孫利新，李晨松

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

切換系統(tǒng)是一類典型的混雜系統(tǒng)，它由一系列子系統(tǒng)和協(xié)調(diào)子系統(tǒng)工作的切換信號組成。切換拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)是近年來的研究熱點(diǎn)。該類問題可以簡單描述為：通過基于局部信息交互的控制協(xié)議（也稱控制律）與切換信號（也稱切換律）實(shí)現(xiàn)全局行為。文獻(xiàn)［1］研究了動(dòng)態(tài)拓?fù)湎聨в形粗獎(jiǎng)討B(tài)的多智能體系統(tǒng)一致性問題。文獻(xiàn)［2］研究了隨機(jī)切換拓?fù)湎碌漠悩?gòu)系統(tǒng)輸出同步問題與隨機(jī)切換拓?fù)湎碌姆植际絻?yōu)化問題。文獻(xiàn)［3］研究了具有切換拓?fù)浜鸵话愣A系統(tǒng)的多智能體系統(tǒng)蜂擁控制問題。在實(shí)際工程中，多個(gè)物體協(xié)同完成任務(wù)的情形較為常見，在這種需求的推動(dòng)下，多智能體一致問題受到工程計(jì)算機(jī)通信自動(dòng)化機(jī)器人等領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注。在固定拓?fù)湎拢嘀悄荏w一致問題在文獻(xiàn)［4］中采用周期間歇采樣控制策略實(shí)現(xiàn)了一階非線性多智能體系統(tǒng)的分布式一致控制。文獻(xiàn)［5］針對一類含有未知輸入干擾和隨機(jī)噪聲的非線性多智能體系統(tǒng)，提出了一種一致性控制方法。文獻(xiàn)［6］研究了有向拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)的一致性問題和有限時(shí)間一致問題。文獻(xiàn)［7］研究了具有非線性動(dòng)力學(xué)特征和時(shí)變耦合時(shí)滯的二階多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)與隨從一致性問題。文獻(xiàn)［8］研究了具有不精確拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)的一致性問題。文獻(xiàn)［9］中利用有限時(shí)間無源性設(shè)計(jì)控制器研究多智能體一致問題。本文有2點(diǎn)貢獻(xiàn)：（Ⅰ）在零行和條件下，利用有限時(shí)間無源性，給出了控制器設(shè)計(jì)方法。（Ⅱ）在非零行和條件下，利用有限時(shí)間無源性，研究了具有切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)一致問題。

1 預(yù)備知識

1.1 符號說明

1.2 切換非線性系統(tǒng)有限時(shí)間無源性

簡單回顧切換非線性系統(tǒng)有限時(shí)間無源性的一些基本概念和結(jié)果。考

慮切換非線性系統(tǒng)

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)，σ表示切換信號，它是一個(gè)分段常數(shù)函數(shù)。u∈Rp,hi(x)∈Rp,i∈I=(1,2,...m)是控制輸入和第i個(gè)子系統(tǒng)的控制輸出，m是子系統(tǒng)的個(gè)數(shù)。假定fi(0,0)=0和hi(0,0)=0，切換信號σ產(chǎn)生切換序列

在這里，t0是初始時(shí)間，x0是初始狀態(tài)，當(dāng)t∈[tk,tk+1),σ(t)=ik，即第ik個(gè)子系統(tǒng)是激活的。此外，假設(shè)系統(tǒng)（1）的狀態(tài)x(t)是處處連續(xù)的。

定義1［10］系統(tǒng)（1）在一個(gè)給定的切換信號σ(t)下，如果存在C1正定函數(shù)Vσ(t)(x):Rn→R+和κ類函數(shù)γσ(t):R+→R+,對任意的t≥t0和u，滿足如下

其中，Z是非負(fù)整數(shù)集合，那么系統(tǒng)（1）稱為有限時(shí)間無源的。

引理1［10］假設(shè)存在C1正定函數(shù)Vi(x):Rn→R+，函數(shù)βij:Rn×Rm×Rm→(-∞,0]和κ類函數(shù)γi(z):R+→R+,i,j=1,2,...,k對所有的x和u滿足如下條件

那么系統(tǒng)（1）是有限時(shí)間無源的。

引理2［10］如果系統(tǒng)（1）是有限時(shí)間無源的，當(dāng)u=0時(shí)，那么它是有限時(shí)間穩(wěn)定的。此外，如果存儲函數(shù)Vi(x),i∈I是徑向無界的，那么它是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的。

如果系統(tǒng)（1）只有一個(gè)子系統(tǒng)，那么系統(tǒng)成為非切換系統(tǒng)，相應(yīng)的定義1變?yōu)橄旅娴亩x2，引理1變?yōu)橐?。

定義2［9］一個(gè)系統(tǒng)如果滿足

其中，V(·)是非負(fù)函數(shù)。那么它就是輸入u(t)∈Rn和輸出y(t)∈Rn有限時(shí)間無源的。

引理3［11］假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)且非負(fù)的函數(shù)V(t)=V(x(t))滿足

2 問題描述

考慮由k個(gè)恒等節(jié)點(diǎn)組成的多智能體系統(tǒng)，其中，第i個(gè)多智能體動(dòng)態(tài)表示為

其中，g(·)是一個(gè)非線性連續(xù)函數(shù)；xi(t)∈Rm=(xi1(t),xi2(t),...,xim(t))T表示第i個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)向量；ui∈Rm=(ui1，ui2,...uim)T表示第i個(gè)子系統(tǒng)的輸入向量；yi(t)∈Rm=(yi1(t),yi2(t),...,yim(t))T表示第i個(gè)子系統(tǒng)的輸出向量。

下面，假設(shè)函數(shù)g(·)滿足利普希茨條件，即對任意的η1,η2∈Rm,存在ρ＞0，有

假設(shè)x*(t)∈Rm表示下面系統(tǒng)的任意期望解

3 主要結(jié)果

下面研究在零行和條件下，在固定拓?fù)湎露嘀悄荏w一致問題。

通過定義2，多智能體系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制器（22）下實(shí)現(xiàn)輸入輸出有限時(shí)間無源。定理2（Ⅰ）完成證明。

令vi=0，則有V?(t)≤-aVθ(t),0≤t0≤t。

4 數(shù)值仿真

下面給出了驗(yàn)證定理2的數(shù)值例子。

考慮由3個(gè)蔡電路的子系統(tǒng)組成的多智能體，每一個(gè)多智能體描述如下：

圖1 多智能體誤差范數(shù)變化Fig.1 The multi-agents error norm change

圖2 切換信號Fig.2 The switching signal

5 結(jié)論

多智能體一致問題是多智能體系統(tǒng)的重要研究問題之一，對多智能體協(xié)同工作起著關(guān)鍵的作用。通過設(shè)計(jì)控制器與切換信號，利用零行和條件證明了固定拓?fù)湎掠邢迺r(shí)間無源性，在此基礎(chǔ)上證明了多智能體一致性。其次利用凸組合條件與設(shè)計(jì)切換信號得到了切換拓?fù)湎掠邢迺r(shí)間無源性，進(jìn)而證明了多智能體一致性。將在接下來的研究工作中繼續(xù)討論有關(guān)多智能體一致的其他問題。