陳鴻章，李建喜，涂東鑫

(閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000)

1 引言

設(shè)A(G)和D(G)分別為圖G的鄰接矩陣和度對角矩陣,圖的無符號拉普拉斯矩陣定義為Q(G)=D(G)+A(G).對于任意的α∈[0,1],Nikiforov在文獻(xiàn)[2]中給出了如下Aα-矩陣的定義：

Aα(G)=αD(G)+(1-α)A(G).

顯然,

由于Aα(G)是實對稱矩陣,故Aα(G)的所有特征值都是實數(shù).把Aα(G)的特征值按非增順序排列為λ1(Aα(G))≥λ2(Aα(G))≥…≥λn(Aα(G)).同時,Aα(G)的最大特征值λ1(Aα(G))稱為圖G的Aα-譜半徑,記為ρα(G).

被稱為圖G的度數(shù)偏差.Nikiforov在文獻(xiàn)[4]中對ε(G)與s(G)之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，建立了兩者之間的關(guān)系式.更多關(guān)于圖的不正則性的度量方面的研究可參見文獻(xiàn)[6].值得注意的是Nikiforov在文獻(xiàn)[4]中建立了如下ε(G)與s(G)的關(guān)系不等式：

最近, Ji等人在文獻(xiàn)[7]中將上述結(jié)果推廣到圖的Aα-矩陣的譜上，得到了如下結(jié)論.

定理1.1 設(shè)G為G(n,m)中的一個圖, 那么對于α∈[0,1)，有

定理1.2 設(shè)G為G(n,m)中的一個圖,那么對于α∈[0,1),有

(2) 注意到, 在α∈[0,1)時,對比定理1.1和1.2上下界有以下情況.

上界：注意到當(dāng)α∈[0,1)時，α2≤2α-α2，故定理1.2的上界優(yōu)于定理1.1的上界.

下界：注意到當(dāng)α∈[0,1)時,α2·2m△≤α2n△2≤(2α-α2)n△2,故定理1.2的下界要優(yōu)于定理1.1的下界.

2 預(yù)備知識

在本節(jié)中，我們將列出下述引理，其對證明定理1.2有至關(guān)重要的作用.

對于n階的實對稱矩陣N,把其特征值按非增順序排列為λ1(N)≥…≥λn(N).以下引理中的第一個是Weyl矩陣譜理論的經(jīng)典結(jié)果, 適用于更一般的Hermitian矩陣.

引理2.1([8]) 設(shè)A和B是兩個n階的實對稱矩陣,其特征值按非遞增順序排列，則對于任意的1≤i,j≤n,有λi+j-1(A+B)≤λi(A)+λj(B).等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個n維的非零向量, 使得其為這個不等式中的三個特征值中每一個的特征向量.

設(shè)矩陣M的第i行行和為Si(M).對于一個實對稱矩陣的行和與其特征值的關(guān)系, Ellingham和Zha給出了如下結(jié)論.

引理2.2([9]) 設(shè)M為n階的實對稱矩陣,并令μ為M的特征值且其對應(yīng)的特征向量x非負(fù)，則有

進(jìn)一步,若x為正向量，則當(dāng)且僅當(dāng)M的所有行和都相等時，其中的任意一個等號均成立.

3 定理1.2的證明

引理3.1 對于任意的圖G∈G(n,m)，n>1，以及α∈[0,1],有

α2·2m△+2(1-α)2m.

因而

(3.1)

于是

注意到

則有

即

證畢.

引理3.2設(shè)G1和G2是兩個擁有相同頂點集V的n階圖，令G'=(V,E(G1)E(G2)),則有

證明令G''=(V,E(G1)∪E(G2)).由引理2.1可得

ρα(G1)≤ρα(G'')≤ρα(G2)+ρα(G').

根據(jù)(3.1)可以得到

即

證畢.

引理3.3設(shè)G為G(n,m)中的一個圖,那么對于α∈[0,1)，有

證畢.

結(jié)合引理3.1和引理3.3, 我們可以得到本文的主要結(jié)論定理1.2.

致謝本論文得到數(shù)字福建氣象大數(shù)據(jù)研究所和福建省數(shù)據(jù)科學(xué)與統(tǒng)計重點實驗室的資助，在此表示感謝！