郭彩霞，李華鵬，郭建敏，田海燕

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

分?jǐn)?shù)階q-差分理論產(chǎn)生于18 世紀(jì)，是研究任意階次微分特性及應(yīng)用的理論。作為一種特殊分?jǐn)?shù)階理論體系，具備了分?jǐn)?shù)階微積分和離散數(shù)學(xué)二者的優(yōu)點(diǎn)。近年來，由于分?jǐn)?shù)階q-差分微分方程及邊值問題在人口增長、量子物理、控制論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、流行病防控等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階q-差分方程邊值問題解的存在性、唯一性、多解性引起了國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注。關(guān)于帶有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階q-差分系統(tǒng)也有研究[1-5]。例如李利用Guo-Krasnosel’skii不動點(diǎn)定理、Banach 壓縮映像原理、Schauder 不動點(diǎn)定理、Leggett-Williams不動點(diǎn)定理和Scheafer不動點(diǎn)定理詳細(xì)地討論了三類含有參數(shù)的分?jǐn)?shù)階q-差分方程邊值問題、三類分?jǐn)?shù)階q-差分方程局部邊值問題和兩類分?jǐn)?shù)階q-差分方程非局部邊值問題解的存在性[3]。陳通過運(yùn)用Schauder 不動點(diǎn)定理和Banach 不動點(diǎn)定理討論了一類具有Caputo 導(dǎo)數(shù)的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題[5]

mild 解存在的幾個充分條件，其中Dα，Dβ表示Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，1 ＜β＜α≤2，非線性項(xiàng)f∶[0,1]×? →?是連續(xù)的，z0,z1∈?。

受到文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)，討論一類帶參數(shù)的分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題

1 分?jǐn)?shù)階q-差分基本知識

令q∈(0,1)并做如下定義

定義1設(shè)α≥0，f是定義在區(qū)間上[ 0,1 ]的一個給定的函數(shù)。那么f的Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階q-積分定義為

引理2設(shè)β∈P+,λ∈(-1,+∝),0≤a＜t≤b,等式成立,

定義2設(shè)α≥0，那么函數(shù)f的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階q-導(dǎo)數(shù)定義為

定義3設(shè)α≥0，那么函數(shù)f的Caputo 型分?jǐn)?shù)階q-導(dǎo)數(shù)定義為

引理3設(shè)α∈?+?N,a＜x,等式成立：

2 等價積分方程的推導(dǎo)

引理4設(shè)h∈C[ 0,1 ]是一個給定的函數(shù)，3 ＜α≤4，0 ＜μ＜1。那么邊值問題

3 主要結(jié)論及證明

定義算子為T∶E→E為

則算子T的不動點(diǎn)等價于邊值問題(1)的解。

定義4設(shè)E為距離空間，T∶X→X是一個映射，若存在常數(shù)θ∶0≤θ＜1使得

則稱T是上x的壓縮映射。

定理1(Banach 壓縮映射原理) 完備距離空間上的壓縮映射具有唯一的不動點(diǎn)。

令E=C([0,1],R)，定義范數(shù)為

定理2假設(shè)f∶[0,1]×R→R是連續(xù)的且存在一個q-可積函數(shù)g∶[0,1] →R使得下列條件成立：

由于p∈(0,1)，故T是E上的壓縮映射。故由Banach 壓縮映射原理知，問題(1)在E上有唯一的不動點(diǎn)。

討論了一類分?jǐn)?shù)階q-差分方程邊值問題解的存在唯一性。其中在引理4 中，利用q-導(dǎo)數(shù)和q-積分的定義與性質(zhì)推導(dǎo)了分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題的等價積分方程。在第3 部分中，根據(jù)引理4 定義了積分算子，然后定理2通過運(yùn)用Banach壓縮映射原理驗(yàn)證了積分算子是壓縮映射，從而得到一類含參數(shù)的分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題解的存在唯一性結(jié)論。