方照明 張文理

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 南京 210003)

繩牽連系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高中物理中的一類(lèi)典型問(wèn)題，主要涉及通過(guò)輕繩連接的多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)規(guī)律。繩牽連系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的難點(diǎn)在于涉及多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)和受力情況，需先假設(shè)物體的速度大小和方向，將速度沿繩和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，對(duì)物體運(yùn)用動(dòng)量定理，結(jié)合沿繩方向速度相等的約束條件，列出多個(gè)方程，涉及的未知數(shù)較多，求解過(guò)程復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的思維縝密性和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高。本文介紹繩牽連系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一種簡(jiǎn)單分析方法，解決問(wèn)題時(shí)圍繞“沿繩方向速度相等”這一條件展開(kāi)，涉及的方程數(shù)明顯減少，過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，方法的普適性和拓展性較強(qiáng)。學(xué)生掌握了分析問(wèn)題的關(guān)鍵，為研究更為復(fù)雜的問(wèn)題提供了參考。

1 單牽連基礎(chǔ)模型分析

通過(guò)輕繩相連的兩個(gè)物體組成系統(tǒng)，給其中某一物體一個(gè)瞬時(shí)沖量，研究另一物體的運(yùn)動(dòng)情況。

例1：如圖1所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，用已拉緊的不可伸長(zhǎng)的輕繩互相連接，放在光滑的水平桌面上，若突然給小球1一個(gè)水平的瞬時(shí)沖量I，沖量I與小球1、2連線的夾角為α=60°，求小球2開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。

圖1

1.1 常規(guī)思路

1.2 巧解思路

2 多物體開(kāi)放式繩牽連問(wèn)題

通過(guò)輕繩依次相連的3個(gè)或3個(gè)以上的物體組成系統(tǒng)，首尾兩物體不閉合，給其中某物體一個(gè)瞬時(shí)沖量，研究其他物體的運(yùn)動(dòng)情況。

例2：如圖2所示，4個(gè)質(zhì)量均為m的小球，用已拉緊的不可伸長(zhǎng)的輕繩互相連接，放在光滑的水平桌面上，α=60°，若給小球1一個(gè)沿著小球2、1 連線方向的沖量I，求小球4剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。

圖2

2.1 常規(guī)思路

如圖3所示，設(shè)小球1和2間、小球2和3間、小球3和4間的輕繩產(chǎn)生的沖量大小分別為I1、I2和I3，球1、2、3和4的瞬時(shí)速度分別為v1、v2、v3和v4，其中v2與小球1和2連線的夾角為β、v3與小球2和3連線的夾角為γ。根據(jù)動(dòng)量定理，對(duì)于球1有：I-I1=mv1；對(duì)于球2有：I1-I2cosα=mv2cosβ，I2sinα=mv2sinβ；對(duì)于球3有：I2-I3cosα=mv3cosγ，I3sinα=mv3sinγ；對(duì)于球4有：I3=mv4。根據(jù)沿繩方向速度相等的約束條件，沿小球1、2連線方向上有：v1=v2cosβ，沿小球2、3連線方向上有：v2cos (β+α)=v3cosγ，沿小球3、4連線方向上有：v3cos (γ+α)=v4。

圖3

分析：(1) 4個(gè)小球剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子恰好被拉直，繩子的位置不變；(2) 小球1受到的力產(chǎn)生兩個(gè)共線的沖量，小球4受到的力產(chǎn)生一個(gè)沖量，兩者速度方向沿繩方向。小球2、3受到的力產(chǎn)生兩個(gè)不共線的沖量，可對(duì)小球2、3分方向運(yùn)用動(dòng)量定理；(3) 由于3段輕繩不可伸長(zhǎng)，小球沿繩方向速度相等，可得到三個(gè)約束關(guān)系。[1]

2.2 巧解思路

為簡(jiǎn)化上述分析過(guò)程 ，我們嘗試運(yùn)用“沿繩方向速度相等”這一條件展開(kāi)分析，具體如下。

圖4

分析：(1) 在以上求解中沒(méi)有分析4個(gè)小球的實(shí)際速度，利用動(dòng)量定理，直接寫(xiě)出小球沿繩方向的分速度表達(dá)式；(2) 由于3段繩不可伸長(zhǎng)，每段繩兩端小球沿該繩的分速度大小相等。通過(guò)以上處理，所列方程中涉及的未知量數(shù)量大為減少，計(jì)算簡(jiǎn)便。

3 多物體閉合式繩牽連問(wèn)題

通過(guò)輕繩依次相連的3個(gè)或3個(gè)以上的物體組成系統(tǒng)，首尾閉合，給其中某物體一個(gè)瞬時(shí)沖量，研究其他物體的運(yùn)動(dòng)情況。

圖5

3.1 常規(guī)思路

如圖6所示，設(shè)AD和DC繩中力產(chǎn)生的沖量大小分別為I1和I2，D和C質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度分別為vD和vC，其中vD可正交分解為vD1和vD2。 根據(jù)動(dòng)量定理，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)C有：2I2cosα=mvC；對(duì)于質(zhì)點(diǎn)D有：I1cosα-I2cosα=mvD1，I1sinα+I2sinα=mvD2。

圖6

根據(jù)沿繩方向速度相等的約束條件，沿AD繩方向上有：vcosα=vD1cosα+vD2sinα；沿DC繩方向上有：vCcosα=vD1cosα-vD2sinα。

分析：(1) 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，質(zhì)點(diǎn)B和D的速度大小相同，即有vD1=vB1和vD2=vB2，繩AD和AB中力產(chǎn)生的沖量都為I1，繩DC和BC中力產(chǎn)生的沖量都為I2；(2) 對(duì)4個(gè)質(zhì)點(diǎn)分方向運(yùn)用動(dòng)量定理，由于AD和DC兩段繩不可伸長(zhǎng)，質(zhì)點(diǎn)沿兩繩方向的速度分量相同，可找到兩個(gè)約束關(guān)系。

3.2 巧解思路

為簡(jiǎn)化上述分析過(guò)程，筆者嘗試抓住“沿繩方向速度相等”這一條件展開(kāi)分析。

圖7

分析：(1) 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，繩AD和AB中力產(chǎn)生的沖量都為I1，繩DC和BC中力產(chǎn)生的沖量都為I2，質(zhì)點(diǎn)D、B的運(yùn)動(dòng)情況一樣，可以只分析3個(gè)質(zhì)點(diǎn)；(2) 根據(jù)動(dòng)量定理，可寫(xiě)出3個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿繩方向分速度的方程；(3) 由于繩不可伸長(zhǎng)，每段繩兩端的質(zhì)點(diǎn)沿繩方向上的分速度相等。[2]通過(guò)以上處理，所列方程中涉及的未知量數(shù)量大為減少，計(jì)算簡(jiǎn)便。

4 結(jié)語(yǔ)

在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)于同一類(lèi)問(wèn)題采用不同的解決思路，有利于拓寬學(xué)生的思維和視野，幫助學(xué)生抓住問(wèn)題情境的本質(zhì)。對(duì)于繩牽連系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的研究，筆者通過(guò)圍繞“沿繩方向速度相等”這一條件展開(kāi)，極大簡(jiǎn)化了問(wèn)題解決的步驟，降低了運(yùn)算量，在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“沿繩方向速度相等”的分析思路更容易理解，且能很快地運(yùn)用這種方法解決更復(fù)雜的問(wèn)題。