郝金鵬，杜迎春，伍 弘，和 琨，汪 壘

（1國(guó)網(wǎng)寧夏電力有限公司電力科學(xué)研究院，寧夏 銀川 750001；2國(guó)網(wǎng)寧夏電力有限公司吳忠供電公司，寧夏 吳忠 751100；3中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

在實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰、碳中和”目標(biāo)的背景下，可 再生能源的發(fā)展對(duì)于經(jīng)濟(jì)社會(huì)高質(zhì)量發(fā)展、可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。但是，可再生能源如太陽能、風(fēng)能、潮汐能等具有時(shí)間依賴性，地域性和間歇性的特征[1]，不利于可再生能源的開發(fā)和高效利用。儲(chǔ)能技術(shù)可在一定程度上解決這樣的問題，從而提高可再生能源的消納比例、平衡能源的供需[2]。潛熱儲(chǔ)熱技術(shù)作為眾多儲(chǔ)能技術(shù)的一種，因具有容積儲(chǔ)熱密度大、儲(chǔ)熱過程近似恒溫、設(shè)備簡(jiǎn)單、安全可靠等優(yōu)點(diǎn)，在新能源利用、電網(wǎng)儲(chǔ)能等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[3]。

潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)是利用相變材料在相態(tài)變化過程中吸收或釋放大量的熱量進(jìn)行能量存儲(chǔ)的，但是由于相變材料的熱導(dǎo)率往往較低，影響儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱/放熱，為了實(shí)現(xiàn)能量的高效利用，需要對(duì)相變材料的相變過程采取強(qiáng)化傳熱措施。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了大量的相變傳熱強(qiáng)化技術(shù)。這些相變傳熱強(qiáng)化技術(shù)可以大致分為兩類：被動(dòng)相變強(qiáng)化技術(shù)和主動(dòng)相變強(qiáng)化技術(shù)。其中被動(dòng)技術(shù)已經(jīng)被廣泛而深入地研究，常用的有添加高熱導(dǎo)顆粒、使用翅片、嵌入泡沫金屬等，這些技術(shù)雖然可以很好地提高潛熱系統(tǒng)的蓄熱速率，但是有學(xué)者指出這些通過添加外部材料來提高相變材料有效熱導(dǎo)率的技術(shù)會(huì)減少相變材料的體積，且在一定程度上會(huì)影響系統(tǒng)的對(duì)流換熱效率[4]。與被動(dòng)技術(shù)不同，主動(dòng)強(qiáng)化技術(shù)不占用潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)相變材料的體積，可以最大限度地發(fā)揮系統(tǒng)的儲(chǔ)熱性能，在主動(dòng)強(qiáng)化技術(shù)中，基于電流體動(dòng)力學(xué)的電場(chǎng)強(qiáng)化傳熱技術(shù)因具有低能耗、設(shè)備簡(jiǎn)單、無額外機(jī)械部件等優(yōu)點(diǎn)逐漸受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，且取得了一些實(shí)質(zhì)性的成果[5]。

雖然已有研究對(duì)于揭示電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變的內(nèi)在機(jī)理具有重要意義，但是其研究對(duì)象的側(cè)壁面溫度多為均勻分布，實(shí)際上，非均勻溫度分布在工業(yè)應(yīng)用中更為常見。因此，本文在側(cè)壁面正弦加熱方式下，考察電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變的實(shí)際效果以及加熱方式對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變效果的影響。這對(duì)實(shí)際應(yīng)用中潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有一定的參考和指導(dǎo)意義。本文將從問題描述、數(shù)值方法、結(jié)果與討論，結(jié)論四個(gè)方面展開。

1 問題描述

側(cè)壁面正弦加熱條件下電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變的物理模型如圖1所示。邊長(zhǎng)為δ的正方形腔體內(nèi)充滿熔點(diǎn)為θm的相變材料。腔體右側(cè)為低溫壁面，溫度保持恒定為θc(θc=θm)；腔體左側(cè)為加熱壁面，其溫度分布呈正弦變化，即θ=θh+Asin(2πωy/δ+Φ)，其中A、ω和Φ分別為正弦函數(shù)的振幅、角頻率以及初相。此外，右壁面接地(?0)，左壁面施加高壓直流電(?1)，電荷(q1)由左壁面注入。上下壁面絕緣絕熱，無滑移無滲透。模擬時(shí)，為簡(jiǎn)化問題，作了如下假設(shè)：①相變材料液相區(qū)的流動(dòng)為不可壓縮牛頓流動(dòng)；②相變材料固液相熱物性參數(shù)相同，且在熔化過程中保持恒定；③相變材料為“非歐姆固體”，即電荷可以在固相區(qū)通過滑移和擴(kuò)散機(jī)制進(jìn)行傳輸；④體積力中流體密度隨溫度的變化滿足標(biāo)準(zhǔn)的Boussinesq假設(shè)。

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the physical model

該系統(tǒng)的宏觀控制方程如下所示

其中，矢量u、E、g分別為流體速度、電場(chǎng)和重力加速度；標(biāo)量q、θ、?、H分別代表電荷密度，溫度，電勢(shì)以及焓；此外，p、u、β、ε、K、D、cp、ρ0、λ分別為修正壓力、運(yùn)動(dòng)學(xué)黏性、熱膨脹系數(shù)、介電常數(shù)、離子遷移率、電荷擴(kuò)散系數(shù)、比熱容、平均密度以及熱導(dǎo)率。另外，總焓H=cpθ+flL，其中的cpθ為顯焓，flL為潛焓，fl表示相變材料熔化過程中，液體部分占相變材料總體積的比例，L則為相變材料所具有的潛熱。

包括表征浮升力大小和庫侖力大小的熱瑞利數(shù)Ra以及電瑞利數(shù)T；表征電荷注入強(qiáng)度的C；無量綱離子遷移率M和無量綱電荷擴(kuò)散系數(shù)α；普朗特?cái)?shù)Pr表征流體流動(dòng)過程中動(dòng)量交換與熱交換的比；斯蒂芬數(shù)Ste則表征相變材料的顯熱和潛熱的比。另外，引入廣泛使用的傅里葉數(shù)表征相變材料的熔化過程

2 數(shù)值方法

2.1 流場(chǎng)的格子Boltzmann模型

基于相變材料熔化過程中液相區(qū)域流體的不可壓縮牛頓流動(dòng)假設(shè)，我們采用Guo 等人[6]提出的不可壓縮格子Boltzmann模型來求解流場(chǎng)，其對(duì)應(yīng)的演化方程可由以下式給出

2.2 電荷密度的格子Boltzmann模型

為求解電荷守恒方程，我們采用Luo 等人[8]在2016 年建立的格子Boltzmann 模型，該模型可以有效刻畫帶電粒子的遷移、對(duì)流以及擴(kuò)散三種傳輸機(jī)制，從而獲得電荷密度的宏觀分布，其演化方程如下

松弛時(shí)間由下式計(jì)算得到

2.3 電勢(shì)的格子Boltzmann模型

針對(duì)電勢(shì)的求解，我們采用Chai等人[9]提出的求解Poisson 方程的格子Boltzmann 模型，對(duì)應(yīng)的演化方程為

其中t'為控制迭代速率的偽時(shí)間，ξ為自定義擴(kuò)散系數(shù)，在數(shù)值模擬過程中，為平衡演化速率和穩(wěn)定性，其值固定為0.5。此外源項(xiàng)R等于R/ε，而平衡態(tài)分布函數(shù)由式(24)給出

2.4 基于焓的雙松弛格子Boltzmann模型

我們采用Lu等人[10]提出的基于焓的雙松弛時(shí)間LB 模型間接求解溫度分布，分析表明，采用雙松弛時(shí)間能夠有效解決相變過程中固液界面處的非物理擴(kuò)散問題。該模型對(duì)應(yīng)的演化方程為

2.5 程序驗(yàn)證

在進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)值探究之前，針對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變問題，我們首先對(duì)當(dāng)前所使用的算法進(jìn)行了驗(yàn)證，在均勻加熱壁條件下，將電場(chǎng)作用下相變材料的熔化時(shí)間與文獻(xiàn)[5]中的模擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表1所示，可以看到，我們的結(jié)果與已有結(jié)果吻合較好。

表1 側(cè)壁均勻加熱時(shí)，電場(chǎng)作用下相變材料熔化時(shí)間減少的百分比Table 1 Percentage reduction in melting time of PCM with electric field

3 結(jié)果與討論

在此部分內(nèi)容中，我們對(duì)方腔內(nèi)側(cè)壁面正弦加熱條件下的電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，主要考察了電瑞利數(shù)0≤T≤2500，振幅0≤A≤0.9，角頻率1.0≤ω≤6.0 以及初相0≤Φ≤2π 對(duì)電場(chǎng)作用下蓄熱系統(tǒng)蓄熱的影響，模擬中如未做另外說明，其他無量綱參數(shù)分別固定為：Ra=10000，Pr=10，Ste=0.1，C=10，M=10，α=10-3；且加熱壁面的溫度為振幅A=0.5，角頻率ω=1.0，初相Φ=0的正弦分布，此外，A=0、ω=0 均表示均勻加熱壁面。

3.1 電瑞利數(shù)對(duì)潛熱系統(tǒng)蓄熱的影響

首先考察電瑞利數(shù)T的影響，不同電瑞利數(shù)下，相變材料熔化過程中液體體積分?jǐn)?shù)隨時(shí)間的變化如圖2 所示，圖例中的T=0 表示未施加電場(chǎng)的情況，從圖中可以看到，與沒有電場(chǎng)時(shí)相比，施加電場(chǎng)以后，熔化速率得到提升，熔化總時(shí)間減少，并且隨著電瑞利數(shù)的增大，熔化速率不斷提高，熔化總時(shí)間不斷縮短。值得注意的是，T=0時(shí)，在熔化后期，液體體積分?jǐn)?shù)變化曲線的斜率不斷下降甚至幾乎為零，熔化速率緩慢，施加電場(chǎng)后，曲線在中期斜率較大，且在后期無明顯變化，熔化速率始終較快。

圖2 不同電瑞利數(shù)下相變材料液體體積分?jǐn)?shù)fl隨時(shí)間Fo的變化情況Fig.2 Time evolutions of the liquid fraction fl for different electric Rayleigh numbers

為了更直觀地反映電場(chǎng)對(duì)相變材料熔化的強(qiáng)化效果，揭示電場(chǎng)提高蓄熱系統(tǒng)蓄熱背后的相關(guān)機(jī)理，圖3 給出了不同的電瑞利數(shù)T下，相變材料熔化到Fo=0.90 時(shí)的電荷密度、溫度以及流線分布。整體上，隨著電瑞利數(shù)的增大，羽狀的電荷密度分布越來越混亂，溫度分布更加均勻，流動(dòng)越來越不規(guī)則。具體來看，沒有電場(chǎng)時(shí)(T=0)，由于左壁面施加了正弦溫度邊界條件，壁面的下半部分加熱溫度較高，而上半部分加熱溫度較低，在對(duì)流換熱的影響下，相變材料的中間部分熔化較快，固液界面呈“凸”形。施加電場(chǎng)后，即T=500時(shí)，電對(duì)流被激發(fā)，原本的一個(gè)環(huán)流渦逐漸變成上下兩個(gè)次級(jí)漩渦，此時(shí)，由于下部分加熱壁溫度較高，在浮升力的作用下下半部分次級(jí)渦更有利于相變材料中間部分的熔化，固液界面更加凸起。電瑞利數(shù)增大以后(T=1000)，在電荷密度分布圖中可以看到兩個(gè)區(qū)域的電荷密度明顯較低，這是庫侖力驅(qū)動(dòng)下電對(duì)流的典型特征，可稱其為電荷空白區(qū)。此外，對(duì)流渦的數(shù)量進(jìn)一步增多，這有利于冷熱流體的充分混合，相變材料的下半?yún)^(qū)熔化變快，固液界面變成斜波浪形。電瑞利數(shù)增大到一定程度以后，即T=1500，2000，電荷空白區(qū)充斥在腔體中間，電荷主要沿著上下壁面?zhèn)鬏敚瑢?duì)流強(qiáng)度進(jìn)一步增大，且由于側(cè)壁下半部分的溫度較高，在電對(duì)流的主導(dǎo)下，下半?yún)^(qū)的換熱速率最快，相變材料熔化迅速。電瑞利數(shù)進(jìn)一步增大，達(dá)到2500 后，相變材料的上下部分均已經(jīng)熔化完畢，正弦溫度分布的影響被掩蓋，系統(tǒng)呈現(xiàn)庫侖力主導(dǎo)下的熔化特征。

圖3 不同電瑞利數(shù)下相變材料熔化到Fo=0.90時(shí)，電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布情況Fig.3 Distribution of the charge density,temperature and streamlines at Fo=0.90 under different electric Rayleigh number

在以上的探究中，正弦加熱邊界條件的振幅、角頻率以及初相均為固定值，事實(shí)上，這些參數(shù)直接影響蓄熱系統(tǒng)內(nèi)部的溫度分布情況，特別是高溫加熱部分，對(duì)系統(tǒng)的蓄熱會(huì)產(chǎn)生顯著影響，下文將系統(tǒng)探究這三個(gè)參數(shù)的影響。

3.2 振幅對(duì)潛熱系統(tǒng)蓄熱的影響

振幅表征正弦加熱邊界的最高加熱溫度和最低加熱溫度的大小，振幅越大，加熱板溫度越不均勻。圖4 展示的是振幅從0 增加到0.9 時(shí)，不同電瑞利數(shù)情況下，潛熱系統(tǒng)蓄熱完畢所需要的時(shí)間，需要注意的是，由于不同電瑞利數(shù)下，熔化時(shí)間相差較大，為了更好地反映振幅的影響規(guī)律，我們對(duì)同一電瑞利數(shù)下的數(shù)據(jù)作了中心化處理。從圖中可以看到，未施加電場(chǎng)時(shí)，隨著振幅的增大，蓄熱時(shí)間呈下降趨勢(shì)；電瑞利數(shù)取500時(shí)，蓄熱時(shí)間先下降后增大；電瑞利數(shù)達(dá)到1500 時(shí)，蓄熱時(shí)間隨著振幅的增大，不減反增。實(shí)際上，只有浮升力作用時(shí)，由于流體受熱上浮，在均勻加熱條件下，熱量會(huì)聚集在腔體的上半?yún)^(qū)，而施加正弦加熱條件以后，下半?yún)^(qū)溫度的升高會(huì)使得此部分液體層的溫差增大，這在一定程度上改善了下半?yún)^(qū)熔化遲緩的局面，并且隨著振幅的增大，溫差變大，蓄熱速率有所提升，蓄熱時(shí)間便減少。為了解釋為什么電場(chǎng)作用下振幅的影響規(guī)律與沒有電場(chǎng)時(shí)存在較大差異，圖5中給出了T=1500時(shí)，不同振幅的條件下，相變材料熔化到Fo=1.0 時(shí)電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布。可以看到兩種情況下，電對(duì)流均充分發(fā)展，電荷空白區(qū)充滿腔體中間區(qū)域，在上下壁面處均存在電羽。但是，當(dāng)振幅較小時(shí)(A=0.1)，加熱壁面溫度分布較為均勻，電對(duì)流在浮升力的協(xié)助下，一同驅(qū)動(dòng)蓄熱的進(jìn)行，上下兩區(qū)域的熔化速率較為統(tǒng)一，固液界面呈垂直分布。而當(dāng)振幅增大后，即A=0.9時(shí)，雖然可以明顯地看到上下區(qū)域均存在對(duì)流渦，電對(duì)流結(jié)構(gòu)與A=0.1時(shí)類似，但是由于加熱壁面溫度分布不均勻，下半?yún)^(qū)液體層的溫差很大(Δθ=1.9)，上半?yún)^(qū)液體層的溫差很小(Δθ=0.1)，導(dǎo)致下半?yún)^(qū)在電對(duì)流的加持下，熔化很快，而上半?yún)^(qū)雖然受電對(duì)流的影響流動(dòng)強(qiáng)度并不弱，但是由于流體溫度較低，所以相變材料熔化緩慢。

圖4 振幅對(duì)熔化時(shí)間的影響Fig.4 The impact of amplitude on the melting time

圖5 不同振幅下相變材料熔化到Fo=1.0時(shí)，電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布情況(T=1500)Fig.5 Distribution of the charge density,temperature and streamlines at Fo=1.0 with T=1500

3.3 角頻率對(duì)潛熱系統(tǒng)蓄熱速率的影響

本節(jié)中，我們考察角頻率對(duì)蓄熱系統(tǒng)蓄熱速率的影響。圖6 描繪的是角頻率從0 增加到0.9 時(shí)，不同電瑞利數(shù)情況下，潛熱系統(tǒng)蓄熱完畢所需要的時(shí)間，同振幅一樣，電瑞利數(shù)相同時(shí)的數(shù)據(jù)做了中心化處理。另外，此處的橫坐標(biāo)標(biāo)簽“7”表示均勻加熱。從圖中可以看到，不同的電瑞利數(shù)下，角頻率的影響規(guī)律類似，即角頻率較小時(shí)，其對(duì)系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間影響較大，而角頻率增大到一定程度之后，系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間無明顯變化，且與均勻加熱情況下的蓄熱時(shí)間接近。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)三種情況下，蓄熱系統(tǒng)均在角頻率等于1.5 時(shí)達(dá)到最快的蓄熱速率，蓄熱時(shí)間最短。我們選取T=1500 作為代表，對(duì)此結(jié)果進(jìn)行分析。圖7 中給出了電瑞利數(shù)T=1500，角頻率為1.5 時(shí)，相變材料熔化到Fo=0.45和Fo=1.14時(shí)電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布?？梢钥吹剑诖思訜釛l件下，加熱壁的上端和下端均為高溫，隨著熔化的進(jìn)行，空電荷區(qū)由兩個(gè)變成一個(gè)，對(duì)流渦也由兩對(duì)變成一對(duì)，這是由于熔化過程中液體層的長(zhǎng)寬比變化所導(dǎo)致的。這兩種對(duì)流結(jié)構(gòu)均能夠保證上下壁面附近的流體攜帶由高溫壁面輸入的熱量撞擊固液界面，從而加速相變材料的熔化，潛熱系統(tǒng)蓄熱速率便得到提高。

圖6 角頻率對(duì)蓄熱時(shí)間的影響Fig.6 The impact of wave number on the melting time

圖7 角頻率取1.5時(shí)，相變材料熔化到Fo=0.45和Fo=1.14時(shí)電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布情況(T=1500)Fig.7 Distribution of the charge density,temperature and streamlines at Fo=0.45 and Fo=1.14 with ω=1.5,T=1500

3.4 初相對(duì)潛熱系統(tǒng)蓄熱的影響

考察初相對(duì)潛熱系統(tǒng)蓄熱的影響，初相直接影響加熱壁高溫區(qū)域的位置，已有研究表明高溫區(qū)的位置對(duì)系統(tǒng)的蓄熱具有重要影響[11]。圖8 給出的是初相從0變?yōu)?π，不同電瑞利數(shù)情況下，潛熱系統(tǒng)蓄熱完成所需要的時(shí)間，同樣，電瑞利數(shù)相同時(shí)的數(shù)據(jù)也做了中心化處理?？梢钥吹?，各個(gè)曲線呈現(xiàn)類三角函數(shù)波動(dòng)的分布。其中，只有浮升力的情況下，初相在3π/2 附近時(shí)，潛熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間最短，而施加電場(chǎng)之后，T=500時(shí)，潛熱系統(tǒng)加熱壁溫度分布的初相為π/2 的蓄熱時(shí)間最短，當(dāng)T=1500，初相對(duì)蓄熱速率又無太大影響。為了定性分析出現(xiàn)這樣結(jié)果的原因，圖9 給出了T=500 時(shí)，加熱壁溫度分布的初相在π/2和3π/2的情況下，相變材料熔化到Fo=2.0 時(shí)電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布?？梢园l(fā)現(xiàn)初相為π/2時(shí)，加熱壁的高溫區(qū)位于壁面的上下兩端，而初相為3π/2 時(shí)，加熱壁的高溫區(qū)位于壁面的中心，通過上面兩節(jié)的分析已經(jīng)知道，在浮升力的驅(qū)動(dòng)下，高溫區(qū)域位于加熱板的中下部位更有利于潛熱系統(tǒng)蓄熱，因此不難理解T=0時(shí)，初相為3π/2時(shí)蓄熱時(shí)間最短。而當(dāng)T=500時(shí)，加熱壁上下兩端的高溫區(qū)域排布更有利于電對(duì)流發(fā)揮作用，所以初相為π/2時(shí)，潛熱系統(tǒng)蓄熱速率最快。最后，當(dāng)電瑞利數(shù)足夠大，即T=1500，電對(duì)流強(qiáng)度較大且相對(duì)不穩(wěn)定，強(qiáng)烈的非線性不穩(wěn)定性使得電羽不斷擺動(dòng)，因此不管加熱壁的高溫區(qū)域如何變化電對(duì)流都能夠?qū)崃枯^為均勻地傳輸至固液界面，加速相變材料的熔化，因此初相的影響不明顯。

圖8 初相對(duì)熔化時(shí)間的影響Fig.8 The impact of phase deviation on the melting time

圖9 不同初相下相變材料熔化到Fo=2.0時(shí)，電荷密度、溫度以及流場(chǎng)的分布情況(T=500)Fig.9 Distribution of the charge density,temperature and streamlines at Fo=2.0 under different phase deviation with electric Rayleigh number T=500

4 結(jié) 論

本文使用格子Boltzmann方法對(duì)側(cè)壁面正弦加熱條件下的電場(chǎng)強(qiáng)化固液相變問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，考察了電場(chǎng)力對(duì)相變材料熔化過程的強(qiáng)化效果以及加熱壁面溫度分布對(duì)強(qiáng)化效果的影響：

（1）在側(cè)壁面正弦加熱條件下，電場(chǎng)的存在會(huì)激發(fā)電對(duì)流，增強(qiáng)對(duì)流換熱，從而有效提高潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱速率，縮短潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間；

（2）其他參數(shù)相同時(shí)，沒有電場(chǎng)的情況下，加熱壁面溫度變化的振幅越大，潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間越短，而施加電場(chǎng)以后，均勻加熱更有利于潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱過程；

（3）其他參數(shù)相同時(shí)，不論是否施加電場(chǎng)，加熱壁面溫度變化的角頻率取1.5 時(shí)，潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間最短；

（4）其他參數(shù)相同時(shí)，沒有電場(chǎng)的情況下，初相在3π/2附近，潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間最短，施加電場(chǎng)以后，對(duì)于較小的電瑞利數(shù)，潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間在初相為π/2時(shí)最短，而電瑞利數(shù)足夠大以后，初相對(duì)潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)的蓄熱時(shí)間影響不明顯。