肖麗芙

摘 ? 要：探索五個(gè)版本高中物理教材中“瞬時(shí)速度”滲透極限思想內(nèi)容的合理性和局限性，對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)魯科版、滬科教版、教科版、粵教版對(duì)瞬時(shí)速度的定義更加合理，魯科版和粵教版中的例子較合理地滲透了極限思想，分析過(guò)程為優(yōu)化極限思想教學(xué)提供重要啟示與建議。

關(guān)鍵詞：教材;物理教學(xué);極限思想;瞬時(shí)速度

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2022）4-0024-3

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一手資料，也是教師教學(xué)的重要資源，物理思想是關(guān)于物理學(xué)本質(zhì)的深層認(rèn)識(shí)，對(duì)物理知識(shí)的學(xué)習(xí)和物理問(wèn)題的解決起到重要作用。教材中物理思想的呈現(xiàn)影響教師在教學(xué)中對(duì)物理思想的滲透，也影響著學(xué)生對(duì)物理思想的理解。極限思想是高中物理學(xué)習(xí)的第一個(gè)物理思想，理清極限思想的內(nèi)涵，分析五個(gè)版本高中物理教材極限思想滲透的合理性與局限性，可為教師教學(xué)提供幫助。

1 ? ?極限思想論述

近代最早體現(xiàn)極限思想的是牛頓求瞬時(shí)速度時(shí)提出的流數(shù)和萊布尼茨用函數(shù)表達(dá)的切線斜率[1]，即極限思想的關(guān)鍵在于變量無(wú)限接近卻又無(wú)法達(dá)到某個(gè)定量。當(dāng)前比較廣泛認(rèn)同的極限的描述是來(lái)自柯西的“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨向一個(gè)定值，使得變量的值與該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值稱為所有其他值的極限”。史寧中教授指出，無(wú)論是微積分的計(jì)算法則還是微積分的思想核心都在于極限理論[1]。

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中明確提出，結(jié)合瞬時(shí)速度概念的建構(gòu)，體會(huì)研究物理問(wèn)題的極限方法[2]。

高中物理中極限思想的運(yùn)用包括：

（1）時(shí)間間隔趨近于零用于瞬時(shí)值的求解，如瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、瞬時(shí)功率等值的求解;

（2）橫坐標(biāo)分割成無(wú)限小的間隔用于位移公式、彈簧彈性勢(shì)能表達(dá)式的推導(dǎo);

（3）夾角無(wú)限趨近于零用于向心加速度大小的推導(dǎo)以及向心加速度方向的探究;

（4）曲線運(yùn)動(dòng)在無(wú)限短時(shí)間內(nèi)可以等效成直線運(yùn)動(dòng)可用于分析重力做功特點(diǎn)等[3]。

極限思想在高中物理中有多方面的運(yùn)用，但是不同版本的高中物理教材對(duì)極限思想體現(xiàn)的方式不盡相同，本文以“瞬時(shí)速度”為例進(jìn)行對(duì)比分析。

2 ? ?高中物理教材中“瞬時(shí)速度”滲透的極限思想

2.1 ? ?瞬時(shí)速度定義的比較

表1列出了人教版、魯科版、滬科教版、教科版、粵教版五個(gè)版本教材中瞬時(shí)速度的定義以及瞬時(shí)速度與平均速度關(guān)系的描述[4-8]。

魯科版、滬科教版、教科版、粵教版對(duì)瞬時(shí)速度的定義都是：物體在某一時(shí)刻或某一位置的速度[5-8]。

人教版對(duì)瞬時(shí)速度的定義是：當(dāng)Δt非常非常小時(shí)，運(yùn)動(dòng)快慢的差異可以忽略不計(jì)時(shí)的平均速度[4]。

對(duì)兩種定義進(jìn)行比較，某一時(shí)刻或某一位置的速度更符合瞬時(shí)速度的本意，當(dāng)Δt或Δs非常非常小的時(shí)候平均速度趨近于瞬時(shí)速度，故可以認(rèn)為這時(shí)的平均速度約等于瞬時(shí)速度，但并不能說(shuō)明這時(shí)的平均速度就是瞬時(shí)速度。所以，魯科版、滬科教版、教科版、粵教版對(duì)瞬時(shí)速度的定義更加合理。

2.2 ? ?極限思想滲透的比較

根據(jù)柯西對(duì)極限的定義，瞬時(shí)速度定義中的極限思想體現(xiàn)在逐次所取的時(shí)間間隔無(wú)限趨近于零，使得平均速度的值與瞬時(shí)速度之差要多小就多小。因此，為滲透極限思想，教材中所舉的例子應(yīng)該體現(xiàn)時(shí)間間隔無(wú)限趨近于零的過(guò)程。

（1）人教版在定義瞬時(shí)速度后要求學(xué)生測(cè)量平均速度和瞬時(shí)速度的實(shí)驗(yàn)中提到，包含E點(diǎn)在內(nèi)的間隔取得小一些，求出來(lái)的平均速度能夠更精確一些。但是，“間隔取小一些”只取了一次，且取小后的時(shí)間間隔依然是有限的，沒(méi)有體現(xiàn)無(wú)限趨近于零的過(guò)程，沒(méi)有滲透極限思想。

（2）魯科版指出，小球從斜槽滾下過(guò)程中為了精確描述小球過(guò)O點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢，應(yīng)從OA間取更小的位移，比如取OA1、OA2、OA3等，理論上可以取到“OA1、OA2…OAn”，An可以無(wú)限接近O點(diǎn)，體現(xiàn)無(wú)限接近的過(guò)程，滲透了極限思想。

（3）滬科教版舉例：打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出A、E兩點(diǎn)的時(shí)間間隔t1=0.08 s，算出平均速度可粗略地代表C點(diǎn)的瞬時(shí)速度，如果把包含C點(diǎn)的間隔再取小一點(diǎn)，根據(jù)B、D兩點(diǎn)的時(shí)間間隔求平均速度更能表示C點(diǎn)的瞬時(shí)速度。無(wú)限接近是Δt趨近于0的過(guò)程，不應(yīng)該有確定值，故此過(guò)程也沒(méi)有滲透極限思想。

（4）教科版在定義瞬時(shí)速度后沒(méi)有對(duì)應(yīng)的例子或?qū)嶒?yàn)滲透極限思想。

（5）粵教版舉例：一輛汽車在平直的公路上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)O、A、A1是運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)，AA1的平均速度能大致反映汽車經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)快慢，若在AA1之間找一點(diǎn)A2，AA2之間的平均速度是否更精確反映汽車經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢，如果選取AA3、AA4、AA5呢？粵教版在AA1之間繼續(xù)取越來(lái)越靠近A點(diǎn)的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，如果一直取下去，那這個(gè)點(diǎn)是否是無(wú)限接近A點(diǎn)，其平均速度是否無(wú)限接近其瞬時(shí)速度，滲透了極限思想。

由以上分析可知，人教版、滬科教版的例子很相似，都是分析手動(dòng)拉穿過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的紙帶，減小時(shí)間間隔，但減小后的時(shí)間間隔依然是一個(gè)有限的Δt，故并不能很好地滲透極限思想。魯科版用小球從斜槽上滾下，粵教版用汽車在平直公路上行駛，之后都在兩點(diǎn)間再取更接近待測(cè)位置的點(diǎn)，取這些點(diǎn)的過(guò)程體現(xiàn)了無(wú)限接近的過(guò)程，體現(xiàn)了極限思想。

2.3 ? ?極限思想滲透合理性的比較

人教版、魯科版、滬科教版、粵教版中的例子都是在“時(shí)間越短（位移越?。?，平均速度越接近于瞬時(shí)速度”這個(gè)前提假設(shè)下進(jìn)行的。然而，這個(gè)前提并不總是成立的，人教版與滬科教版是手拉紙帶，拉的過(guò)程紙帶的運(yùn)動(dòng)快慢是無(wú)規(guī)律的，0.04 s內(nèi)的平均速度不一定比0.08 s內(nèi)的平均速度更能反映物體在某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢。

魯科版中的小球從斜槽滾下的過(guò)程速度在逐漸增大，故O點(diǎn)為一端的位移越小越能反映小球過(guò)O點(diǎn)時(shí)的速度。粵教版中的汽車運(yùn)動(dòng)情況也是無(wú)規(guī)律的，最初間隔AA2、AA3的平均速度不一定能更精確地反映汽車經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢，但只要選取的間隔足夠小時(shí)，AAn越小平均速度越能反映瞬時(shí)速度。

相比之下，魯科版和粵教版所舉的例子滲透了極限思想，在這兩個(gè)例子中“時(shí)間越短（位移越?。?，平均速度越接近于瞬時(shí)速度”的假設(shè)成立，設(shè)計(jì)更為合理。

3 ? ?啟示與建議

由以上分析發(fā)現(xiàn)，魯科版和粵教版兩版教材在“瞬時(shí)速度”內(nèi)容中滲透了極限思想，滲透方式比較隱性，需要教師認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)、研究教材，深層次理解教材中體現(xiàn)的極限思想。正如史寧中教授所說(shuō)的，理解極限的關(guān)鍵是由離散到連續(xù)[1]。瞬時(shí)速度把運(yùn)動(dòng)的描述上升為逐點(diǎn)和即時(shí)的變化，其實(shí)質(zhì)是速度在時(shí)空的連續(xù)變化[9]。由此可以知道，極限思想應(yīng)該體現(xiàn)出時(shí)間與空間上的連續(xù)性;應(yīng)體現(xiàn)出時(shí)間（空間）間隔有限與無(wú)限趨于零的區(qū)別。雖然五版教材都運(yùn)用了“時(shí)間越短，平均速度越接近瞬時(shí)速度”這個(gè)假設(shè)，但是在不確定速度變化趨勢(shì)的情況下，有限時(shí)間間隔內(nèi)這個(gè)假設(shè)不一定成立，在時(shí)間間隔無(wú)限趨于零時(shí)假設(shè)才成立。

滲透極限思想過(guò)程教師可以不拘泥于教材，用更多實(shí)例讓學(xué)生更真切地理解極限思想的無(wú)限接近和近似。如用兩千多年前希臘芝諾的“阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜”體會(huì)極限思想的無(wú)限趨近，用莊子的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”體會(huì)極限思想的無(wú)限分割，用劉徽的“正多邊形求圓的面積”體會(huì)極限思想的無(wú)限接近，也可以用“思考海平面與地球形狀”“用電腦放大一段曲線，放大到一定程度后曲線可視為直線”等例子，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)極限思想的無(wú)限近似。

教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視教材中的極限思想，讓學(xué)生意識(shí)到物理思想的重要性，并提醒學(xué)生要重視教材、研究教材、發(fā)掘教材中滲透的物理思想。

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