朱東升，郭忠峰，趙文增

與六自由度并聯(lián)機構(gòu)相比，少自由度機構(gòu)包含的元件較少，結(jié)構(gòu)簡單且緊湊，同時具備運動平穩(wěn)、承載能力大和可控性能好等優(yōu)點。因此，其發(fā)展前景相當(dāng)好，從事這方面研究的人數(shù)也逐年增多[1～2]，如今被廣泛應(yīng)用在機床、醫(yī)療機器人、航天、微型操作等領(lǐng)域[3]。

少自由度并聯(lián)機構(gòu)中包括一種五自由度并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)可分為兩種運動情況，分別為三平移兩轉(zhuǎn)動和三轉(zhuǎn)動兩平移。唐衛(wèi)星等[4]基于拓撲結(jié)構(gòu)理論，全面系統(tǒng)地分析三平移兩轉(zhuǎn)動構(gòu)型模型，并借助仿真軟件證明模型的正確性。王勁松等[5]基于零位形兩步法研究4-SPS-RRTR 并聯(lián)機構(gòu)用作實時位置控制的運動學(xué)反解，這種機構(gòu)可應(yīng)用在推拿機器人方面。王庚祥[6]等研究了五自由度的構(gòu)型模型，分析了運動學(xué)的正反解，得到Jacobian 和Hessian 矩陣。陳修龍等[7]研究了 構(gòu)型，通過引用平方平均靈巧度系數(shù)，對其運動性能進行全方位探討后，得出最優(yōu)的構(gòu)型參數(shù)。O.Piccin 等[8]提出一個可應(yīng)用在醫(yī)療手術(shù)定位方面的并聯(lián)機器人模型，并推導(dǎo)出該模型的正逆運動學(xué)，以及符合實際的裝配方式。鄭魁敬等[9]研究5 自由度并聯(lián)機床運動控制算法，編制系統(tǒng)控制軟件，實現(xiàn)了對機床刀具位置姿態(tài)的控制。曹毅等[10]基于螺旋理論研究了3R2T 構(gòu)型的運動狀況并提出一種解耦方案，并驗證其正確性。

基于以上研究背景，本文對一種五自由度的4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)模型進行研究。

1 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)特點

4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型搭配結(jié)構(gòu)的驅(qū)動支鏈由4 個分支SPS 組成，恰約束主動支鏈由UPU組成[11]（見圖1）。4 個驅(qū)動分支中每一個都含有1 個移動副與2 個球副，其中各個分支都從上平臺開始，第一運動副、第二運動副和第三運動副依次分別為球面副（S）、移動副（P） 和球面副；約束支鏈依次為萬向鉸（U）、移動副和萬向鉸，其中兩個萬向鉸中心分別處在上、下平臺的原點位置。在定平臺上建立定系和動平臺上建立動系。其中O 點位于下平臺中心，P 點位于上平臺中心，上、下平臺是正方形分布，正方形邊長分別為2a 和2b。與上平臺連接在一起的驅(qū)動分支S 副質(zhì)點為Ai，與下平臺連接的S 副質(zhì)心坐標(biāo)為Bi；X 軸和Y 軸分別平行于B2B3與B3B4，Z 軸與下平臺是垂直關(guān)系；動系的x 軸和y 軸分別平行于A2A3與A3A4，z 軸與上平臺為垂直關(guān)系（見圖1）。

圖1 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

2 并聯(lián)機構(gòu)自由度分析計算

筆者采用螺旋理論求解4-SPS/UPU 機構(gòu)的自由度。

首先對驅(qū)動支鏈進行分析，由于四條驅(qū)動分支結(jié)構(gòu)相同，只需分析其中的一條支鏈即可得到四條支鏈的特點。下面挑選出一條支鏈進行旋量討論（見圖2）。

圖2 SPS 支鏈旋量圖

四條支鏈運動旋量表示為

由互易積：$ij·$r=0 可知，該線性方程組無解，即$r不存在，進而得知該螺旋系對運動平臺沒有出現(xiàn)任一方面的限制。所以該支鏈分支的自由度為6，也沒有任何公共約束，即d=6。

由以上分析可知，該機構(gòu)僅限制繞Z 軸方向的轉(zhuǎn)動，所以該并聯(lián)機構(gòu)自由度為5。即動平臺具有三移動和繞X 軸和Y 軸的兩轉(zhuǎn)動。

3 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)分析

3.1 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)位置分析

圖3 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)鳥瞰簡圖

位置反解與正解是對立關(guān)系，位置反解是已知動平臺的運動參數(shù)（x，y，z，α，β） 進而去求驅(qū)動桿的桿長范圍；而位置正解是已得到構(gòu)型基本參數(shù)和驅(qū)動桿（l1，l2，l3，l4，l5） 的變化范圍，求解動平臺的位姿（x，y，z，α，β）。

3.2 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)的速度分析

3.3 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)的加速度分析

借助式（10） 和（11），就能求出4-SPS/UPU 機構(gòu)的加速度正解及逆解。

4 工作空間分析

并聯(lián)機構(gòu)的工作空間是指機構(gòu)動平臺末端執(zhí)行器可運行到的所有工作范圍；工作空間所構(gòu)成的體積大小作為其性能的一個重要考慮內(nèi)容，也從某一方面反應(yīng)該機構(gòu)的執(zhí)行能力。

工作空間可劃分為位置和姿態(tài)工作空間，對于超過3 自由度的并聯(lián)機構(gòu)，由于借助編程軟件無法將全部參數(shù)在坐標(biāo)系中表示，所以采取降維處理方式使得位姿可視化。

另外，關(guān)于工作空間約束除了上面算出的位置方程之外，還包括桿長、運動副角度和干涉約束。

筆者將驅(qū)動支鏈li（i=1，2，3，4） 單位向量分別定義為φ1，φ2，φ3，φ4，φ5，向量npi為動平臺運動副基座在動系{p} 的姿態(tài)，向量nsi為靜平臺運動副基座在靜系{O} 的姿態(tài)。得到并聯(lián)機構(gòu)具體的約束（見圖4）。

圖4 4-SPS/UPU 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角約束

（1） 桿長限制

由于并聯(lián)機構(gòu)中與上、下平臺連接的各個桿分布比較分散，如果桿不發(fā)生干涉就不予考慮。

通過聯(lián)立式（10） ～（17） 與位置約束式（7），滿足所有符合約束條件的全部點所組成的體積就是這個機構(gòu)的工作空間。

機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：a=0.18 m，b=0.3 m；分別?。簂imin=0.4 m，limax=0.6，θsmax=35°，θumax=35°。當(dāng)給定位置α=0°和β=0°時，即可求出工作空間（見圖5）。由圖可知，該位置空間分布規(guī)則且沒有空洞，整體呈球柱體形狀，符合該機構(gòu)的特性。

圖5 4-SPS/UPU 并聯(lián)機構(gòu)工作空間

5 結(jié) 語

（1） 采用螺旋理論分析驗證4-SPS/UPU 構(gòu)型的自由度。通過運動學(xué)分析，構(gòu)建出位置方程，研究4-SPS/UPU 并聯(lián)機器人模型的速度和加速度的求解方法，得到了Jacobian 矩陣。

（2） 根據(jù)機構(gòu)的逆運動求解方程及關(guān)節(jié)約束條件，計算定姿態(tài)下機構(gòu)的工作空間，為其后續(xù)動力學(xué)、運動控制及應(yīng)用提供參考。