(tǒng)總體傳動誤差為：

由于輸出盤和行星架固連，所以輸出盤的運動會通過行星架進而反饋到漸開線齒輪，使行星齒輪產(chǎn)生位置反饋誤差δf，在動坐標(biāo)系o6x6y6中，反饋誤差的表達式為：

式中：r1—中心輪分度圓半徑；

r2—行星輪分度圓半徑。

將δf帶入到式（3）中可得由反饋誤差得到的行星輪自轉(zhuǎn)誤差為：

在考慮輸出反饋誤差的情況下，RV 減速器總的輸出轉(zhuǎn)角誤差為：

4 樣機數(shù)值模擬和實驗研究

4.1 樣機數(shù)值分析

以國產(chǎn)減速器RV-40E為例，分析各構(gòu)件的原始誤差對輸出轉(zhuǎn)角誤差的影響，來驗證此誤差模型的正確性。

表1 RV40E樣機基本參數(shù)表Tab.1 Basic Parameters of Prototype of RV40E

分別在RV 減速器的四個子機構(gòu)中各選輪傳動機構(gòu)中選取中心距誤差δ11為研究對象，在平行四邊形輸入機構(gòu)中選取曲柄軸偏心誤差δ21為研究對象，在擺線針輪傳動機構(gòu)中選取擺線輪齒廓誤差δ31為研究對象，在輸出機構(gòu)中選取輸出盤軸孔的偏心誤差δ41為研究對象。各誤差均取0.005mm，則各誤差在固定坐標(biāo)系中的表達式，如表2所示。

表2 原始誤差矢量Tab.2 Original Error Vector

將各項誤差分別帶入到誤差模型當(dāng)中，可得各原始誤差對輸出機構(gòu)轉(zhuǎn)角的影響規(guī)律，如圖8 所示。對機構(gòu)輸出轉(zhuǎn)角影響最大的是輸出盤軸孔的偏心誤差，此誤差完全作用到輸出機構(gòu)上；擺線輪齒廓誤差次之，此誤差對輸出的影響呈現(xiàn)三角函數(shù)曲線；曲柄軸的偏心誤差會使平行四邊形四桿輸入機構(gòu)的長度和角度都發(fā)生變化，進而會改變擺線輪和曲柄軸的受力，導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生沖擊和振動現(xiàn)象；而漸開線齒輪機構(gòu)的中心距誤差對輸出誤差的影響最小。

圖8 各原始誤差對輸出轉(zhuǎn)角的影響系數(shù)Fig.8 Influence Coefficient of Each Original Error on Output Angle

由輸出盤運動引起的機構(gòu)反饋誤差由于要經(jīng)過減速機構(gòu)的逐級衰減，最終對輸出轉(zhuǎn)角的影響較小，但對傳動精度要求較高的場合，反饋誤差仍不能忽略，反饋誤差對傳動精度的影響，如圖9所示。

圖9 反饋誤差對輸出轉(zhuǎn)角的影響Fig.9 The Influence of Feedback Error on Output Angle

4.2 誤差實驗

為了對RV40E的傳動誤差進行分析，構(gòu)建誤差測試平臺，如圖10所示。電機帶動減速器轉(zhuǎn)動，通過扭矩傳感器和光柵采集減速器的輸入和輸出轉(zhuǎn)角，將信息傳送到上位機，經(jīng)過軟件數(shù)據(jù)處理即可獲得減速器的傳動誤差。

圖10 傳動誤差測試平臺Fig.10 Transmission Error Test Platform

對減速器樣機進行傳動誤差測試，測得的傳動誤差曲線，如圖11 所示。對曲線進行頻域分析，傳動誤差頻譜圖，如圖12 所示。

圖11 樣機傳動誤差時域圖Fig.11 Time Domain Diagram of Transmission Error of Prototype

圖12 樣機傳動誤差頻域圖Fig.12 Frequency Diagram of Transmission Error of Prototype

根據(jù)圖12 可以看出，在第一頻譜分量的坐標(biāo)為（0.00278 4.67），則第一頻率分量的周期為T1=1/0.00278≈360°，得知此誤差在輸出軸旋轉(zhuǎn)360°時出現(xiàn)一次，此誤差的幅值高于其他分頻的幅值，對傳動誤差的影響非常大，可以推斷是由減速器自身安裝問題導(dǎo)致的背隙。第二分頻的坐標(biāo)為（0.108 2.033），周期為T2=1/0.108=9.259，和輸出軸的傳動比為360/9.259≈39，可知其誤差來自于擺線針輪傳動機構(gòu)中，可能為擺線輪周結(jié)累計誤差、擺線輪齒廓誤差或者是針齒銷孔位置累計誤差等。其他產(chǎn)生分頻的誤差分量主要來自于曲柄軸偏心誤差、擺線輪上的曲柄軸孔的位置誤差和輸出盤軸孔的偏心誤差等。

5 結(jié)論

這里建立了系統(tǒng)的坐標(biāo)系，在采用作用線增量法的基礎(chǔ)上分析了RV 減速器的四個子機構(gòu)的部分原始誤差對輸出轉(zhuǎn)角的影響。通過上述分析可知對輸出機構(gòu)轉(zhuǎn)角影響最大的誤差是輸出盤軸孔的偏心誤差，其次是曲柄軸偏心誤差和擺線輪齒廓誤差，漸開線齒輪的中心距誤差影響最小。在以后的減速器設(shè)計中可根據(jù)上述原理合理設(shè)計零件的加工精度，提高減速器的回轉(zhuǎn)誤差。

通過對RV 減速器進行的傳動誤差實驗和頻譜分析得知影響減速器傳動精度的還有其他誤差，比如擺線輪上曲柄軸孔位置誤差、針齒半徑誤差、擺線輪修形誤差、針齒中心圓半徑誤差和軸承游隙等。這些誤差在減速器的傳動誤差中也占有重要比例，在以后的學(xué)習(xí)中要重點研究。