馮國(guó)輝，鄭茗旺，竇炳珺，楊天鴻，葛佳佳，徐長(zhǎng)節(jié),6,7，黃益盤(pán)，祝耀東

(1. 浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，浙江杭州，310058；2. 浙江大學(xué)平衡建筑研究中心，浙江杭州，310028；3. 浙江省大成建設(shè)集團(tuán)有限公司，浙江杭州，310012；4. 杭州市錢(qián)江新城建設(shè)開(kāi)發(fā)有限公司，浙江杭州，310020；5. 浙江杭海城際鐵路有限公司，浙江嘉興，314499；6. 華東交通大學(xué)江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌，330013；7. 華東交通大學(xué)軌道交通基礎(chǔ)設(shè)施性能監(jiān)測(cè)與保障國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌，330013；8. 南昌市政公用工程項(xiàng)目管理有限公司，江西南昌，330000)

隨著城市化進(jìn)程不斷加速，城市地下空間的開(kāi)發(fā)越來(lái)越受到人們的關(guān)注，而城市地鐵隧道開(kāi)挖勢(shì)必會(huì)引起周邊地層的變形，盾構(gòu)掘進(jìn)時(shí)也會(huì)不可避免地對(duì)鄰近樁基產(chǎn)生影響。如何準(zhǔn)確預(yù)測(cè)盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基變形及其內(nèi)力變化已成為巖土工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

學(xué)者們對(duì)盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)鄰近樁基的影響進(jìn)行了深入研究[1]。在試驗(yàn)研究方面，MORTON 等[2-3]分別在不同條件下進(jìn)行了模擬試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在樁土相互作用過(guò)程中，盾構(gòu)掘進(jìn)會(huì)改變鄰近樁基周邊土體應(yīng)力-應(yīng)變場(chǎng)，進(jìn)而對(duì)樁基造成不可忽略的影響；XIANG 等[4]采用室內(nèi)實(shí)驗(yàn)法，研究了當(dāng)土體為透明土?xí)r盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)周邊土體的影響，并得到了土體位移的實(shí)測(cè)結(jié)果。在數(shù)值模擬方面，LIU等[5-6]采用數(shù)值方法，利用大型有限元軟件模擬了軟土地區(qū)盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)鄰近群樁的影響。多數(shù)理論解析法將樁基簡(jiǎn)化為梁模型并放置在不同的地基模型上，然后利用力學(xué)平衡條件獲得梁體受力變形解析。目前解析方法大多采用兩階段分析法：第一階段分析盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)周邊自由土體變形的影響[7]；第二階段將軸線(xiàn)處土體自由位移轉(zhuǎn)化成荷載附加在樁基上，再采用合理的模型模擬樁-土相互作用來(lái)求解出樁基變形[8-9]。李早等[10-11]將樁基簡(jiǎn)化成Euler-Bernoulli 梁放置在Winkler 地基模型上并結(jié)合樁基兩端約束情況，利用有限差分法獲得盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基豎向位移差分解；梁發(fā)云等[12]利用最小勢(shì)能原理建立被動(dòng)樁放置在Winkler 地基模型上的變分控制方程，隨后解析得到被動(dòng)樁位移及其內(nèi)力；可文海等[13]將樁基簡(jiǎn)化成放置在Winkler 地基模型上的Euler-Bernoulli 梁，利用函數(shù)疊加法獲得隧道開(kāi)挖引起的鄰近群樁豎向位移解析解。Winkler地基模型計(jì)算簡(jiǎn)單且方便，但該模型忽略了土體的剪切變形，使得鄰近群樁位移計(jì)算值與實(shí)際結(jié)果存在較大誤差。Pasternak地基模型考慮了土體剪切變形，其計(jì)算結(jié)果精度較高，因此被廣泛地用于土與結(jié)構(gòu)相互作用的研究[14-15]。馮國(guó)輝等[16]基于Winkler 和Pasternak 地基模型分別研究了盾構(gòu)掘進(jìn)穿越鄰近高鐵樁基時(shí)，隔離樁對(duì)高鐵樁基的保護(hù)效果；梁發(fā)云等[17]基于Pasternak 地基模型解析得到附加應(yīng)力作用下被動(dòng)樁的水平位移和內(nèi)力；ZHANG等[18]基于Pasternak地基模型及樁側(cè)土體影響，研究了被動(dòng)樁在盾構(gòu)掘進(jìn)下水平向變形響應(yīng)；程康等[19]將樁簡(jiǎn)化成Timoshenko 梁放置在Pasternak 地基上，研究了盾構(gòu)掘進(jìn)引起的樁基水平變形。同時(shí)，學(xué)者們采用更加準(zhǔn)確的三參數(shù)Kerr 地基模型[20]模擬土與結(jié)構(gòu)相互作用[21]。ZHANG 等[22-23]將樁基簡(jiǎn)化成Euler-Bernoulli 梁放置在Kerr 地基模型上，解析得到盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基水平變形差分解，并與既有的Winkler 和Pasternak 地基模型比較，證明了Kerr地基模型中樁基變形響應(yīng)更貼近實(shí)際。

綜上所述，學(xué)者們對(duì)盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基受力變形的理論解析進(jìn)行了大量研究，但在大多數(shù)理論分析的第二階段，都需要結(jié)合有限差分理論求解樁基位移，而有限差分法應(yīng)用于樁端非自由邊界時(shí)會(huì)存在理論缺陷，故有必要利用函數(shù)解析法求解樁基受力變形。目前，人們?cè)谘芯繕锻料嗷プ饔脮r(shí)主要基于單參數(shù)Winkler 和雙參數(shù)Pasternak 地基模型，較少考慮計(jì)算參數(shù)明確的Vlasov 地基模型。為此，本文作者采用兩階段法研究樁土相互作用，在第二階段將盾構(gòu)掘進(jìn)引起的土體自由水平位移轉(zhuǎn)化為荷載施加到樁基上，并將施加的附加荷載轉(zhuǎn)化為傅里葉級(jí)數(shù)代入Vlasov 地基模型控制方程，從而獲得樁基水平變形解析解；隨后，考慮群樁間的土體遮攔效應(yīng)求解出盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近群樁水平位移；最后，將工程實(shí)測(cè)結(jié)果以及有限元模擬結(jié)果與本文方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，并分析地層損失比、隧道埋深、隧道開(kāi)挖半徑對(duì)樁基水平位移的影響。

1 理論解析過(guò)程

1.1 盾構(gòu)掘進(jìn)引起的周邊土體自由場(chǎng)水平位移

LOGANATHAN 等[7]針對(duì)軟土地區(qū)土體變形，提出了盾構(gòu)掘進(jìn)過(guò)程中周邊土體自由位移場(chǎng)計(jì)算公式，因其計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好而被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。根據(jù)LOGANATHAN公式[7]可知，隧道開(kāi)挖引起的鄰近土體自由水平位移場(chǎng)的表達(dá)式為

式中：ε0為地層損失率；R為隧道開(kāi)挖半徑；x為樁基截面中心點(diǎn)至隧道軸線(xiàn)的水平間距；z為樁身某點(diǎn)與地表的垂直間距；H為隧道軸線(xiàn)與地表豎向間距；v為土體泊松比。

1.2 盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近單樁水平位移解析解

圖1所示為盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基水平變形簡(jiǎn)化計(jì)算模型。圖1 中，B為樁基直徑，L為樁基入土深度，盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基軸線(xiàn)處土體水平位移為U(z)=UT(x,z)。本文將樁基簡(jiǎn)化成Euler-Bernoulli 梁放置在Vlasov 地基模型上，并進(jìn)行以下假定：1)樁為彈性體且土為彈塑性連續(xù)變形體；2)樁基與土體緊密接觸，樁基變形和土體變形協(xié)調(diào)一致；3)不考慮樁基與土體之間的摩擦。

基于Vlasov 模型，樁基水平位移的控制方程為

式中：W為樁基水平位移；E為樁基彈性模量；I為樁基截面慣性矩；k為樁側(cè)土的彈簧剛度；t為土體剪切剛度；q(z)為樁基受到的水平外荷載。

根據(jù)Vlasov地基模型理論，彈簧剛度k以及土體剪切剛度2t可表示為

式中：Es為土體彈性模量；υ為土體泊松比；h=h(x)，為表征X方向變化的函數(shù)，大多數(shù)情況下取為線(xiàn)性或指數(shù)變化的函數(shù)，本文采用線(xiàn)性變化的函數(shù)形式；He為地基彈性層厚度，取2.5 倍樁基直徑。

為了解析得到式(2)中樁基水平位移，可將附加應(yīng)力q(z)轉(zhuǎn)化成傅里葉級(jí)數(shù)形式：

式中：

式中：0 ≤z≤L。

通過(guò)式(2)以及式(5)可知樁身水平位移解析解W為

式中：c1，c2，c3和c4均為常數(shù)；

若(2tB)2≥4kEI，則式(8)成立；若(2tB)2＜4kEI，則式（8)中的φ2需要替換成φ2=其中，is為虛數(shù)。

根據(jù)Euler-Bernoulli 梁理論可知，樁基的轉(zhuǎn)角Ψ、彎矩M和剪力Q可分別表示為：

式中：ci(i=5，6，…，16)均為常數(shù)。

令

則C1，C2，C3，C4之間滿(mǎn)足：

式中：χ為傳遞系數(shù)矩陣，

此時(shí)，c5～c16均可用c1～c4唯一表示，故c1～c4可由樁基兩端邊界條件獲得。

1)邊界條件1。如果樁基兩端都是固定端，那么樁基兩端位移和轉(zhuǎn)角均為0，則有

將邊界條件1代入式(7)和(9)可得

2)邊界條件2。如果樁基兩端都是自由端，那么樁基兩端彎矩和剪力均為0，則有：

將邊界條件2代入式(10)和(11)可得：

3)邊界條件3。如果樁基樁頂為固定端，樁底為自由端，那么樁頂滿(mǎn)足位移和轉(zhuǎn)角為0，樁端彎矩和剪力均為0，則有

將邊界條件3代入式(7)，(9)，(10)和(11)可得：

通過(guò)式(16)，(18)和(20)便可得到3種不同條件下的c1～c16，將得到的c1～c16代入式(7)和(9)～(11)，最終得到隧道開(kāi)挖引起的鄰近單樁水平位移解析解。

1.3 盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)鄰近群樁水平位移的影響

當(dāng)盾構(gòu)掘進(jìn)引起樁基處土體水平位移改變時(shí)，樁身處的土體位移會(huì)因相鄰樁基的阻礙作用而減小，這種現(xiàn)象稱(chēng)為樁基的遮攔效應(yīng)。因此，實(shí)際樁基處土體水平位移應(yīng)該為土體自由水平位移和樁基遮蔽水平位移之和，而遮蔽效應(yīng)和土體自由位移場(chǎng)效應(yīng)的作用方向是相反的。

圖2 所示為隧道與群樁位置示意圖，其中，X表示水平方向。假設(shè)不存在樁基，盾構(gòu)掘進(jìn)引起樁1 處土體自由水平位移為U1(z)，樁1 因盾構(gòu)掘進(jìn)引起的實(shí)際水平位移為W1(z)，那么在遮蔽效應(yīng)下樁1處產(chǎn)生的遮蔽位移ΔW1(z) 為

根據(jù)土體遮蔽效應(yīng)[19]可計(jì)算得到由樁1遮蔽效應(yīng)引起的樁2處土體位移U21(z)：

式中：λ為水平向土體傳遞系數(shù)；U2(z)為盾構(gòu)掘進(jìn)在樁2位置產(chǎn)生的土體水平自由位移。

此時(shí)，在盾構(gòu)掘進(jìn)與樁1共同影響下樁2位置處的實(shí)際土體水平位移為

基于此，本文計(jì)算盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近群樁水平位移解析解的具體計(jì)算步驟如下。

步驟1：采用式(1)計(jì)算出盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近樁基軸線(xiàn)處的土體水平自由位移Ui(z)，其中，i=1，2，3，…，n。

步驟2：按照2.2 節(jié)中的方法可計(jì)算得到盾構(gòu)掘進(jìn)引起的各鄰近樁基在單樁情況下的水平位移Wi(z)。

步驟3：根據(jù)式(21)和式(22)可計(jì)算得到在考慮鄰近樁基遮攔效應(yīng)時(shí)，i樁軸線(xiàn)處實(shí)際土體水平位移)=Ui(z)+ ∑Uij( )z，其 中，j≠i，i，j=1，2，3，…，n。

步驟4：將步驟3 得到的實(shí)際土體水平位移代入式(5)得到隧道開(kāi)挖作用下鄰近群樁附加應(yīng)力q(z)，將獲得的附加應(yīng)力q(z)代入式(2)，按照本文解析方法便可解析得到樁基i在盾構(gòu)掘進(jìn)與鄰近既有樁基的共同影響下的群樁水平向變形響應(yīng)。

2 算例驗(yàn)證

2.1 單樁算例

ZHANG等[18]以某工程為背景研究盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)鄰近單樁的影響。工程概況如下：樁徑為1.2 m，樁身有效長(zhǎng)度為28.0 m，樁基模量為30 GPa；隧道軸線(xiàn)與地面豎向凈距為15 m，隧道軸線(xiàn)與樁基軸線(xiàn)水平凈距為5.7 m，隧道分2 個(gè)階段開(kāi)挖，成型隧道直徑為8.25 m，地層損失率為0.5%?；谖墨I(xiàn)[18]中的地層分層情況，利用加權(quán)平均值法計(jì)算得到土體模量Es=54 MPa。

將文獻(xiàn)[18]中的2 種計(jì)算方法與本文計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。文獻(xiàn)[18]中的Winkler和Pasternak地基模型均是基于差分法的計(jì)算結(jié)果，且樁頂樁端邊界條件均為自由端，而在本文采用的計(jì)算方法中，一方面通過(guò)解析得到樁基水平位移的顯式解，另一方面，可以考慮到樁頂固定樁端自由的情況，此時(shí)樁兩端約束情況更加符合實(shí)際工程。由圖3可以看出，本文方法計(jì)算結(jié)果更加接近實(shí)測(cè)結(jié)果，其精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于Winkler地基模型差分解的精度；與Pasternak 差分解相比，本文方法計(jì)算得到的樁基水平位移峰值也更接近實(shí)測(cè)結(jié)果。

2.2 單樁實(shí)測(cè)驗(yàn)證

以杭州軟土地區(qū)在建地鐵隧道側(cè)穿既有鄰近橋梁樁基工程為例，盾構(gòu)開(kāi)挖與橋梁樁基的位置示意圖如圖4所示，其中x為樁基與隧道軸線(xiàn)水平距離。

如圖4 所示，樁長(zhǎng)L=15 m，樁基模量Ep=30 GPa，樁基直徑B=1 m；隧道半徑R=4.90 m，隧道中心線(xiàn)埋深H=20.18 m，隧道中心線(xiàn)到樁基水平凈距x=4.96 m，豎向凈距y=5.18 m，地層損失ε0=1%；根據(jù)勘測(cè)報(bào)告可知，土體泊松比v=0.27。地層土為層狀分布，采用加權(quán)平均值法計(jì)算得到土體模量Es=22 MPa?，F(xiàn)將橋梁樁基視為放置在Vlasov 地基模型上的Euler-Bernoulli 梁，假設(shè)樁頂樁端均為自由端，分別得到3種不同算法下樁基的水平位移與實(shí)測(cè)位移對(duì)比，如圖5所示。

由圖5 可知，相比于差分法計(jì)算得到的Winkler 和Pasternak 地基模型半解析解，本文方法的計(jì)算結(jié)果更加接近于實(shí)測(cè)結(jié)果。這是因?yàn)楸疚姆椒ㄓ?jì)算得到的是樁基水平變形解析顯式解。

2.3 群樁算例

為了驗(yàn)證本文所提方法用于群樁水平位移計(jì)算的準(zhǔn)確性，將LOGANATHAN等[7]采用三維邊界元程序GEPAN 模擬得到的群樁水平位移與本文方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。圖6中，假設(shè)土體為各向同性的彈性均勻體，土體彈性模量Es=24 MPa，泊松比v=0.5，樁基模量Ep=30 GPa，樁基入土深度L=25 m，樁基直徑B=0.8 m，隧道半徑R=3 m，隧道軸線(xiàn)埋深H=20 m，地層損失率ε0=1%。第1 排樁(前樁)距離隧道軸線(xiàn)水平凈距為4.5 m，第2 排樁(后樁)距離隧道軸線(xiàn)水平凈距為6.9 m，兩樁軸線(xiàn)間距為2.4 m。

將群樁中的樁基簡(jiǎn)化成Euler-Bernoulli 梁放置在不同的地基模型上，以研究隧道開(kāi)挖對(duì)后樁水平位移的影響，Winkler 和Pasternak 地基模型差分解結(jié)果與本文方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖7 所示。圖7中，3 種方法均將樁基兩端簡(jiǎn)化成自由端。由圖7可以看出，3種方法所得計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)出的變化趨勢(shì)基本上是一致的，但是相比于傳統(tǒng)的Winkler和Pasternak 地基模型的差分解，本文方法得到的計(jì)算結(jié)果更接近GEPAN 模擬結(jié)果，從而進(jìn)一步證明了顯式解析解的優(yōu)越性。

3 參數(shù)分析

為了研究群樁樁基中地層損失率、隧道直徑、土體模量變化對(duì)后排樁基水平向變形響應(yīng)的影響，取如下參數(shù)進(jìn)行算例分析：1)隧道開(kāi)挖相關(guān)參數(shù)，H=20 m，R=3 m，?=1%。2)樁基的計(jì)算參數(shù)，B=1 m，L=25 m，Ep=30 GPa。假設(shè)土中存在2根樁長(zhǎng)相等的樁基，分析盾構(gòu)掘進(jìn)對(duì)鄰近群樁的影響，前樁位置處軸線(xiàn)到隧道中心線(xiàn)的水平間距x1=4.5 m，后樁位置處軸線(xiàn)到隧道中心線(xiàn)的水平間距x2=7 m。土體模量Es=24 MPa，土體泊松比v=0.5。在參數(shù)分析過(guò)程中，當(dāng)研究某一參數(shù)改變對(duì)鄰近群樁水平位移的影響時(shí)，其他參數(shù)保持不變。本文在對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析的過(guò)程中，樁基兩端均考慮為自由端且僅計(jì)算后排樁的水平位移。

3.1 地層損失率

取5組不同的地層損失率分析群樁在盾構(gòu)掘進(jìn)影響下的水平向變形響應(yīng)，?分別為0.25%，0.50%，0.75%，1.00%和1.25%，并采用本文提出的方法計(jì)算群樁水平位移。

圖8所示為隧道開(kāi)挖引起的不同地層損失率對(duì)鄰近2 根鄰近樁基水平位移的影響。由圖8 可知：當(dāng)?shù)貙訐p失由0.25%增加到1.25%時(shí)，后樁的水平位移均增大，且增幅基本保持不變。這是因?yàn)椋S著地層損失率增大，土體水平位移增大，而樁基處土體自由位移場(chǎng)與地層損失率呈正比，當(dāng)土中樁基受到以相同比例增大的土體位移荷載的影響時(shí)，其水平位移也會(huì)呈等比例增大。

3.2 隧道埋深

取5組不同的隧道開(kāi)挖深度分析群樁在盾構(gòu)掘進(jìn)影響下水平向變形響應(yīng)，隧道埋深分別為16，18，20，22 和24 m，并采用本文提出的方法計(jì)算群樁水平位移。

圖9所示為不同隧道埋深下隧道開(kāi)挖對(duì)鄰近群樁水平位移的影響。由圖9可知，隨著隧道埋深增大，鄰近群樁的最大水平位移也會(huì)逐漸增大，且樁身產(chǎn)生最大水平位移的位置深度也逐漸增大。這是因?yàn)?，樁身位置越接近隧道開(kāi)挖深度，由隧道開(kāi)挖引起的樁身土體水平自由位移也最大。

3.3 隧道開(kāi)挖半徑

取5組不同的隧道開(kāi)挖半徑分析群樁在盾構(gòu)掘進(jìn)影響下的水平向變形響應(yīng)，隧道開(kāi)挖半徑分別為2.50，2.75，3.00，3.25 和3.50 m，并采用本文提出的方法計(jì)算群樁水平位移。

圖10 所示為不同開(kāi)挖半徑下隧道開(kāi)挖引起的鄰近群樁的水平位移。由圖10 可知，當(dāng)隧道開(kāi)挖半徑從2.5 m 增加到3.5 m 時(shí)，群樁水平位移逐漸增大，且位移增速也增大。由LOGANATHAN 公式[7]可知，隨著隧道開(kāi)挖半徑增大，開(kāi)挖引起鄰近樁基處的土體自由水平位移會(huì)呈非線(xiàn)性增大，因此，鄰近群樁水平位移呈非線(xiàn)性增大。

4 結(jié)論

1)由LOGANATHAN 公式計(jì)算得到盾構(gòu)隧道施工引起的周邊自由場(chǎng)水平位移，將土體水平自由位移轉(zhuǎn)化為傅里葉級(jí)數(shù)荷載附加在單樁上，得到考慮樁基兩端不同約束情況下的水平位移解析解，隨后得到考慮了樁基土體的遮攔效應(yīng)的盾構(gòu)掘進(jìn)引起的鄰近群樁水平位移的解析解。

2)通過(guò)將本文方法計(jì)算結(jié)果與已有的Winkler和Pasternak 地基模型半解析解計(jì)算結(jié)果以及工程實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

3)隨著地層損失率及隧道開(kāi)挖半徑增大，鄰近群樁水平位移逐漸增大；隨著隧道埋深增大，鄰近群樁水平位移逐漸增大，且樁身產(chǎn)生最大水平位移的位置深度也逐漸增大。