董祥雨，魏代同，李宏坤

大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 遼寧大連 116024

斗 輪堆取料機(jī)是在斗輪挖掘機(jī)基礎(chǔ)上發(fā)展起來 的一種現(xiàn)代化連續(xù)散料裝卸機(jī)械，在一些散料裝卸的港口，煤、礦石等料場(chǎng)用于散料的堆存、挖取和均料[1]。其中，懸臂式斗輪堆取料機(jī)是應(yīng)用和發(fā)展最早的連續(xù)化堆取料裝置，具有生產(chǎn)效率高、能耗少、成本低、操作簡(jiǎn)單及安全可靠等諸多優(yōu)點(diǎn)。斗輪堆取料機(jī)作為效率較高的連續(xù)散料裝卸機(jī)械設(shè)備，其性能的好壞決定著整個(gè)散貨運(yùn)輸作業(yè)系統(tǒng)的效率高低[2]。斗輪堆取料機(jī)的俯仰結(jié)構(gòu)是其核心鋼架結(jié)構(gòu)，其受到的載荷比較復(fù)雜，以斗輪堆取料機(jī)俯仰結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象進(jìn)行靜、動(dòng)力學(xué)分析研究，對(duì)保證斗輪堆取料機(jī)的安全運(yùn)行和對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)至關(guān)重要[3]。對(duì)俯仰結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)特性和動(dòng)力學(xué)特性分析，可以得到其在外界載荷作用下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析結(jié)果。這些分析結(jié)果不僅可以用來找出其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的薄弱點(diǎn)以及不合理之處，從而對(duì)其進(jìn)行改善，進(jìn)而達(dá)到提高結(jié)構(gòu)疲勞壽命的目的；還能夠根據(jù)振動(dòng)特性分析，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中將其固有頻率避開激勵(lì)源頻率，避免在運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生共振。

由于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的精細(xì)有限元模型包含百萬甚至上千萬個(gè)自由度，其動(dòng)力學(xué)分析效率很低，在求解過程中會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算成本[4]；因此，研究大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型降階方法具有重要意義。

經(jīng)過發(fā)展，高維復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型降階形成了一些比較成熟的降階方法[5-7]，常用的降階方法有 3 種：簡(jiǎn)化模型法、投影法和數(shù)據(jù)擬合法。本征正交分解 (Proper Orthogonal Decomposition，POD) 是一種有效的數(shù)據(jù)分析方法，能夠得到高維系統(tǒng)的低維近似表達(dá)，用于線性和非線性結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)分析。由于 POD 方法的有效性和準(zhǔn)確性，其不僅能夠極大減少系統(tǒng)的自由度，還能夠大幅提高計(jì)算效率。POD 方法廣泛應(yīng)用在不同領(lǐng)域，例如結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[8-10]、優(yōu)化設(shè)計(jì)[11]及流體力學(xué)[12]等。靳玉林針對(duì)滾動(dòng)軸承支承的復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)展開降階研究，研究表明 POD 方法能夠快速精確地獲得復(fù)雜轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)低階主共振轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的振動(dòng)特性[13]；路寬基于瞬態(tài)響應(yīng)采用 POD 方法對(duì)不同的松動(dòng)故障模型的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了瞬態(tài) POD 方法得到的簡(jiǎn)化模型能夠很好地保留原始系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，以及瞬態(tài) POD 方法的有效性和準(zhǔn)確性[14]；Segala 等人利用 POD 方法對(duì)非線性支撐的簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了模型降階，驗(yàn)證了通過較少的模態(tài)數(shù)量能夠獲得原系統(tǒng)的主要?jiǎng)恿W(xué)特性，在一定參數(shù)范圍內(nèi)具有較好的魯棒性[15]。

筆者針對(duì)堆取料機(jī)俯仰結(jié)構(gòu)，提出了采用 POD 的模型降階方法，構(gòu)建了俯仰結(jié)構(gòu)的降階模型，并通過與全階有限元模型動(dòng)力學(xué)特性的對(duì)比分析，驗(yàn)證了降階方法的有效性。

1 基于 POD 的模型降階方法

POD 方法主要是在全階系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果或試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立一組能夠充分描述全階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的正交基來描述系統(tǒng)的主要特性。本征正交分解方法又稱 Karhunen-Loève 分解、主成分分析 (Principal Component Analysis，PCA)、奇異值分解 (Singular Value Decomposition，SVD)、Hotelling 變換[16]。POD 方法本質(zhì)上是一種統(tǒng)計(jì)方法，POD 降階模態(tài)或降階基函數(shù)是通過求解自相關(guān)矩陣的特征向量獲得，而自相關(guān)矩陣是具有統(tǒng)計(jì)意義的 2 階中心矩。POD 方法的基本思想是：通過復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)值仿真信號(hào)或試驗(yàn)數(shù)據(jù)信號(hào)構(gòu)造自相關(guān)矩陣，再求解自相關(guān)矩陣的特征向量，獲得 POD 降階模態(tài)或降階基函數(shù)，然后將高維系統(tǒng)投影到前幾個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的降階模態(tài)張成的子空間上，從而達(dá)到降階的目的。

1.1 快照矩陣的建立

選取計(jì)算不同時(shí)刻下全階系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)數(shù)據(jù)后，存儲(chǔ)在快照矩陣Y中。快照矩陣

其中Y∈Rm×n，式中：m為全階系統(tǒng)的自由度數(shù)量；n為快照數(shù)據(jù)的數(shù)量；y(ti) 為不同時(shí)刻下系統(tǒng)的位移響應(yīng)。

1.2 POD 基底的獲取

POD 方法的本質(zhì)是在全階系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果或試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立一組能夠充分描述全階系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的正交基，使得全階系統(tǒng)向正交基投影后誤差最小。標(biāo)準(zhǔn)正交基

則 POD 投影應(yīng)滿足[17]

式中：φj為 POD 模態(tài)正交基；矩陣Φ為 POD 模態(tài)正交基的組合。

式 (3) 的最小值問題等價(jià)為原全階系統(tǒng)在 POD 基上的投影最大，即

引入拉格朗日乘子λ，可以將上述最值問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題：

式 (5) 中的優(yōu)化問題又等價(jià)于

即最終轉(zhuǎn)化為求特征值問題。

定義相關(guān)矩陣

通過奇異值分解的方法計(jì)算求解相關(guān)矩陣R的特征值和特征向量，并按特征值從大到小的順序進(jìn)行排列，得到相關(guān)矩陣R的一組特征值λ={λ1，λ2，…，λm}，及其對(duì)應(yīng)的特征向量φi(i=1，2，…，n)。

第i個(gè) POD 模態(tài)基向量可表示為

利用得到的 POD 模態(tài)基向量，任意時(shí)間和空間的位移響應(yīng)可以表示為 POD 模態(tài)基向量線性組合，即

式中：ui(t) 為 POD 模態(tài)坐標(biāo)。

POD 模態(tài)基向量具有特征值快速下降的特點(diǎn)，前幾個(gè)正交基向量能夠表征系統(tǒng)的大部分特征。降階維數(shù)通過定義奇異值或自相關(guān)矩陣特征值 (降階模態(tài)) 的能量百分比來確定[16]。一般情況下，為了盡可能少地選取 POD 模態(tài)基向量，通過降階空間的總能量與全階空間的總能量之比ε進(jìn)行 POD 模態(tài)基向量的截取，ε可以表征為

通常要求ε≥95%，有的要求ε≥99%。按照能量占比原則截取之后的 POD 模態(tài)基向量，可以將全階系統(tǒng)投影到低維的降階子空間，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的降階。截取之后的 POD 模態(tài)基向量Φ∈Rk×k，k＜＜n，降階后的系統(tǒng)位移響應(yīng)可以表示為

1.3 降階模型分析

一般大型復(fù)雜系統(tǒng)的全階動(dòng)力學(xué)方程為

式中：M、C、K分別為全階模型的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；、、y分別為外載荷F作用下全階系統(tǒng)的加速度響應(yīng)向量、速度響應(yīng)向量和位移響應(yīng)向量。

將降階后的系統(tǒng)位移響應(yīng)式 (12) 代入全階系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 (13) 中，原動(dòng)力學(xué)方程可表示為

與全階系統(tǒng)相比，系統(tǒng)自由度由n降為k，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的維數(shù)大大降低，由此可得一個(gè)低維的動(dòng)力學(xué)模型。求解降階模型的方程組式 (14)，求解完式中：成后將計(jì)算結(jié)果映射回全階空間，可得到全階系統(tǒng)的最終位移響應(yīng)。

2 基于降階模型的俯仰結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

2.1 斗輪堆取料機(jī)的主要工作過程及原理

斗輪堆取料機(jī)具有取料和堆料兩種功能，這兩種功能均通過專門配備的帶式輸送機(jī)來實(shí)現(xiàn)，堆料或取料與輸送能夠同時(shí)連續(xù)無間斷作業(yè)，因此具有較高的生產(chǎn)效率。堆取料機(jī)在進(jìn)行取料作業(yè)時(shí)，懸臂架繞回轉(zhuǎn)中心做往復(fù)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)斗輪轉(zhuǎn)動(dòng)挖取物料，靠自重使物料卸到繞回轉(zhuǎn)中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的懸臂架帶式輸送機(jī)上。懸臂架每完成一次回轉(zhuǎn)動(dòng)作，主機(jī)構(gòu)前進(jìn)一個(gè)吃料厚度，然后懸臂架反向回轉(zhuǎn)，完成下一次取料過程。在堆料作業(yè)過程中，料場(chǎng)帶式輸送機(jī)運(yùn)來的物料通過尾車前端漏斗卸至懸臂架帶式輸送機(jī)上，然后輸送到斗輪頭部拋卸至料場(chǎng)[18]。

2.2 俯仰結(jié)構(gòu)有限元模型構(gòu)建

以某工程懸臂軌道式 DQ4200.3000.60 型堆取料機(jī)的俯仰結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，進(jìn)行幾何簡(jiǎn)化之后的模型如圖 1 所示。俯仰結(jié)構(gòu)材料屬性參數(shù)如表 1 所列。斗輪堆取料機(jī)主要技術(shù)參數(shù)如表 2 所列。

圖1 俯仰結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Model of pitching mechanism

表1 俯仰結(jié)構(gòu)材料屬性參數(shù)Tab.1 Material property parameters of pitching mechanism

斗輪堆取料機(jī)在工作時(shí)所受的外界激勵(lì)源頻率f為斗輪周期性轉(zhuǎn)動(dòng)取料的沖擊頻率，

式中：n為斗輪轉(zhuǎn)速，r/min；z為斗輪的鏟斗數(shù)量，個(gè)。

代入表 2 中相應(yīng)數(shù)據(jù)，計(jì)算得出f=1.2 Hz。

表2 斗輪堆取料機(jī)主要技術(shù)參數(shù)Tab.2 Main technical parameters of bucket-wheel stacker-reclaimer

以往在對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元分析過程中，單元類型常采用梁?jiǎn)卧?，可以?jié)省計(jì)算資源，但對(duì)于需要關(guān)注某些特定危險(xiǎn)位置的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，梁?jiǎn)卧嬖诰植宽憫?yīng)不精確等問題，只能關(guān)注結(jié)構(gòu)整體的狀態(tài)；而采用實(shí)體單元?jiǎng)t有足夠的響應(yīng)精度，并且有利于提高降階模型精度。在 ANSYS 中建立俯仰結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖 2 所示。單元類型為 Solid45，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有 3 個(gè)自由度，分別為x、y、z方向的移動(dòng)自由度。模型共有 64 182 個(gè)單元、25 462 個(gè)節(jié)點(diǎn)和 76 386 個(gè)自由度。

圖2 俯仰結(jié)構(gòu)有限元模型及測(cè)點(diǎn)位置Fig.2 Finite element model of pitching mechanism and location of testing points

為了建立斗輪堆取料機(jī)俯仰結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的降階模型，筆者采用數(shù)值模擬的方法構(gòu)建快照數(shù)據(jù)?？紤]到斗輪堆取料機(jī)俯仰結(jié)構(gòu)的實(shí)際工作情況，在斗輪鏟斗相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上施加激勵(lì)頻率f=1.2 Hz 的簡(jiǎn)諧載荷，對(duì)該俯仰結(jié)構(gòu)的有限元模型進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析。設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng) 0.005 s，通過有限元方法計(jì)算俯仰結(jié)構(gòu)在正常工況邊界條件下各節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)情況，并提取穩(wěn)定響應(yīng)階段 600 個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的快照數(shù)據(jù)構(gòu)成快照矩陣。有限元分析計(jì)算所用設(shè)備配置為 Intel(R) Core(TM) i9-10900K 處理器，主頻 3.7 GHz，內(nèi)存 64 G，64 位操作系統(tǒng)。

2.3 俯仰結(jié)構(gòu)降階模型的獲取

基于全階模型求解過程中所提取的快照矩陣，根據(jù) POD 的基本原理進(jìn)行快照矩陣分解，獲取 POD 基模態(tài)，前 22 階 POD 模態(tài)的特征值如圖 3 所示。根據(jù)能量占比公式 (11) 進(jìn)行 POD 模態(tài)的截取，POD 模態(tài)能量占比隨 POD 模態(tài)階數(shù)的變化曲線如圖 4 所示。

圖3 前 22 階 POD 模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征值 Fig.3 Eigenvalues of preceding 22 orders of POD modes

圖4 POD 模態(tài)能量占比隨 POD 模態(tài)階數(shù)的變化曲線Fig.4 Variation curve of POD modal energy ratio with order number of POD modes

從圖 4 可以看出，第 1 階模態(tài)能量占比為 87.13%，前 2 階模態(tài)能量占比為 99.64%，前 3 階模態(tài)能量占比為 99.93%。根據(jù)能量占比公式 (11)，在保證降階模型計(jì)算精度的前提下，選擇前 3 階 POD 模態(tài)作為投影子空間，即。將全階模型的系統(tǒng)矩陣及載荷向量投影到 POD 基模態(tài)所構(gòu)成的降階子空間上，即從而實(shí)現(xiàn)模型降階的目的。

2.4 降階模型精度分析

2.4.1 俯仰結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性

基于上述過程所獲得的降階模型進(jìn)行俯仰結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性分析，分別計(jì)算出斗輪堆取料機(jī)俯仰結(jié)構(gòu)的固有頻率。俯仰結(jié)構(gòu)全階模型和降階模型前 10 階固有頻率對(duì)比如表 3 所列。前 3 階模態(tài)振型對(duì)比如圖 5 所示。

圖5 俯仰結(jié)構(gòu)全階模型和降階模型前 3 階模態(tài)振型對(duì)比Fig.5 Comparison of full-order model and reduced-order model of pitching mechanism in modal vibration mode of preceding 3 orders

表3 俯仰結(jié)構(gòu)全階模型和降階模型前 10 階固有頻率對(duì)比Tab.3 Comparison of full-order model and reduced-order model of pitching mechanism in natural frequency of preceding 10 orders

從表 3 可以看出，俯仰結(jié)構(gòu)全階模型與降階模型計(jì)算得到的固有頻率吻合較好，前 10 階固有頻率最大誤差僅為 0.67%，前 3 階模態(tài)振型對(duì)比也顯示此降階方法具有較高的計(jì)算精度。

此外，俯仰結(jié)構(gòu)全階模型固有頻率的計(jì)算時(shí)間約為 1 159 s，而降階模型固有頻率的計(jì)算時(shí)間為 47.72 s，降階模型的模態(tài)特性計(jì)算效率提高了 95.88%。

2.4.2 外部激勵(lì)下俯仰結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證俯仰結(jié)構(gòu)降階模型的有效性，對(duì)俯仰結(jié)構(gòu)進(jìn)行外部激勵(lì)下的位移響應(yīng)分析。考慮到其實(shí)際工況，計(jì)算出在斗輪鏟斗處應(yīng)施加相應(yīng)簡(jiǎn)諧載荷

其中ω=2πf，f=1.2 Hz。

簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷波形如圖 6 所示。利用降階模型進(jìn)行俯仰結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算，計(jì)算完成后再將所得的方程解投影回原始物理空間。分別提取俯仰結(jié)構(gòu)懸臂的前端、中部和后端測(cè)點(diǎn)的位移響應(yīng)值，測(cè)點(diǎn)位置如圖 2 所示。分別提取各測(cè)點(diǎn)的位移響應(yīng)值，與在相同簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷下的全階模型進(jìn)行對(duì)比，以此來評(píng)估降階模型的計(jì)算精度與計(jì)算效率。用 ANSYS 全階模型和 POD 模型降階法計(jì)算的各測(cè)點(diǎn)位移響應(yīng)對(duì)比如圖 7～ 9 所示。

圖6 簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷波形Fig.6 Waveform of simple harmonic excitation load

從圖 7～ 9 可以看出，俯仰結(jié)構(gòu)全階模型與降階模型計(jì)算得到的位移值吻合較好，可以認(rèn)為此降階模型具有較高的計(jì)算精度。在分析計(jì)算過程中，使用降階模型求解位移的時(shí)間為 46.20 s，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于使用全階模型的計(jì)算時(shí)間 3 300 s，計(jì)算效率提高了 98.6%。

圖7 全階模型和降階模型 A 測(cè)點(diǎn)位移響應(yīng)對(duì)比Fig.7 Comparison of full-order model and reduced-order model in displacement response at testing point A

圖8 全階模型和降階模型 B 測(cè)點(diǎn)位移響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison of full-order model and reduced-order model in displacement response at testing point B

圖9 全階模型和降階模型 C 測(cè)點(diǎn)位移響應(yīng)對(duì)比Fig.9 Comparison of full-order model and reduced-order model in displacement response at testing point C

3 結(jié)論

針對(duì)斗輪堆取料機(jī)俯仰結(jié)構(gòu)等大型結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析效率較低的問題，提出了一種基于 POD 的模型降階方法。首先通過動(dòng)力學(xué)分析獲得原模型的位移場(chǎng)并組裝成快照矩陣，然后利用 POD 技術(shù)提取快照矩陣的主成分作為降階基，實(shí)現(xiàn)模型降階。結(jié)果表明：

(1) POD 方法應(yīng)用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析預(yù)測(cè)計(jì)算是可行的。雖然快照數(shù)據(jù)的獲取需要花費(fèi)一定的計(jì)算時(shí)間，但是在 POD 降階模型建立完成之后，便能夠快捷、準(zhǔn)確地得到任意節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)值，這為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性評(píng)估提供了一種有效可行的方法。

(2) 通過對(duì) POD 降階模型與全階模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知，POD 降階方法能夠成功應(yīng)用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算，并且得到的降階模型具有較高的精度和效率，在本文中降階模型固有頻率和位移響應(yīng)的計(jì)算效率分別比全階模型提高了 95.88% 和 98.6%。