摘要：為了研究雙圓斑超級混沌吸引系統(tǒng)的非線性動力學行為，首先，提出了其數(shù)學微分方程，并進行了數(shù)值計算。然后，運用EWB電路仿真軟件為系統(tǒng)設計了一個可行的實驗電路，研究了系統(tǒng)的非線性動力學行為，給出了系統(tǒng)的周期運動和混沌吸引圖像。最后，通過硬件電路實現(xiàn)了該混沌振蕩電路。實驗結果表明，雙圓斑超級混沌吸引系統(tǒng)的動力學數(shù)學模型正確有效，數(shù)值計算與實驗相一致。

關鍵詞：混沌吸引圖;數(shù)值計算;雙圓斑;電路實現(xiàn)

中圖分類號：O415.5文獻標志碼：A

數(shù)學家Poincare J.H.于十九世紀初提出Poincare猜想[1]，明確指出了混沌問題，推動著動力學系統(tǒng)與拓撲學兩大學科領域的融合發(fā)展[2]。自從1963年Lorenz在三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，人們不斷地發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)[3]：在1976 年Rosslor 構造了三維混沌系統(tǒng)[4];1999 年CHEN等在混沌系統(tǒng)反控制中發(fā)現(xiàn)了被稱為Chen 系統(tǒng)[5-6]的一個新混沌吸引子;2002 年呂金虎等進一步通過混沌反控制想法發(fā)現(xiàn)了Lǚ系統(tǒng)[7]及引入一個可變參數(shù)，進而提出統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[8]。它實現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間的過渡;2004 年，一類含有平方非線性項的Liu混沌系統(tǒng)[9]也被提出來。2005年，QI等發(fā)現(xiàn)了Qi系統(tǒng)[10-12]，這些系統(tǒng)類似但并不拓撲等價。

1984年， Chua發(fā)明了著名的蔡氏電路[13]。它首次把電路與混沌兩個完全不同的學科相互聯(lián)姻，強有力地推動了非線性電路理論的加速應用與發(fā)展，使人們對混沌理論從認識到深入研究再到工程應用的不同發(fā)展深化階段[14-16]。

混沌現(xiàn)象四十年來倍受眾多學科領域學者的關注。它作為非線性動力學系統(tǒng)所特有的混沌現(xiàn)象，廣泛地存在于物理學、化學、生物學、地質學等自然界和經(jīng)濟、藝術等社會科學的各領域?；煦缤窖芯堪l(fā)展迅速，其在圖像處理、保密通訊等應用方面取得了巨大的進展[17-18]。二十世紀七十年代，生理學家研究人類心臟、生態(tài)學家探索種群增減規(guī)律、醫(yī)學家研究顯微鏡下觀察到的血管纏繞交叉現(xiàn)象、氣象學家探究雷電的徑跡、天文學家探索星星的簇集效應、經(jīng)濟學家探討股票價格波動等自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)均存在著混沌非線性現(xiàn)象?；煦缈刂朴泻芎枚鴱V泛的應用遠景，它迅速沖進了科學的各個領域，如在電子學、保密通信、流體力學、神經(jīng)網(wǎng)絡、醫(yī)學、生物系統(tǒng)等領域里形成雪崩式的應用[19-20]。

本研究對一個新的含有3個參數(shù)混沌吸引系統(tǒng)模型進行分析、仿真，研究系統(tǒng)的非線性動力學特性，給出系統(tǒng)的周期運動和混沌吸引圖像。最后設計實現(xiàn)系統(tǒng)的硬件混沌振蕩電路，電路實驗結果與動力學特性分析、仿真相同，進一步驗證了分析的正確性。研究成果對混沌圖像處理技術具有重要的理論意義。

1 雙圓斑超混沌吸引系統(tǒng)基本模型及數(shù)值仿真研究

1.1 雙圓斑超混沌吸引系統(tǒng)基本模型

文中給出的雙圓斑超級混沌吸引系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個三元一次迭代方程組，其動力學方程為

1.2 數(shù)值仿真研究

2 系統(tǒng)的振蕩器電路設計與實驗驗證

在研究文獻[21-25]基礎上，對本文中所提出的系統(tǒng)（1）進行電路設計，其對應的系統(tǒng)電路方程為

3結論

通過以上理論分析、數(shù)值計算和實際電路實驗，對雙圓斑超級混沌系統(tǒng)進行了研究。這個新的混沌系統(tǒng)中存在著復雜的混沌動力學行為，并用電子振蕩器電路直觀地實現(xiàn)了其動力學行為，電路實現(xiàn)結果與數(shù)值計算仿真結果相同，說明該系統(tǒng)電路實現(xiàn)的可取性。它在醫(yī)學圖像處理、保密通信等領域中具有潛在的應用價值。

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（責任編輯：曾晶）

Mathematical Model Analysis and Circuit Realization of Double

Circular Spot Super Chaotic Attractor System

CHEN Jun

（Department of Medicine Education， Dingxi Campus， Gansu University of Chinese Medicine， Dingxi 743000， China）Abstract： In order to study the nonlinear dynamic behavior of a double-circular spot superchaotic attractor system， the mathematical differential equation was firstly proposed and its numerical calculation was carried out. Then a feasible experimental circuit was designed for the system by using EWB circuit simulation software. The nonlinear dynamic behavior of the system was studied， and the periodic motion and chaotic attraction images of the system were given. Finally， the chaotic oscillation circuit was realized by hardware circuit. The experimental results show that the dynamic mathematical model of the double circular spot super chaotic attraction system is correct and effective， and the numerical calculation is consistent with the experiment.

Key words： chaotic attraction graph; numerical calculation; double circular; circuit realization