陳 爽，李春芝

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

高能（從幾百keV到幾GeV）強離子束與固體靶發(fā)生相互作用時能產(chǎn)生高能密度物質(zhì)，這在高能密度物理［1-4］和慣性約束聚變［5-6］等領(lǐng)域是十分重要的研究課題。當(dāng)高能離子在固體表面附近移動時，它與固體靶中的電子發(fā)生相互作用從而損失能量，因此，研究固體靶中電子對高能粒子的反作用-阻止力也成為人們研究的重點內(nèi)容之一。

對阻止本領(lǐng)（阻止力的負值）的早期研究見于BOHR［7-8］的經(jīng)典理論和BLOCH［9］的量子理論研究中，隨機相位近似（random-phase approximation RPA）［10-11］和兩體碰撞（binary collision approach）介電理論［12］是當(dāng)時最為廣泛使用的研究方法，但這2種方法僅適用于理想的等離子體和弱相互作用。在之后對阻止本領(lǐng)的研究中，量子散射理論（quantum scattering theory）和密度函數(shù)理論（Density functional theory）等也被廣泛使用。近年來，量子流體動力學(xué)模型（Quantum Hydrodynamic model）［13］作為一種自恰方法用于對簡并量子電子氣的阻止本領(lǐng)問題的研究，該方法能夠得到量子統(tǒng)計效應(yīng)和量子衍射效應(yīng)［14-15］。MARKLUND等［16］提出用自旋量子流體動力學(xué)模型（spin quantum hydrodynamic model）研究考慮自旋效應(yīng)的量子等離子體問題，從而獲得明顯的自旋量子效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn)［16］，如果在量子等離子體中的磁場強度達到108T，自旋效應(yīng)將變得非常重要，但遺憾的是這樣巨大的磁場更多存在于脈沖星和磁星周圍，而在實驗室條件下能夠獲得的磁場強度不超過103T，因此自旋效應(yīng)在實驗室條件下很難被觀察到。ZHANG等［17］通過采用線性化自旋量子流體動力學(xué)模型研究了存在外磁場情況下帶電粒子與單層二維電子氣相互作用時自旋效應(yīng)對阻止本領(lǐng)和電子氣密度擾動情況的影響，筆者將在此基礎(chǔ)上進一步研究自旋效應(yīng)對帶電粒子與雙層二維電子氣相互作用的影響。全文采用Gauss單位制（cm-g-s）。

1 理論模型

在笛卡爾坐標系R={r,z}內(nèi)，如圖1所示，由石墨烯構(gòu)成的雙層二維自旋量子電子氣（2DSQEG）分別位于z=0（平面1）和z=d（平面2），其余（z≠0,z≠d）為真空，其中，r=(x,y)是兩平面內(nèi)任意一點的位置矢量，d是兩平面間的距離。在平衡狀態(tài)下，石墨烯平面內(nèi)單位面積上自由電子和不動的離子數(shù)目相等，即ni0=ne0=n0。考慮一個電量為Z1e的帶電粒子，沿x方向以恒定速度v=ve?x在雙層石墨烯平面上方且平行于石墨烯平面運動，該帶電粒子的密度可表示為ρext=Z1eδ(r-v t)δ(z-z0)，其中，z0(z0＞d)是帶電粒子與平面1的距離，則均勻的電子氣在該帶電粒子作用下發(fā)生微小擾動，從而形成帶電的流體，其速度場為ue(r,t)=uej(r,t)，擾動電子氣密度ne(r,t)=n0+nej(r,t)，uej(r,t)和nej(r,t)分別代表速度場和電子氣密度的一階微擾（j=1和j=2分別對應(yīng)于平面1和平面2）。為了研究自旋效應(yīng)對粒子與石墨烯平面相互作用的影響，考慮有一個與帶電粒子運動方向相同的變化磁場B={Bx(x,t),0,0}，其中，Bx(x,t)=B0ei(k0x-ω0t)，此時，變化的磁場將與電子的自旋角動量發(fā)生相互作用，從而對電子氣密度的分布產(chǎn)生一定的影響。為此，采用線性化自旋量子流體動力學(xué)模型［17］，得到線性化連續(xù)性方程。

圖1帶電量為Z1 e的帶電粒子以恒定的速度v=v e?x沿x軸方向平行于雙層石墨烯平面運動Fig.1 A charged particle Z1 e moves with constant speed v=v e?x and parallels to the double layered graphene sheet along the x direction

當(dāng)帶電粒子在雙層石墨烯平面上方運動時，石墨烯平面內(nèi)的電子氣在庫侖力的作用下發(fā)生擾動，使入射粒子前方附近的電子數(shù)遠少于其后方的電子數(shù)，從而形成了與入射粒子運動方向相反的電場，該電場對入射粒子的反作用使其不斷損失能量，作用在入射粒子上的這個電場力稱為阻止力。根據(jù)感應(yīng)電勢表達式（10）可以得到阻止力的表達式

為方便起見，計算中引入無量綱化參量：ω/ωp→ω，ω0/ωp→ω0，ky/kF→ky，k/kF→k，k0/kF→k0，v/vB→v，l/λF→l，其中，vB=e2/?為波爾速度，λF=1/kF為費米波長，l表示任意與長度有關(guān)的參量。同時，在無量綱化過程中，引入了Wigner半徑它是一個與均勻狀態(tài)下電子氣密度相關(guān)的參數(shù)，m0=μB B0是與磁場強度相關(guān)的量（m0=1 meV時，對應(yīng)磁場強度B0≈17 T）。在以下的計算中，考慮入射粒子為質(zhì)子，即Z1=1，電子氣密度參數(shù)rs=2.0，兩個石墨烯平面間的距離d=λF，入射粒子與平面1的距離為z0=3λF，摩擦系數(shù)γ=γ0=0.02ωp，入射磁場的角頻率ω0=0.1ωp，而磁場強度參量m0和入射磁場的波數(shù)k0是變化的。此外，計算中采用運動坐標系，即以入射粒子在平面1內(nèi)的投影為坐標原點，該點和入射粒子以相同的速度沿x軸方向運動。

2 計算結(jié)果與分析

在圖2（a）～圖2（d）中，分別計算了電子自旋向上和向下時，不同磁場強度m0=0 meV，10 meV，20 meV，30 meV對平面1和平面2內(nèi)感應(yīng)電子氣密度ne1和ne2（已用n0無量綱化）沿x軸方向分布的影響，取v=2.0vB。

圖2 不同磁場強度對平面1和平面2內(nèi)自旋向上和向下時電子氣密度ne1和ne2（已用n0無量綱化）沿x軸方向分布的影響Fig.2 The influence of different magnetic field strengths on distribution of the electron gas density ne1 and ne2（dimensionless by n0）for spin up and spin down in plane 1 and plane 2 along the x axis direction

從圖2可以看出，當(dāng)入射粒子在平面2上方附近沿x方向運動時，由于極化和激發(fā)作用，在入射粒子后方出現(xiàn)了非對稱的振蕩的尾流現(xiàn)象。由于考慮了自旋與外加磁場的相互作用，與無外磁場（m0=0 meV）的情況相比，電子氣密度分布出現(xiàn)了以無磁場時的振蕩曲線為包絡(luò)線的波長更短的振蕩，這是由于外加磁場對電子氣進一步作用后的疊加的結(jié)果，這一點可以從公式（8）和公式（9）的最后一項看出。隨著磁場強度的增大，磁場對自旋向上和自旋向下時電子氣密度的影響明顯不同，當(dāng)電子自旋向上時，如圖2（a）和圖2（c）所示，ne1和ne2的振蕩均隨磁場的增大而變強；當(dāng)自旋向下時，如圖2（b）和圖2（d）所示，在入射粒子所在位置（x=0）附近，ne1和ne2的振蕩幅值是隨著磁場的增大而減弱的，這說明在入射粒子所在位置附近，磁場使自旋向上的電子振蕩加強，而對自旋向下的電子的振蕩起到了抑制作用。此外，由于平面1距離入射粒子較遠以及平面2對其的屏蔽作用，使得ne1的振蕩的幅值小于ne2的振蕩幅值，與自旋向上和向下無關(guān)。

圖3（a）和3（b）分別計算了當(dāng)電子自旋向上和向下時，不同入射磁場對阻止力隨速度變化的影響（已用F0=(Z1e/aB)2無量綱化）。從圖3中可以看出，由于兩個平面內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電場之間的相互耦合作用，使入射粒子隨速度變化曲線出現(xiàn)了明顯的雙峰結(jié)構(gòu)，在低速區(qū)域（v＜2.5vB），電子自旋向上時，阻止力隨磁場強度的增大而減小，而電子自旋向下時卻相反，兩種情況下雙峰的位置均不受磁場變化的影響。此外，在高速區(qū)域（v＞2.5vB），與無外磁場情況（m0=0 meV）時的單調(diào)遞減相比，受入射磁場振蕩項ei(k0x-ω0t)的影響，阻止力隨速度變化曲線出現(xiàn)了明顯的振蕩遞減的情況，振蕩的幅值隨磁場強度的增大而增大，而速度一定時，與自旋向上和自旋向下所對應(yīng)的振蕩方向是相反的。此外，從圖3中還可以看出，磁場強度對雙峰的位置和相對大小影響不大，說明外加磁場對兩平面內(nèi)電子氣所產(chǎn)生的感應(yīng)電場之間的相互耦合作用影響較小。

圖3 不同外加磁場對自旋向上和自旋向下時阻止力隨速度變化的影響Fig.3 Influence of different magnetic fields on the stopping force changing with speed for spin up and spin down

圖4（a）和圖4（b）分別計算了電子自旋向上和向下時，不同入射電磁波的波數(shù)k0=0.0kF，k0=0.5kF，k0=1.0kF，k0=2.0kF對阻止力隨速度變化的影響，取磁場強度參量m0=30 meV。從圖4（a）中可以看出，在低速區(qū)域（v＜2.5vB），當(dāng)電子自旋向上時，阻止力隨k0的增加而變小，而自旋向下時卻出現(xiàn)相反的趨勢。在速度較高的區(qū)域（v＞2.5vB），曲線均出現(xiàn)了明顯的振蕩衰減的情況，振蕩的周期和幅值均隨k0的增大變小，對于給定的速度，電子自旋向上和向下時所對應(yīng)的振蕩方向是相反的。此外，從圖4中還可以明顯看出，入射磁場的振蕩波數(shù)k0對雙峰的位置和相對大小影響不大，說明其對2個電子氣平面之間的耦合作用影響很小。

圖4 不同外加磁場振蕩的波數(shù)k0對電子自旋向上和自旋向下時的阻止力隨速度變化的影響Fig.4 Influence of wave number k0 of different external magnetic field oscillation on the stopping force changing with speed for spin up and spin down

3 結(jié)論

筆者采用線性化自旋量子流體動力學(xué)模型研究了有外加變化的磁場時自旋效應(yīng)對帶電粒子與雙層二維電子氣平面之間相互作用的影響。結(jié)果表明，當(dāng)考慮電子的自旋效應(yīng)時，外加磁場對擾動電子氣密度的振蕩有一定的影響，在入射粒子所在位置附近，磁場使自旋向上的電子振蕩加強，而對自旋向下的電子的振蕩起到了抑制作用，在距離入射粒子較遠處，無論電子自旋向上還是向下，磁場的作用均使振蕩加強。此外，外加振蕩磁場的振幅和波數(shù)均對阻止力隨速度變化曲線有一定的影響，在高速區(qū)域均出現(xiàn)了振蕩衰減的情況。