包 蕓，何建超，方明衛(wèi)

(中山大學 航空航天學院， 深圳 518107)

0 引 言

在自然界和生活中，對流是一種廣泛存在的現(xiàn)象，而Rayleigh-Bénard（RB）熱對流則是從中抽象出來的經(jīng)典模型之一[1-3]。RB熱對流系統(tǒng)是一個封閉的腔體，上導板恒溫冷卻，下導板恒溫加熱，腔體內(nèi)的流體受浮力驅(qū)動而運動。RB熱對流系統(tǒng)的控制參數(shù)有三個，分別是Rayleigh數(shù)（Ra）、Prandtl數(shù)（Pr)和寬高比(Γ)，其中，Ra數(shù)反映系統(tǒng)上下板的無量綱溫差；Pr數(shù)僅與流體的性質(zhì)有關(guān)，表示流體的黏性與熱擴散的相對強度。系統(tǒng)的整體響應(yīng)參數(shù)有兩個，Nusselt數(shù)（Nu）和Reynolds數(shù)（Re），分別反映系統(tǒng)的傳熱效率和湍流強度。

多年來，Ra、Pr對Nu、Re的影響一直是RB熱對流的核心問題。關(guān)于這個問題，前人提出了很多關(guān)于Nu(Ra,Pr)和Re(Ra,Pr)的模型[4-8]，其中最成功的是Grossmann和Lohse提出的GL理論[9-10]。多數(shù)關(guān)于RB熱對流系統(tǒng)的研究都是基于實驗或者三維數(shù)值模擬，而GL理論是基于二維的方程發(fā)展而來的。盡管二維RB熱對流在小Pr數(shù)時與三維RB熱對流的結(jié)果有所不同[11]，但是仍然體現(xiàn)很多三維RB熱對流的重要特征[11-14]。因此，近年來有很多關(guān)于二維RB對流數(shù)值模擬的研究，包括傳熱效率[15-17]、邊界層[18-19]、大尺度環(huán)流的翻轉(zhuǎn)[20-21]、能量耗散[22-23]等。在GL理論中，有關(guān)Ra數(shù)的結(jié)果得到了大量二、三維數(shù)據(jù)的驗證[12,15,24-25]，但是對于Nu數(shù)和Re數(shù)對Pr數(shù)的依賴性研究相對較少[4,26-27]。在前人的研究中，Nu數(shù)與Pr數(shù)的關(guān)系分為兩個階段，第一階段是Pr數(shù)較小時(Pr≤ 1)，Nu數(shù)隨Pr數(shù)增大快速上升，在Pr≈ 3時達到最大值；第二階段是Pr數(shù)較大時，Nu數(shù)不隨Pr數(shù)變化[12,28-29]，或部分結(jié)果認為Nu～Prβ，|β| ＜ 0.1[30-32]。而Re關(guān)于Pr的關(guān)系同樣在小Pr數(shù)和大Pr數(shù)的時候有所差異[29-32]。在大Pr數(shù)下，有關(guān)RB熱對流系統(tǒng)流動特征的研究相對較少。

在RB熱對流中，常見的結(jié)構(gòu)有冷熱羽流、大尺度環(huán)流、角渦、溫度邊界層等。在特定Pr數(shù)下，在寬高比為1的方腔中會出現(xiàn)大尺度環(huán)流，并且冷熱羽流會隨著大尺度環(huán)流運動，對系統(tǒng)的傳熱有重要影響[33-34]。隨著Pr數(shù)的變大，系統(tǒng)的流態(tài)會發(fā)生變化，從明顯的大尺度環(huán)流轉(zhuǎn)變成羽流主導的流態(tài)[17,31-32,35]，系統(tǒng)的流動會變得更加紊亂。研究二維大Pr數(shù)下的流態(tài)變化和結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變，可以更清楚地認識對大Pr數(shù)下RB熱對流系統(tǒng)的傳熱與流態(tài)之間的關(guān)系。

本文計算了Pr= 10、20，Ra= 1×108～1×1012范圍內(nèi)的多個二維RB熱對流系統(tǒng)算例，并與小Pr數(shù)Pr=4.3的情況進行對比，討論大Pr數(shù)的大尺度環(huán)流形態(tài)特征，定量刻畫大尺度環(huán)流的形態(tài)以及系統(tǒng)Re數(shù)隨Ra數(shù)的變化特征。

1 湍流熱對流DNS的并行直接求解

在Oberbeck-Boussinesq近似下，引入特征長度H，特征溫度 ΔT、特征速度以及特征時間τ=H/U對熱對流方程進行無量綱化，得到:

其中，u為 無量綱速度矢量；θ為無量綱溫度；k為單位垂向矢量；p為壓力；無量綱參數(shù)Ra =(βgΔTH3)/(κν)為Rayleigh數(shù)，β為熱膨脹系數(shù)，g為重力加速度，ΔT為上下壁面溫差，H為系統(tǒng)裝置的高度，W為寬度，Γ=W/H反映了對流系統(tǒng)的幾何尺寸，κ為熱擴散率；Pr = ν/κ為Prandtl數(shù)，ν為運動黏性系數(shù)。數(shù)值計算中，邊界條件為：壁面速度均采用無滑移條件，溫度為側(cè)壁采用絕熱條件，上下底板采用恒溫條件，上底板恒定低溫θ= -0.5，下底板恒定高溫θ= 0.5。

本文采用Parallel Direct Method of DNS（PDMDNS）方法[36]對二維高Ra數(shù)湍流熱對流進行數(shù)值模擬，在“天河二號”超級計算機上完成了多組Pr數(shù)和Ra數(shù)的2D湍流熱對流DNS計算。在數(shù)值模擬中，計算網(wǎng)格與時間步長均滿足Gao等[14]提出的標準，以便充分識別最小尺度的結(jié)構(gòu)和邊界層，并且計算網(wǎng)格與Zhu等[16]的計算網(wǎng)格量級一致（例如Ra=5×1010，網(wǎng)格為2048×2 304）。每個算例的統(tǒng)計時間至少為200個無量綱時間，Nu的相對誤差在1%以內(nèi)。本文中研究的Pr數(shù)為10、20，相應(yīng)的Ra數(shù)1×108～1×1012，跨度為5個量級。

2 大Pr數(shù)大尺度環(huán)流形態(tài)特性研究

在RB熱對流中，系統(tǒng)的傳熱效率主要受冷熱羽流的運動影響，而多數(shù)情況下冷熱羽流是隨著大尺度環(huán)流運動的。因此，大尺度環(huán)流的形態(tài)是影響羽流運動及系統(tǒng)傳熱的重要因素之一。

在研究羽流運動路徑對傳熱特性的影響時，曾討論了Pr= 0.7和4.3的情況[37-38]。羽流運動的不穩(wěn)定造成大尺度環(huán)流形態(tài)從橢圓形到圓形的突變，導致傳熱Nu數(shù)隨Ra數(shù)的變化出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，只是不同Pr數(shù)對應(yīng)的形態(tài)突變Ra數(shù)不一樣[38]。這種差別可能與角渦處的羽流運動狀態(tài)相關(guān)，在較低Ra數(shù)，橢圓型大尺度環(huán)流時角渦尺寸較大可形成獨立的環(huán)流，而在較高Ra數(shù)時，圓形大尺度環(huán)流時角落中羽流運動不規(guī)則[22,37-38]。因此，小Pr數(shù)的大尺度環(huán)流形態(tài)有兩種典型狀態(tài)：橢圓形和圓形。

與較小Pr數(shù)對比，大Pr數(shù)（Pr≥10）的系統(tǒng)傳熱效率與Ra數(shù)的關(guān)系有所差異[17,32]。根據(jù)之前的工作[17]，大Pr數(shù)的流場、羽流形態(tài)與小Pr數(shù)的有明顯不同，補償Nu數(shù)(Nu/Ra0.3)的變化趨勢在大Pr數(shù)時補償Nu數(shù)會隨Ra數(shù)增大而變小，與小Pr數(shù)的相反，因而造成低Ra數(shù)時大小Pr數(shù)的傳熱效率相差較大。

為了研究這種在低Ra數(shù)時不同Pr數(shù)對應(yīng)的傳熱效率差異問題，對大Pr數(shù)時的流動形態(tài)特性進行研究，重點探討羽流運動路徑的變化以及造成的大尺度環(huán)流形態(tài)改變。在流場充分發(fā)展后，通過疊加多個瞬時場得到的平均速度場能體現(xiàn)系統(tǒng)整體的速度分布。為了方便比較，所有速度場在后處理時進行了統(tǒng)一流動方向（逆時針）的處理。由于本文的數(shù)值模擬計算是無量綱化的，因此后處理和分析的結(jié)果中所展示的速度為無量綱速度。

圖1給出的是Pr= 10時不同Ra數(shù)的平均速度場，同樣給出了最大速度點及對應(yīng)的大尺度環(huán)流周長線。大尺度環(huán)流周長的定義為過最大速度點的閉環(huán)流線[33]。

圖中明顯地看到，在低Ra數(shù)時流場形態(tài)并不是傾斜的橢圓大尺度環(huán)流和兩個角渦，大尺度環(huán)流的周長線是一個略為傾斜的圓角方形，最大速度點在側(cè)壁上。隨著Ra數(shù)的增加，圖1（d）中Ra= 1×109時流場流態(tài)變?yōu)閮A斜的橢圓形大尺度環(huán)流加兩個角渦的形態(tài)，最大速度點出現(xiàn)在大尺度環(huán)流和角渦相剪切的位置。隨著Ra數(shù)進一步增加，如圖1（g、h），大尺度環(huán)流形態(tài)會從圖1（f）中的橢圓形突變?yōu)閳A形。由此可見，大Pr數(shù)時二維熱對流的大尺度環(huán)流出現(xiàn)了三種形態(tài)：方形、橢圓形和圓形。

在圖1（a、b）中方形的大尺度環(huán)流，較大的速度都分布在四個壁面附近，最大速度點在邊壁附近，距離上下壁面有一定距離。之所以能形成這樣的圖形，是因為在大Pr數(shù)低Ra數(shù)時的熱對流中，從底板邊界層脫落的冷熱羽流聚集后能直接沿側(cè)壁運動到對板，推動羽流也沿底板向一個方向運動，從而形成了略為傾斜的圓角方形大尺度環(huán)流。由于羽流直接沿側(cè)壁加速運動，導致最大速度點發(fā)生在側(cè)壁附近。

隨著Ra數(shù)的增加，逐漸有角渦出現(xiàn)，如圖1（c）所示，并且較弱的角渦與大尺度環(huán)流的相剪切處的速度開始增大，但此時的最大速度點仍在側(cè)壁。到圖1（d）中顯示的大尺度環(huán)流已變成了傾斜橢圓形加角渦的形態(tài)。由此，認為大Pr數(shù)的方形大尺度環(huán)流形態(tài)變化到傾斜橢圓形形態(tài)，存在一個過渡。也即，不像大尺度環(huán)流形態(tài)從橢圓形變?yōu)閳A形是一個突變，大尺度環(huán)流形態(tài)方形變?yōu)闄E圓形是一個漸變。

圖1 Pr = 10, Ra = 1×108～1×1012的平均速度場與大尺度環(huán)流(每張圖的色標范圍是0到各個算例的最大無量綱速度值，藍色表示低速，紅色表示高速；白色點表示全場的最大速度點，黑色線表示最大速度點所在的閉環(huán)流線，即大尺度環(huán)流周長線)Fig. 1 Illustration of LSC in terms of averaged velocity coutour for Pr = 10, Ra = 1×108～1×1012（The color bar start from 0 to maximum value of dimensionless velocity of fluid, where blue represents low speed value, red represents high speed value, white point represents maximum velocity value, black line represents LSC）

在Pr= 20的算例中，我們同樣發(fā)現(xiàn)了三種大尺度環(huán)流形態(tài)。

圖2給出了Pr= 20的不同Ra數(shù)的速度場圖。從前面Pr= 10時對方形大尺度環(huán)流形態(tài)的描述，大尺度環(huán)流周長線為圓角方形且最大速度點在側(cè)壁上，可以看見，圖2（a～d）均為方形的大尺度環(huán)流形態(tài)，且其中圖2（d）中由于弱角渦的出現(xiàn)為過渡形態(tài)。圖2（e、f）為橢圓形大尺度環(huán)流形態(tài)，圖2（g、h）為圓形大尺度環(huán)流形態(tài)。Pr= 20的大尺度環(huán)流形態(tài)也為三種，方形、橢圓形和圓形，與Pr= 10的相同。只是Pr= 20的大尺度環(huán)流形態(tài)方形到橢圓形漸變所對應(yīng)的Ra數(shù)相應(yīng)增高。

圖2 Pr = 20, Ra = 1×108～1×1012的平均速度場與大尺度環(huán)流Fig. 2 Illustration of LSC in terms of averaged velocity coutour for Pr = 20, Ra = 1×108～1×1012

綜上所述，從不同Pr數(shù)的大尺度環(huán)流形態(tài)及周長線的變化特性可以明顯的看出，小Pr數(shù)對應(yīng)的大尺度環(huán)流形態(tài)只有兩種，橢圓形和圓形，而大Pr數(shù)對應(yīng)的大尺度環(huán)流形態(tài)有三種，方形、橢圓形和圓形。

3 大Pr數(shù)大尺度環(huán)流形態(tài)幾何特性研究

從上節(jié)中的速度場圖可以較直觀的看到大尺度環(huán)流形態(tài)的不同類型。為了定量探討大尺度環(huán)流形態(tài)變化特性，對大尺度環(huán)流周長線的變化特性進行研究。首先討論不同Pr數(shù)大尺度環(huán)流的周長隨Ra數(shù)的變化情況。

圖3分別給出了Pr= 10和20的大尺度環(huán)流周長隨Ra的變化情況，其中Ra數(shù)范圍為1×108～1×1012，同時給出小Pr數(shù)Pr= 4.3相應(yīng)的部分結(jié)果[38]。

在小Pr時僅存在兩種大尺度環(huán)流形態(tài)，從圖3（a）可以看出橢圓形的大尺度環(huán)流周長在2.5～3之間，在Ra≤ 5×109時總體趨勢是變大。在橢圓形突變?yōu)閳A形（Ra= 1×1010）時，大尺度環(huán)流周長會突然減小到2以下，隨后有個緩慢減小后又緩慢變大的走向?？梢悦黠@地見到，大尺度環(huán)流形態(tài)從橢圓形突變?yōu)閳A形會產(chǎn)生大尺度環(huán)流周長的間斷性減小。

圖3 大尺度環(huán)流周長與Ra數(shù)關(guān)系Fig. 3 Relation between LSC length and Ra

對于大Pr數(shù)的情況，如圖3（b、c）所示，在大尺度環(huán)流形態(tài)為方形時大尺度環(huán)流周長的值較大在3左右，會隨Ra增大而略微增大。在大尺度環(huán)流漸變?yōu)闄E圓形時周長會略微減小。而大尺度環(huán)流形態(tài)從橢圓形突變?yōu)閳A形時也存在間斷性減小。從這里可以看出，大尺度環(huán)流從方形轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓形是一種漸變，從橢圓形轉(zhuǎn)變?yōu)閳A形是一種突變。

大尺度環(huán)流周長的變化不能完全描述大尺度環(huán)流形態(tài)的特征。橢圓形的典型特征是其長短軸之比。由于橢圓形大尺度環(huán)流是傾斜的，從系統(tǒng)方腔的對角線與大尺度環(huán)流周長線的交點，定義大尺度環(huán)流系統(tǒng)的長短軸之比，用來反映大尺度環(huán)流形態(tài)的幾何特性。方形和圓形的對角線長短軸之比會比較接近1，而橢圓形的長短軸之比會顯示出一個較大的值。

圖4給出了對角線長短軸的定義，兩個白點之間的實線為長軸，兩個白點的距離為長軸長度，兩個灰點之間的實線為短軸，兩個灰點的距離為短軸長度。由于前文提到對大尺度環(huán)流進行統(tǒng)一方向，因此系統(tǒng)的流動方向不會影響長短軸的計算和變化趨勢。需要特別說明的是，在大尺度環(huán)流為方形和圓形時，長軸和短軸并非對應(yīng)真正的長短軸，只是用于刻畫大尺度環(huán)流形態(tài)的特征。

圖4 長短軸定義圖(白色實線表示方腔的對角線，黑色線表示大尺度環(huán)流周長線，白色圓點和灰色圓點表示對角線與大尺度環(huán)流周長線的交點，兩個白色圓點的距離定義為長軸長度，兩個灰色圓點的距離定義為短軸長度)Fig. 4 Illustration of definition of the ratio between the major axis and the minor axis of LSC(White lines represent diagonal lines of the cell, black line represents the LSC, white and grey points represent the intersections of the LSC and diagonal lines. The distance of two white points represents the length of the major axis and the distance of two grey points represents the length of the minor axis)

圖5給出了Pr數(shù)情況下大尺度環(huán)流周長的長短軸之比隨Ra數(shù)的變化，圖中虛線表示長短軸之比為1.2的位置。作為小Pr數(shù)情況的對比，對Pr= 4.3的結(jié)果進行了同樣處理。

圖5（a）中小Pr數(shù)Pr= 4.3的情況，低Ra數(shù)的區(qū)域長短軸之比均大于1.2，表明此時的大尺度環(huán)流形態(tài)均為橢圓形，隨著Ra數(shù)的增高，長短軸之比突變到1左右，隨后基本保持不變，此時大尺度環(huán)流形態(tài)為圓形。

圖5（b、c）為大Pr數(shù)的情況。在較低的Ra數(shù)時，長短軸之比并不完全等于1，這是因為方形的大尺度環(huán)流形態(tài)略為傾斜且具有圓角，并不完全對稱與方腔的對角線，但長短軸之比小于1.2。并且由方形到橢圓形是漸變過程，所以長短軸之比最后是逐漸增大的，圖中小圓圈標出了大尺度環(huán)流從方形到橢圓形的過渡點。隨著Ra數(shù)的增加，橢圓形的大尺度環(huán)流形態(tài)的長短軸之比都大于1.2，而后突然減小到1附近，反映出大尺度環(huán)流形態(tài)從橢圓形到圓形的突變過程。

圖5 長短軸之比的變化特性(黑色虛線表示長短軸之比為1.2，黑色圓圈表示方形到圓形之間的過渡點)Fig. 5 Relation between aspect ratio and Ra（Dash line indicates that the ratio is 1.2, black circle represents the transition point from square LSC to circular LSC）

由以上結(jié)果可以看出，與小Pr數(shù)熱對流具有典型的兩種流動形態(tài)情況不同，大Pr數(shù)時熱對流的大尺度環(huán)流形態(tài)分三種，其中方形到橢圓形是漸變，橢圓形到圓形是突變。方形大尺度環(huán)流形態(tài)與橢圓形是不同的兩種形態(tài)，除了形狀不一致，還存在流動中的最大速度位置完全不同的流動特征。

4 湍流熱對流Re數(shù)特性研究

大尺度環(huán)流形態(tài)的變化可能會引起熱對流系統(tǒng)湍流強度變化規(guī)律的改變。反映系統(tǒng)湍流強度的物理量為Re數(shù)。不同形態(tài)的最大速度的位置變化很大，以最大速度值為特征速度的Re數(shù)的變化規(guī)律中，會存在大尺度環(huán)流形態(tài)變化的影響。給出本文Re數(shù)的定義：

圖6給出了三個Pr數(shù)下Re隨Ra的變化情況。在圖6（a～c）中可以看到，Re隨Ra的變化都存在一個明顯的間斷，而間斷處對應(yīng)的是大尺度環(huán)流形態(tài)有橢圓形突變?yōu)閳A形的位置。在較低Ra數(shù)時、在大尺度環(huán)流突變?yōu)閳A形之前，三個Pr數(shù)下Re與Ra存在正冪律關(guān)系，依次為Re～Ra0.58、Re～Ra0.60、Re～Ra0.59。這些結(jié)果與他人研究的二維計算結(jié)果[12,15,39]以及Li等[32]在準二維的實驗中得到的冪律關(guān)系基本一致，表明本文計算結(jié)果的合理性。

圖6 Re數(shù)與Ra數(shù)的關(guān)系(黑色實線分別表示Re (Ra)的標度率)Fig. 6 Dimensionless relation between Re and Ra（Black line represents the best power-law fits of Re(Ra) to the corresponding data）

為了進一步明確表示Re數(shù)與Ra數(shù)的關(guān)系變化，使用轉(zhuǎn)變?yōu)閳A形之前的冪律對Re數(shù)進行補償，如圖（e、f）所示。從圖中可以看出，大尺度環(huán)流形態(tài)由橢圓形突變?yōu)閳A形前后的Re數(shù)變化明顯的分為兩段，突變處存在明顯的間斷式下降。補償Re數(shù)在高Ra數(shù)大尺度環(huán)流形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閳A形后會逐漸變小，表明轉(zhuǎn)變后的冪律要小于轉(zhuǎn)變前的冪律。在圖6（e、f）中大Pr數(shù)較低Ra數(shù)的區(qū)域，補償Re數(shù)都會出現(xiàn)一個極小值。而這個極小值對應(yīng)的正是大尺度環(huán)流形態(tài)從方形轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓形的過渡點。也即，在大Pr數(shù)時低Ra數(shù)區(qū)大尺度環(huán)流形態(tài)從方形漸變?yōu)闄E圓形時，也會造成補償Re數(shù)的下降。只是相對于橢圓形突變?yōu)閳A形的間斷式下降，漸變引起的補償Re數(shù)變化要小很多。

由此，大尺度環(huán)流形態(tài)的變化會對熱對流的湍流強度變化規(guī)律產(chǎn)生影響。

5 結(jié) 論

本文采用DNS模擬計算了大Pr數(shù)Pr= 10、20，Ra= 1×108～ 1×1012的系列二維湍流熱對流算例，作為對比給出了小Pr數(shù)Pr= 4.3的部分結(jié)果，研究不同Pr數(shù)情況下大尺度環(huán)流形態(tài)特性。首次采用大尺度環(huán)流周長及形態(tài)特征量長短軸之比，定量描述大尺度環(huán)流形態(tài)變化，討論大尺度環(huán)流形態(tài)特征以及隨Ra數(shù)的變化規(guī)律，以及大尺度環(huán)流形態(tài)變化與系統(tǒng)Re數(shù)的關(guān)系。研究結(jié)論如下：

1） 相比之前發(fā)現(xiàn)的小Pr數(shù)時有橢圓形和圓形兩種大尺度環(huán)流形態(tài)，大Pr的熱對流有一種新的方形大尺度環(huán)流形態(tài)。隨著Ra數(shù)增大，大尺度環(huán)流形態(tài)的轉(zhuǎn)變依次為方形、橢圓形和圓形，并且Pr變大時，轉(zhuǎn)變Ra數(shù)也相應(yīng)會增高。方形大尺度環(huán)流與橢圓形的最大區(qū)別在于最大速度的位置不一樣，方形的最大速度點在側(cè)壁，而橢圓的在橢圓與角渦的剪切處。

2） 大Pr數(shù)時，大尺度環(huán)流的周長隨Ra數(shù)增大橢圓形時略減小，從橢圓形突變?yōu)閳A形時周長間斷式大幅減小，與前人在小Pr數(shù)的研究結(jié)論一致，而在方形時隨Ra數(shù)增大略有增大。大尺度環(huán)流形態(tài)特征量長短軸之比在不同形態(tài)時呈現(xiàn)不同規(guī)律，大尺度環(huán)流為方形時，比例在1.0～1.2之間，橢圓形在1.2以上，而圓形時基本為1。這一現(xiàn)象在Pr= 10和20均存在。

3） 大尺度環(huán)流形態(tài)的變化會對反映熱對流湍流強度的Re數(shù)隨Ra數(shù)變化規(guī)律產(chǎn)生影響。大Pr數(shù)時，補償Re數(shù)變化規(guī)律可明顯看到，大尺度環(huán)流形態(tài)由方形漸變?yōu)闄E圓形時Re數(shù)出現(xiàn)小量下降，過渡點出現(xiàn)極小值，由橢圓形突變?yōu)閳A形時Re數(shù)出現(xiàn)間斷式大幅下降。這說明了不同大尺度環(huán)流形態(tài)時，Re數(shù)的標度律會發(fā)生變化，因此在進行Re數(shù)標度律研究時，需要考慮大尺度環(huán)流形態(tài)的影響。本文僅研究了大尺度環(huán)流為方形、橢圓形的Re數(shù)標度律，對于更高Ra數(shù)時圓形大尺度環(huán)流Re數(shù)的標度律仍需有進一步研究。