張卓杰，蔣毅，王熙程，武朝帥，甄曉霞

(1. 石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，河北石家莊，050043；2. 石家莊鐵道大學土木工程學院，河北石家莊，050043；3. 道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點實驗室(石家莊鐵道大學)，河北石家莊，050043；4. 長沙理工大學建筑學院，湖南長沙，410076；5. 華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州，510641)

斜拉橋中常用的斜拉索主要有平行鋼絞線索與平行鋼絲索。與平行鋼絲索相比，平行鋼絞線索具有運輸方便、易于掛設、防腐性好、更換方便等優(yōu)點。鋼絞線索各部件單獨制作、運輸，在施工現(xiàn)場逐根張拉，每根鋼絞線獨立錨固，融拉索和制索為一體，在超大噸位的斜拉索或施工空間受限的斜拉橋中應用尤其廣泛。采用平行鋼絞線斜拉索是斜拉橋建設發(fā)展的明顯趨勢。平行鋼絞線斜拉索由一定數(shù)目鋼絞線集束而成，鋼絞線之間除在某些位置采用剛性索箍緊或者在套管作用下發(fā)生耦合外，其他位置獨立無黏結，與其他類型纜索結構存在較大差別。因此，平行鋼絞線斜拉索實際上是在剛性耦合作用下的多索股系統(tǒng)，平行鋼絞線索的振動是各索股相互作用的綜合體現(xiàn)，與單根索股或完整性良好的拉索的振動行為均有所不同。

斜拉索的索力和自振頻率存在特定關系，可通過測試斜拉索的自振頻率獲取索力。工程中常采用基于弦理論導出的索力-頻率關系式計算索力，此公式簡潔方便但不夠精確。為了獲得更精確的換算關系，學者們進一步考慮索股的剛度、垂度等因素的影響，建立了相應的換算公式[1-5]。這些研究一般假定拉索各組成部件具有良好的完整性，拉索各部件在振動過程中是同步的，而常見的索振動理論均未考慮拉索的內部非完善接觸狀態(tài)，因此，振動頻率法測量平行鋼絞線斜拉索索力公式的適用性和精確度有待進一步研究。

為了探究振動頻率法測定平行鋼絞線斜拉索索力的可行性，KANGAS 等[6]基于橋的頻譜測試，驗證了平行鋼絞線斜拉索面內和面外振動的一致性、在不同施工階段頻率的穩(wěn)定性以及在不同風速下振動頻率的變化規(guī)律。孫增壽等[7]對已有索理論進行了修正，并通過實測證明了振動頻率法對于平行鋼絞線斜拉索索力測量的精度基本能滿足工程要求。CHO等[8-9]基于實際的斜拉橋，采用多種測量方法測試索力，對比研究振動頻率法對于平行鋼絞線斜拉索的適用性。平行鋼絞線斜拉索本質上是在各類接觸效應耦合下的多索股系統(tǒng)，AHMAD等[10-12]對耦合連接的雙層及多層索網進行了自振特性分析，提出局部模態(tài)化程度和局部模態(tài)集群2個指標來評價局部模態(tài)的好壞，并對外置阻尼器的混合索網系統(tǒng)的自振特性進行分析；ZHOU等[13-17]對帶有阻尼器和交叉連接桿的雙層吊索自振特性進行了研究，并提出了新的局部模態(tài)化指標，還推導出了考慮拉索垂度在內拉索面內振動方程的解析式。上述研究更側重于力學特性分析，對在工程實踐中的應用論述不多。

為了探明平行鋼絞線斜拉索內部的接觸來源及其對斜拉索整體力學行為的影響，本文作者根據(jù)平行鋼絞線斜拉索的構造特點與力學關系，探明索體內部3類接觸效應的產生機理；通過理論分析得到索箍剛性耦合下的拉索振動方程及其影響規(guī)律；并對外套管和索箍多重耦合作用下的斜拉索自振特性進行有限元仿真分析與試驗研究，證明了理論分析的正確性。

1 鋼絞線斜拉索的構造特點與接觸因素分析

為便于分析，以安徽銅陵公鐵兩用長江大橋(簡稱銅陵橋)作為工程背景。該橋采用三榀主桁、三索面布置，主跨為630 m，全長1 290 m。斜拉索采用OVM250平行鋼絞線拉索體系，全橋共228根斜拉索，單根斜拉索的鋼絞線束數(shù)為61～127 根不等。斜拉索編號如圖1 所示，首字母S 表示邊跨，M 表示中跨，第二個字母S上表示上游側，M表示中游側，S下表示下游側。

圖2所示為銅陵橋采用的平行鋼絞線斜拉索的典型構造，主要由鋼絞線索股、外套管、緊箍裝置(索箍)、防水罩、錨具、減振裝置等部分組成。索體施工過程中防水罩不下放，可在此處穿入鋼絞線；當鋼絞線張拉完畢并調整完均勻性后安裝索箍，索箍使鋼絞線索股排列成規(guī)則的正六邊形，增強了索體的整體性。

平行鋼絞線斜拉索逐根穿束，單根錨固，因此配夾片錨頭。圖3 所示為典型的OVM 錨板孔位布置(其中，d為層間距)。結合圖2 可知，為便于錨固，錨板孔位間留有一定空隙，斜拉索錨板直徑大于索體外套管的直徑，因而外套管將對外周索股產生幾何約束作用。

此外，外套管一般由高聚乙烯(HDPE)制成，材料彈性模量小，且外套管本身并不張拉，較為柔軟；內部的鋼絞線被施加了較大的張拉力，具有較大的幾何剛度，因而外套管的自重將由內部索體承擔。在外套管自重的作用下，內部索股可能發(fā)生接觸。

由此可見，引起平行鋼絞線斜拉索內部索股接觸的來源主要有3種：索箍的剛性耦合、外套管的幾何約束效應、外套管的自重作用；對于采用內置填塞式橡膠圈阻尼的斜拉索，阻尼器也可引起索股發(fā)生接觸，由于該來源與阻尼器類型有關，本文不考慮此因素。索箍約束作用發(fā)生于索箍安裝后，作用位置一般位于靠近梁端和塔端索導管出口處；外套管的幾何約束作用與套管和錨具的構造、幾何尺寸有關；外套管的自重作用則與套管的質量、斜拉索的受力條件有關。

2 索箍耦合效應分析

索箍安裝在靠近梁端和塔端索導管出口處，僅在索箍作用下，平行鋼絞線斜拉索可以視作圖4所示的剛性耦合索股系統(tǒng)。模型由n根獨立錨固的等長鋼絞線組成，各根鋼絞線的長度均為L，索股的拉力分別為T1，T2，…，Tn。鋼絞線通過2 個輕質剛性塊發(fā)生耦合，剛性耦合將斜拉索分為3個子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)的長度分別為lj(j為子系統(tǒng)編號)，分別以各子系統(tǒng)的左端為原點建立坐標系xjojyj。

2.1 振動方程

斜拉索為細長結構，不考慮索股抗彎剛度的影響，根據(jù)弦理論，單根索股在拉力作用下的橫向振動方程為[18]

式中：v(x,t)為索股的橫向位移；x為沿索股軸線的坐標；t為時間；T為索股的拉力；m為索股的單位長度質量。

采用分離變量法求解，設方程解的形式為

其中：φ(x)為關于x的函數(shù)；q(t)為關于t的函數(shù)。

將式(2)代入式(1)，兩邊同除mφ(x)q(t)，得

式中：ω為圓頻率。

對式(3)進行分離變量之后可以轉換成以下2個方程：

式(4)和(5)為二階齊次線性常微分方程，式(4)的解為

其中：

式(5)的解為

因此各子系統(tǒng)內單根索股的振動方程為

式中：i表示索股編號，取值范圍為1～n；j表示子系統(tǒng)編號，取值范圍為1～3。

根據(jù)剛結點處索股振動協(xié)調關系，易推知各索股振動同步，即

各索股的區(qū)別在于振型方程不同，即

2.2 方程求解

式(9)為含有6n個待定系數(shù)的聯(lián)立方程組，其解可通過邊界條件、連續(xù)性要求及豎向力平衡條件確定。

1)邊界條件

由于索股兩端固結，索股端部的位移為0，即

共有2n個方程。

2)連續(xù)性要求1

同一索股在耦合處的位移相等，即

共有2n個方程。

3)連續(xù)性要求2

同一橫向連接相鄰索股位移條件為

共有2(n-1)個方程。

4)豎向力平衡條件

索股在耦合處的豎向分力應滿足平衡要求，即

共有2個方程。

由上述可得6n個方程，將以上方程寫成矩陣形式：

式中：K為6n×6n的系數(shù)矩陣；X為6n×1的待定系數(shù)列 向 量，

若式(16)有解，則系數(shù)矩陣行列式為0，即

式(17)即為頻率方程，可借助數(shù)學軟件MATHEMATICA 求得具體表達式。矩陣K中只有一個未知數(shù)ω，求得ω后，根據(jù)式(11)和式(16)可求得系數(shù)列向量X和各索股的振型。

2.3 頻率方程

根據(jù)前述方法，對于兩索股雙剛性耦合索網系統(tǒng)(n=2)的自振頻率方程為

隨著索股數(shù)量增加，頻率方程變得非常復雜，通過類推法，可得到雙耦合n索股系統(tǒng)的頻率方程：

當剛性耦合數(shù)量為1時，式(19)可簡化為

式(20)為n根索股組成的單剛性耦合索網系統(tǒng)的自由振動頻率方程。

2.4 振動試驗

為了進一步驗證理論的正確性，在實驗室進行索股系統(tǒng)振動試驗，試驗索股采用鋼絞線，長度均為3.37 m，截面積為139 mm2，線密度為1.12 kg/m。

鋼絞線錨固于反力架上，反力架右側錨固端安裝索力微調螺母，鋼絞線左側錨固端安裝穿心壓力傳感器，可監(jiān)測鋼絞線的張力，鋼絞線首先通過千斤頂粗張拉，再通過螺母微調至目標值。在每根鋼絞線上分別布置加速度傳感器，同步采集各根鋼絞線的振動數(shù)據(jù)。

當2 根索股均被張拉30 kN 時，測量鋼絞線在無耦合時和在距兩錨固端L/10 處剛性耦合時的振動頻率；同時采用ANSYS軟件進行仿真分析，鋼絞線采用LINK10單元模擬，相關結果見表1。

由表1可知：當索股等張力時，兩索股的實測頻率基本一致，且無耦合索股高階頻率與基頻之間符合整數(shù)倍頻關系，可證明實測數(shù)據(jù)的有效性。當索股系統(tǒng)在距兩端L/10 位置處耦合后，相較于無耦合情況，在原整數(shù)倍頻之間出現(xiàn)了分數(shù)倍頻；本文計算值與ANSYS計算值結果非常接近，與實測值相符度也較好，可證明理論推導的正確性。計算值略小于實測值，其原因主要由于鋼絞線存在一定抗彎剛度，使實際振動頻率提高。

表1 均勻索力條件下拉索自振頻率實測值與計算值Table 1 Measured value and calculated value of selfvibration frequencies under uniform cable forces

進一步調整索力不均勻度為10%，即兩索股張力分別為28.5 kN和31.5 kN，對應索股系統(tǒng)的實測頻率和計算頻率如表2所示。

由表2可見：當系統(tǒng)索股張力不均勻時，索股系統(tǒng)頻率實測值與計算值符合度較好，可證明理論推導的正確性。

表2 不均勻索力條件下拉索自振頻率實測值與計算值Table 2 Measured value and calculated value of self-vibration frequencies under nonuniform cable forces

2.5 剛性耦合對等張力索股系統(tǒng)自振特性的影響

為了考察局部剛性耦合對索股系統(tǒng)自振特性的影響，分別對等張力條件和不等張力條件下兩索股雙剛性耦合系統(tǒng)進行參數(shù)分析。等張力條件下，假設各索股初始張力均為80 kN，線密度均為1.12 kg/m，索股長L均為120 m。若索股間黏結良好，索股系統(tǒng)可視作完整性良好的柔性弦，根據(jù)弦理論可知此時索股的基頻fs1為1.11 Hz，且各階頻率與基頻成整數(shù)倍關系。

為研究剛性耦合對無黏結索股系統(tǒng)振動特性的影響，耦合位置取距索股兩端L/10處(耦合①)和索長等分位置(耦合②)。分別使用本文提出的公式和ANSYS計算，二者計算結果相同，如表3所示。其中ANSYS 有限元模型中索股采用LINK10 單元模擬，剛性塊位置處的節(jié)點進行自由度耦合。

表3 等張力條件下索股系統(tǒng)自振頻率Table 3 Self-vibration frequencies under uniform cable forces

由表3 可見：當耦合位置非均勻分布時(耦合①)，系統(tǒng)的高階頻率與基頻之比不再保持嚴格的整數(shù)倍關系，相較于完整性良好的拉索，索股系統(tǒng)在整數(shù)倍頻之間出現(xiàn)分數(shù)倍頻，如表3 中的1.39 Hz和2.78 Hz等。而當剛性耦合沿索長均勻分布時(耦合②)，索股系統(tǒng)的振動頻率均為整數(shù)倍頻，與完整性良好的拉索振動頻率相同。系統(tǒng)各階頻率對應的振型可根據(jù)ANSYS有限元仿真分析得到，部分振型如圖5所示。

由圖5可知：對于耦合索股系統(tǒng)的振型既存在表征整體振動的“整體振型”，也存在表征索股獨立振動或局部振動的“局部振型”[19-20]，系統(tǒng)的振型與耦合分布情況有關。當剛性耦合沿索長非平均分布時，整數(shù)倍頻對應索股的整體振型，分數(shù)倍頻對應的振型為表征索股獨立振動的局部振型。

當剛性耦合沿索長平均分布時，索股系統(tǒng)的振動頻率雖然全為整數(shù)倍頻，但與整體性良好的拉索的振型并不完全相同。例如，雙耦合②的3階頻率為3.34 Hz，對應于圖5(b)中的4種振型，包含1 種整體振型3 種局部振型。因為僅通過測試頻率無法區(qū)分它們，所以表3將其歸為同一階。

2.6 剛性耦合對不等張力索股系統(tǒng)自振特性的影響

改變兩索股的索力不均勻度至20%，即兩索股張力分別為72 kN和88 kN，索力之和保持不變，分別計算單耦合、雙耦合索股系統(tǒng)的自振頻率；對于每種耦合，耦合情況與2.5節(jié)中相同，計算結果如表4所示。

表4 非均勻索力條件下索股系統(tǒng)自振頻率Table 4 Self-vibration frequencies under nonuniform cable forces

由表4可見：當各索股索力不等時，索股系統(tǒng)呈現(xiàn)更為復雜的振型與自振頻率，系統(tǒng)各階振型頻率不再出現(xiàn)等值的情況(即圖5 中的等頻振型)，因此，通過頻率反推振型成為可能。此時索股各階振動頻率與fs1之比不再保持嚴格的整數(shù)關系，即索股系統(tǒng)的整數(shù)倍頻消失，但仍存在與fs1之比接近整數(shù)倍關系的頻率，為保持和前文的對應關系，仍稱之為“整數(shù)倍頻”。這表明雖然索力分布不均勻，但在剛性耦合作用下，系統(tǒng)的整數(shù)倍頻仍和整體性良好的拉索具有較好的比擬性。

因此，當索股系統(tǒng)的索力不均勻性不過大時(＜20%)，識別出整數(shù)倍頻后，可仍按照傳統(tǒng)的振動頻率法測試索股系統(tǒng)總索力。比如對于雙耦合②，若以6.73作為6階頻率反算的基頻為1.12 Hz，對應整體性良好的單索基頻為1.11 Hz，按照弦理論換算的索力相對誤差小于2%。

3 外套管自重作用

外套管自重引起鋼絞線間的接觸原理如圖6所示。當無外套管作用時，鋼絞線成層狀分布，且因為鋼絞線等張力，所以各層之間無接觸，假設層間距為d。當考慮外套管的作用時，外套管的自重q將首先傳遞給與之接觸的頂層鋼絞線，頂層鋼絞線將在套管自重作用下發(fā)生下?lián)?。若下?lián)狭啃∮趯娱g距d，則套管自重將僅由首層鋼絞線承擔，外套管自重并不會引起內部鋼絞線接觸；當下?lián)狭砍^層間距d時，頂層鋼絞線將與第二層鋼絞線發(fā)生接觸，護套管的自重將由前兩層鋼絞線分擔，且接觸長度與力學條件有關；在外套管的自重作用下，前兩層鋼絞線將繼續(xù)下?lián)希粝聯(lián)狭啃∮赿，則鋼絞線索股停止后續(xù)接觸，若下?lián)狭砍^d，則下層鋼絞線將繼續(xù)發(fā)生接觸。

根據(jù)鋼絞線的層狀分布特點，以及套管自重往下逐層傳遞的特性，為了簡化分析，假定同層鋼絞線的力學行為相同，進一步將平行鋼絞線斜拉索等效為圖7所示的層狀結構。

為了考察套管自重對鋼絞線接觸的影響，采用ANSYS 進行接觸分析。鋼絞線依然簡化為圖7所示的層狀結構，各層截面的等效尺寸根據(jù)鋼絞線截面特性相等的原則確定。為提高計算效率，鋼絞線采用LINK10單元模擬，鋼絞線各節(jié)點采用接觸單元COMTA178 連接，單元接觸間隙根據(jù)鋼絞線間的幾何關系確定，為19.5 mm，護套管自重采用質量單元MASS21 模擬，均勻分布于頂層鋼絞線各節(jié)點。

圖8 所示為平行鋼鉸線斜拉索接觸模型。圖9所示為銅陵橋SM-10 索局部接觸狀態(tài)情況，設索長為L，紅色表明接觸間隙為0，索股發(fā)生接觸；藍色表明接觸間隙非零，層間尚未發(fā)生接觸。

由圖9可見：對于SM-10索，索體中央位置處接觸層數(shù)最多，為10 層，從中央向兩端接觸層數(shù)逐漸減少。銅陵橋其他各索接觸情況如表5所示。

由表5可見：外套管自重引起的鋼絞線間的接觸數(shù)量與斜拉索的構造、力學條件有關。隨著斜拉索長度增加，外套管質量增加，斜拉索傾斜角減小，垂度效應加強，導致鋼絞線的接觸數(shù)量增加；從6號索開始，內部鋼絞線的接觸比例已經超過一半；對于長索，內部鋼絞線在外套管自重作用下的接觸比例已接近或達到100%。

表5 銅陵橋各索在外套管自重作用下的接觸情況Table 5 Contact proportion of all cables for Tongling Bridge under self-weight of outer pipe

4 多重耦合下鋼絞線斜拉索的振動特性

根據(jù)第2節(jié)的分析可知，索箍耦合可以保證鋼絞線索股振動一致性，且整數(shù)倍頻與整體性良好的拉索具有比擬性。為了同時考慮索箍、外套管自重的耦合作用對平行鋼絞線斜拉索自振特性的影響，取銅陵橋SM-6 索，使用ANSYS 進行自振分析。

為簡化分析，平行鋼絞線斜拉索仍然取為圖7所示的層疊結構，使用LINK10單元模擬。對于外套管自重引起的耦合效應，當斜拉索做微振動時，可認為耦合狀態(tài)保持與靜力狀態(tài)相同；ANSYS 完成接觸分析后得到的耦合關系可繼續(xù)保留作為模態(tài)分析的耦合條件；此外，為考慮索箍的耦合作用，在索箍位置處建立剛性連接耦合相關節(jié)點。相關計算結果如表6所示。為作對比，表6中“單根拉索”數(shù)據(jù)為按鋼絞線總面積、總索力相同原則等效的整體性良好的單根拉索的振動頻率。

由表6 可見：2 種耦合情況下斜拉索的自振頻率與單索自振頻率的相對差值小于3%，表明耦合使平行鋼絞線斜拉索的振動頻率與等效的單根拉索振動頻率具有較好的比擬性。表6 中“自重作用”列的數(shù)據(jù)對應于安裝索箍前，僅在外套管自重作用下發(fā)生接觸部分的鋼絞線的自振頻率，由于SM6 索僅發(fā)生了6 層層間接觸，外套管的自重僅由接觸部分的鋼絞線承擔，導致振動頻率略有降低；當進一步考慮索箍耦合作用時，表6中“自重作用+索箍”列的數(shù)據(jù)表明平行鋼絞線斜拉索的自振頻率與等效單索的自振頻率相對差值進一步降低。由此可見，隨著耦合因素增多，鋼絞線索股的整體性進一步加強。

表6 SM-6號索自振頻率計算結果Table 6 Calculated self-vibration frequency of SM-6

5 外套管幾何約束

因為錨固直徑大于外套管直徑，所以外套管對索股將產生幾何約束。圖10 所示為銅陵橋采用的幾種OVM 型錨具和外套管相對幾何尺寸關系，圖中綠色圓圈代表外套管，紅色圓點代表鋼絞線束。

根據(jù)圖10 所示的幾何關系可知，處于外套管外側的鋼絞線或者投影圖中與外套管有重疊區(qū)域的鋼絞線，在外套管約束作用下將繼續(xù)內移，與內層鋼絞線發(fā)生接觸；僅統(tǒng)計圖中紅色的鋼絞線數(shù)量，忽略外側鋼絞線內移引起的后續(xù)接觸，可以得到僅在外套管幾何約束作用下的最低接觸比例，如表7所示。

由表7可見：由于外套管的幾何約束作用可使鋼絞線接觸比例達40%甚至更多，且該接觸效應與斜拉索受力無關，僅與鋼絞線索體尺寸有關。

表7 外套管幾何約束作用下的接觸比例Table 7 Contact proportion of stands under constraint of outer pipe

6 耦合作用下振動一致性實測

根據(jù)前述研究可知，各種耦合因素使鋼絞線索股振動同步，耦合后的鋼絞線斜拉索與等效的單根斜拉索具有比擬性?；阢~陵橋SM-1索，對索股振動一致性進行實測驗證。

因平行鋼絞線斜拉索在施工過程中防水罩不下放，有部分索體外露，可以在單根鋼絞線和外套管上分別綁扎拾振器，采集斜拉索的振動信號進行對比。拾振器的綁扎方位如圖11所示。

圖12 所示為試驗組“索體0°-索體90°”和“套管0°-索體90°”2種工況實測結果，其“索體”表示拾振器的綁扎位置為外露的鋼絞線索股，“套管”表示拾振器的綁扎位置為外套管，角度為對應位置處拾振器的方位角。

由圖12 可見：對于同一根索，不同位置和方位角的各拾振器的測試頻率非常接近，雖然無法測量內部索股鋼絞線的振動情況，但至少表明在外套管幾何約束和自重作用下，發(fā)生接觸部分的鋼絞線索股振動是同步的。

按照類似的方法繼續(xù)測量本橋其他的斜拉索，可得到相同的結論。當安裝索箍之后，鋼絞線索股被全部耦合，振動一致性將進一步加強。這也是振動頻率法測試鋼絞線斜拉索索力最重要的前提條件。

7 結論

1)對于常規(guī)的平行鋼絞線斜拉索，索箍使鋼絞線索股全部耦合，振動具有一致性；外套管的幾何約束和自重效應引起的接觸區(qū)域與索體的構造、受力條件有關，可進一步提升斜拉索的耦合強度，當考慮外套管的耦合作用時，斜拉索的整體性得到進一步加強。

2)索股系統(tǒng)的自振頻率是各索股在耦合下作用下振動的綜合體現(xiàn)。相較于整體性良好的拉索，剛性耦合索股系統(tǒng)的自振特性更加復雜，在整數(shù)倍頻之間出現(xiàn)了分數(shù)倍頻，在整體振型之間出現(xiàn)局部振型，且振型分布與耦合的位置和數(shù)量有關。

3)接觸效應保證了耦合索股振動的同步性，使整數(shù)倍頻與整體性良好的拉索的自振頻率具有比擬性。當索股索力分布不均勻時，耦聯(lián)作用也可顯著降低主振頻率與整體性良好的拉索對應階次fsk之間的偏差。當采用振動頻率法測試平行鋼絞線斜拉索索力時，可通過剛性結構對索股進行緊箍來提高測試精度。