黃觀欽，聞 成，盧潔瑩，蘇為洲

(華南理工大學(xué) 自動化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510640)

0 引言

H∞控制器自上世紀80年代提出起便受到了廣泛的關(guān)注，由于其高自由度的設(shè)計和優(yōu)異的理論性能，大量深入研究涌現(xiàn)。根據(jù)文獻[1-3]，H∞控制器階次跟權(quán)重函數(shù)和控制對象階次有關(guān)，在實際應(yīng)用中，權(quán)重函數(shù)和控制對象階次一般較高，會導(dǎo)致計算得到的H∞控制器階次過高，而高階控制器由于其計算量大、數(shù)值誤差大等缺陷，很難應(yīng)用于實際系統(tǒng)。因此，直接設(shè)計低階的固定階次H∞控制器更具有實際應(yīng)用的價值。

對于固定階次H∞控制器的設(shè)計，目前研究主要有2種技術(shù)路線：一是直接設(shè)計低階H∞控制器；二是先設(shè)計全階控制器再降階。文獻[4-8]使用實有界引理和變量消除引理把次優(yōu)H∞控制器的求解轉(zhuǎn)化為對線性矩陣不等式(LMI)[9]的求解。文獻[10]采用廣義KYP引理求解次優(yōu)H∞控制器，同時保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。文獻[11]利用實有界引理和變量約束把問題轉(zhuǎn)化為LMI。這3種方案為了將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸問題，需要額外滿足其他LMI或等式約束，均存在保守性。文獻[12]采用了第2條技術(shù)路線，采用GKYP引理進行控制器降階，使低階控制器和高階控制器在特定頻段的開環(huán)頻率特性盡量接近，從而獲得近似性能，但是無法保證閉環(huán)穩(wěn)定性。文獻[13]給出了一個基于互質(zhì)因式分解的保H∞性能控制器降階的充分條件，把固定階次H∞控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為了頻率加權(quán)的模型降階問題。受LMI設(shè)計方法和文獻[13]的啟發(fā)，本文提出了一種基于互質(zhì)因式分解和KYP引理的固定階次H∞控制器設(shè)計方法，最終以LMI形式得到問題的解。

本文算法將在一個機載小口徑天線上進行驗證。由于小口徑天線具有較好的剛性，目前國內(nèi)主要采用經(jīng)典的PID控制器。然而機載小口徑天線由于重量的限制，其柔性較為明顯，陀螺環(huán)對象特性存在明顯諧振。此時使用PID控制方案，由于PID控制器的局限性，會導(dǎo)致在諧振頻點附近存在陡峭的穩(wěn)定裕度衰減，進而使得PID控制器的性能大為受限，而H∞控制器針對存在諧振的對象，性能表現(xiàn)優(yōu)異。同時，為減小高階次帶來的負面影響，機載小口徑天線適合采用本文固定階次H∞控制器算法設(shè)計的低階H∞控制器。

1 問題描述

本文使用以下標記符號：S表示一簇穩(wěn)定的、正則的、實有理的函數(shù)集；I表示適當(dāng)維度的單位矩陣；在不引起歧義前提下，使用G表示傳遞函數(shù)矩陣G(s)；G*表示傳遞函數(shù)矩陣G的共軛轉(zhuǎn)置。一個下線性分式變換定義為：

Fl(M,X):=M11+M12X(I-M22X)-1M21，

(1)

(2)

考慮n階線性時不變廣義對象P，由如下狀態(tài)空間方程描述：

(3)

式中，x(t)∈n為狀態(tài)變量；w(t)∈mw和u(t)∈mu分別為外部輸入和控制輸入；y(t)∈py和z(t)∈pz分別為測量輸出和被控輸出；A，B1，B2，C1，C2，D11，D12，D21，D22為維數(shù)相容的實常數(shù)矩陣，并且假設(shè)P是可鎮(zhèn)定的和可檢測的。對于P的傳遞函數(shù)模型，簡化表示如下：

P=P11P12P21P22=A1B1B2C1D11D12C2D21D22。

(4)

考慮閉環(huán)系統(tǒng)，其框圖如圖1所示。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of closed-loop system

圖中，K為mu×py控制器，則閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：Tzw=P11+P12K(I-P22K)-1P21=Fl(P,K)。

關(guān)注以下次優(yōu)H∞控制問題：

注1這里之所以只討論次優(yōu)H∞控制器，而不考慮最優(yōu)H∞控制器，是因為最優(yōu)H∞控制器的階次過高，而在工程應(yīng)用中，往往要求控制器為較低階次，這時采用最優(yōu)控制器則不能滿足階次要求。此外，雖然最優(yōu)H∞范數(shù)理論上給出了閉環(huán)性能所能到達的極限，但是實際應(yīng)用中往往沒有這個必要，甚至有時是不希望設(shè)計一個最優(yōu)H∞控制器的。綜上，獲得范數(shù)意義上很接近最優(yōu)的次優(yōu)H∞控制器更有意義。

根據(jù)次優(yōu)H∞控制的描述，本文研究的問題敘述如下：

下面引理給出了所有次優(yōu)H∞控制器的參數(shù)化形式。

圖2 次優(yōu)控制器參數(shù)化示意Fig.2 Block diagram of suboptimal controller parameterization

(5)

式中，

N∞=N11N12N21N22=A^B^1B^2C^1D^11D^12C^2D^21D^22

(6)

N∞的階次等于廣義對象P的階次；N11為mu×py傳遞函數(shù)矩陣；N12，N21，N22分別為維數(shù)相容的傳遞函數(shù)矩陣。

實際應(yīng)用中，P包含了權(quán)重函數(shù)和控制對象，階次較高，因而需要固定階次次優(yōu)H∞控制器階次小于廣義對象P的階次，固定階次控制器的求解才有實際意義。又N∞與P的階次相等，則固定階次控制器的階次應(yīng)小于N∞的階次。由式(5)可知，K的階次與Q的取值有關(guān)，為得到一個低階的固定階次次優(yōu)H∞控制器，直觀的思路就是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計Q，使得K為一個低階的控制器。那么，固定階次次優(yōu)H∞控制器問題可等價描述如下：

雖然上述描述給出了可通過尋找Q求解固定階次次優(yōu)H∞控制器的思路，但是直接尋找這樣的Q是很困難的。下面將給出一個利用式(5)參數(shù)化方法推導(dǎo)而來的保H∞性能控制器降階的充分條件，利用此充分條件進一步可基于LMI得到固定階次次優(yōu)H∞控制器的解。通過此方法可直接得到固定階次次優(yōu)H∞控制器的分子和分母，這是一種間接求Q的方法。簡潔起見，接下來的描述以固定階次H∞控制器代替固定階次次優(yōu)H∞控制器。

2 主要結(jié)果

由于后續(xù)結(jié)果是基于互質(zhì)因式分解框架的，下面給出次優(yōu)H∞控制器互質(zhì)因式分解形式參數(shù)化的相關(guān)結(jié)果。

K=(Φ11Q+Φ12)(Φ21Q+Φ22)-1，

(7)

式中，(Φ11Q+Φ12)(Φ21Q+Φ22)-1為K在S上的右互質(zhì)分解。令Q=0得到的Ksub=Φ12Φ22-1則為所謂中心控制器。式(5)、式(7)所示控制器參數(shù)化方法被稱為Youla參數(shù)化[14]。

證明有

(8)

Fl(N∞,Q)=N11+N12Q(I-N22Q)-1N21=

(Φ11Q+Φ12)(Φ21Q+Φ22)-1，

(9)

證畢。

利用以上結(jié)果，下面給出基于互質(zhì)因式分解的保H∞性能控制器降階的充分條件。

(12)

引理3在已知次優(yōu)H∞控制器參數(shù)化結(jié)果的前提下，把H∞控制問題轉(zhuǎn)化為頻率加權(quán)控制器降階問題。然而，引理3沒有給出求取[UV]T的具體方法。下面將利用以上結(jié)果進一步推導(dǎo)固定階次H∞控制器的求解方法。

引理4[16](KYP引理)給定Acl∈k×k，Bcl∈k×l，Π=ΠT∈(k+l)×(k+l)，若對所有ω∈，有det(jωI-Acl)≠0，那么以下陳述等價：

?ω∈∪{∞}，

(13)

② 存在一矩陣P=PT∈k×k，使得:

(14)

引理4可以把引理3轉(zhuǎn)化為LMI形式，從而把固定階次H∞控制問題轉(zhuǎn)化為LMI優(yōu)化問題。下面給出具體推導(dǎo)。

(15)

代入狀態(tài)空間數(shù)據(jù)可得：

(16)

對比引理4有:

(17)

注3當(dāng)Gcl的狀態(tài)空間數(shù)據(jù)Acl，Bcl，Ccl，Dcl中包含設(shè)計向量時，式(17)為一個BMI[17]。BMI往往是非凸的，難以求解。下面將通過變換，把問題轉(zhuǎn)化為LMI。

引理5[18](舒爾補引理)對于矩陣Θ=ΘT，Ψ=ΨT<0以及Ξ，以下2個陳述等價：

①Θ-ΞΨ-1ΞT<0，

(18)

(19)

式(17)可化簡為:

(20)

應(yīng)用引理5，則式(17)等價于下式：

(21)

式(21)即為熟知的實有界定理的LMI表示形式。若令A(yù)cl，Bcl為常數(shù)矩陣，Ccl()，Dcl()為的仿射，則式(21)為一個LMI。

Gd(s,)

(22)

取Gd(s,)的實現(xiàn)為{Ad,Bd,Cd(),Dd()}，其中,Ad，Bd為常數(shù)矩陣，Cd()，Dd()為的仿射，使得

(23)

至此，固定階次H∞控制問題轉(zhuǎn)化為了LMI形式的優(yōu)化問題。

注4當(dāng)Gd(s,)階次較高且具有較大的零極點或增益時，若不注意實現(xiàn)的形式，比如取為能控標準型，其實現(xiàn)的Ad和Cd()會含有很大的數(shù)值。由于Gd(s,)的實現(xiàn){Ad,Bd,Cd(),Dd()}會直接用于算法的數(shù)值運算，若含有過大的數(shù)值，會導(dǎo)致計算機無法表示和求解。因此，Gd(s,)的實現(xiàn)需要取為恰當(dāng)?shù)男问?，使得{Ad,Bd,Cd(),Dd()}中的系數(shù)大小分布均勻，避免出現(xiàn)過大的數(shù)值，從而提高運算的數(shù)值穩(wěn)定性。

注5由于定理1可整定固定階次控制器的分子和分母，其結(jié)果可用于各種形式的H∞控制器求解，例如：① 固定結(jié)構(gòu)控制器，如PID控制器、超前滯后控制器和固定階次控制器；② 閉環(huán)回路整形，如使用混合靈敏度整形；③ 可通過迭代減小γ，以逼近在給定階次水平下的最優(yōu)H∞控制器。

下面把本文的固定階次H∞控制器算法步驟總結(jié)如下：

② 根據(jù)式(10)和式(11)，計算Φ和Φ-1；

③ 根據(jù)給定階次r以及控制器結(jié)構(gòu)，設(shè)計U，V的共同常系數(shù)分母Den(s)，以及分子NumU(s,)和DenV(s,)；

3 天線伺服系統(tǒng)固定階次H∞控制器設(shè)計

研究對象為0.8 m機載小口徑天線的方位軸陀螺環(huán)伺服系統(tǒng)，對象為單輸入單輸出模型，如下：

該天線方位軸陀螺環(huán)對象伯德圖如圖3所示，可見10.7 Hz處存在一個幅值接近15 dB的諧振峰，說明對象存在很大的柔性，這為控制器設(shè)計帶來很大難度，使用傳統(tǒng)的PID控制方案難以達到滿意效果，將使用固定階次H∞控制器對諧振峰進行整形。本文考慮到天線方位軸陀螺環(huán)對階躍的跟蹤問題，故采用圖4所示的控制結(jié)構(gòu)。

(a) 控制對象模型幅值響應(yīng)

(b) 控制對象模型相位響應(yīng)圖3 小口徑天線方位軸陀螺環(huán)對象伯德圖Fig.3 Bode diagram of the azimuth axis gyro of small antenna

圖4 陀螺環(huán)控制框圖Fig.4 Block diagram of the gyro loop control

在圖4中，r-e跟蹤誤差通道傳遞函數(shù)表示如下：

(24)

由于還要考慮閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需關(guān)注系統(tǒng)的r-y跟蹤通道傳遞函數(shù)，表示為:

(25)

為獲得較好的跟蹤性能，考慮使用加權(quán)函數(shù)WS對跟蹤誤差通道S進行整形，以使S的低頻增益盡量小。同時，為保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，需要跟蹤通道T的高頻增益較小，考慮使用加權(quán)函數(shù)WT對T進行整形。同時，考慮系統(tǒng)跟蹤性能和魯棒穩(wěn)定性的設(shè)計示意框圖如圖5所示。

圖5 H∞控制器設(shè)計示意框圖Fig.5 Block diagram of H∞ controller design

圖5中，w為外部輸入，u為控制輸入，z=[z1z2]T為被控輸出，z1為WS加權(quán)跟蹤誤差通道輸出，z2為WT加權(quán)跟蹤通道輸出，y為測量輸出。

于是得到廣義對象P和閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw分別為:

(26)

(27)

由于需要同時保證較好的跟蹤性能和閉環(huán)穩(wěn)定性，本文設(shè)計WS為低通環(huán)節(jié)以獲得較好的跟蹤性能，設(shè)計WT為高通環(huán)節(jié)以獲得較好的閉環(huán)魯棒穩(wěn)定性。具體權(quán)重函數(shù)如下：

結(jié)合上面對對象特性的分析，為處理對象的諧振并保留PID控制器的優(yōu)勢，希望得到一個PI控制器串聯(lián)陷波器的控制器形式，故選擇給定階次為3，接著應(yīng)用上一節(jié)的算法便可計算固定階次H∞控制器。

需要說明，在算法第③步確定常系數(shù)多項式分母Den(s)時，由于本次實驗需要設(shè)計階次為3的控制器，結(jié)合天線陀螺環(huán)對象特性，只需在對象帶寬內(nèi)取3個合理極點即可，本實驗取Den(s)=(s+10)(s+50)(s+100)。應(yīng)用算法第④步時，考慮到運算的數(shù)值大小限制和精度，Gd(s,)的實現(xiàn)取為適當(dāng)形式，從而使得矩陣{Ad,Bd,Cd(),Dd()}的系數(shù)數(shù)值盡量小，有利于后面的算法數(shù)值計算。

經(jīng)計算，得到三階固定階次H∞控制器如下：

該三階控制器可看作由一個二階陷波器和一個PI控制器組成。

為了對比，給出一個性能較好的PI控制器如下：

(28)

表1 不同控制器的和ε對比Tab.2 ε comparison of the controllers

(a) 不同控制器幅值響應(yīng)

(b) 不同控制器相位響應(yīng)圖6 不同控制器伯德圖Fig.6 Bode diagram of the controllers

(a) 不同控制器開環(huán)幅值響應(yīng)

(b) 不同控制器開環(huán)相位響應(yīng)圖7 不同控制器開環(huán)伯德圖Fig.7 Open-loop bode diagram of the controllers

表2 不同控制器開環(huán)性能指標對比Tab.2 Open-loop performance comparison of the controllers

圖8 不同控制器仿真階躍響應(yīng)圖Fig.8 Simulated step responses of the controllers

圖9 不同控制器實測階躍響應(yīng)Fig.9 Tested step responses of the controllers

4 結(jié)束語

本文探索和驗證了基于LMI和互質(zhì)因式分解的固定階次H∞控制器設(shè)計方法。利用KYP引理，把基于互質(zhì)因式分解的保H∞性能控制器降階問題轉(zhuǎn)化為給定階次約束下的H∞控制器設(shè)計問題，最終把問題轉(zhuǎn)化對LMI的求解。在天線伺服系統(tǒng)上的仿真和測試結(jié)果表明，本文得到的固定階次H∞控制器性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法的H∞控制器和常用PI控制器，所描述算法實用有效。針對單輸入單輸出系統(tǒng)進行固定階次H∞控制器設(shè)計，下一步將把算法擴展至多輸入多輸出系統(tǒng)。