曹婷

摘要：文章根據(jù)疊加法原理，采用COMSOL多物理場有限元數(shù)值計(jì)算軟件建立有限大小的兩層導(dǎo)電媒質(zhì)模型，并對多電極同時(shí)存在時(shí)電流的分布進(jìn)行了仿真計(jì)算，并將之與解析解進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了用有限大小的模型來模擬無限大地層的合理性。

關(guān)鍵詞：疊加法原理；COMSOL軟件；多電極；數(shù)值計(jì)算

在兩層無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中，當(dāng)電流源位于兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面附近時(shí)，會在兩層媒質(zhì)中分別感應(yīng)出電流，進(jìn)而對地層電阻率的計(jì)算產(chǎn)生影響。本文通過疊加法原理在兩層有限大小的模型中模擬了多個電極同時(shí)存在時(shí)電流的分布情況，驗(yàn)證了有限模型的準(zhǔn)確性與合理性。

1 兩層導(dǎo)電媒質(zhì)模型

圖1為兩層有限大小的導(dǎo)電媒質(zhì)模型，上表面中心處放置發(fā)射電極T，上下兩層媒質(zhì)左側(cè)表面中心處分別放置回路電極A，B，電極材料均為銅，上下兩層導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率分別為σ₁，σ₂。本文利用用有限元軟件求解在有限大小的導(dǎo)電媒質(zhì)中回路電極A，B處的電流，驗(yàn)證了在有限元軟件中用有限大小的模型來數(shù)值模擬無限大模型的可行性與準(zhǔn)確性，為進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)。

2 疊加法原理

在本文所述的模型中，發(fā)射電極T發(fā)出的電流，是給定的常數(shù)，回路電極A，B處電流I_A，I_B是待定的，會隨地層電阻率分布的變化而變化，因此在用數(shù)值解求解時(shí)，要使其與解析解所滿足的條件一致，應(yīng)采用疊加法原理來建立模型，分析數(shù)據(jù)。下面給出疊加法的求解過程。

所謂疊加法是指，對于具有唯一解的線性電路，多個激勵源共同作用時(shí)引起的響應(yīng)等于各個激勵源單獨(dú)作用時(shí)所引起的響應(yīng)之和。在本文所述模型中，發(fā)射電極T發(fā)出的電流，全部由回路電極A，B所吸收，且在不同地層電阻率分布情況下的解唯一。對此我們可設(shè)回路電極A，B為可以發(fā)射出與發(fā)射電極T極性相反的電流I_A，I_B的電流源，且滿足I_A+I_B+I=Q。

設(shè)由發(fā)射電極和兩個回路電極發(fā)射電流所形成的電場稱為總場，相應(yīng)的電位記為U，由發(fā)射電極和兩個回路電極分別發(fā)射電流所形成的電場稱為分場，當(dāng)發(fā)射電極T單獨(dú)作用時(shí)，I=0，I_A=1，I_B=0；當(dāng)回路電極A單獨(dú)作用時(shí)，I=0，I_A=1，I_B=0；當(dāng)回路電極B單獨(dú)作用時(shí)，I=0，I_A=0，I_B=1。相應(yīng)的電位分別記為U_T，U_A，U_B，則總場在任意點(diǎn)處的電位可以視為各分場在同一點(diǎn)處電位的線性組合，即

U=c₀U_T+c₁U_A+c₂U_B （1）

其中：I=c₀，I_A=c₁，I_B=c₂。則有U=IU_T+I_AU_A+I_BU_B。

這樣，P、Q處的電位分別為：

3 網(wǎng)格剖分及計(jì)算

為驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性，本文采用COMSOL多物理場有限元數(shù)值計(jì)算軟件建立有限大小的兩層導(dǎo)電媒質(zhì)模型，并進(jìn)行仿真計(jì)算。對于本模型的特殊性，在網(wǎng)格剖分部分將采用長方體網(wǎng)格為基本網(wǎng)格單元的剖分方式，剖分結(jié)果如圖2所示，在電極處和邊界處的電流密度遠(yuǎn)大于其他部分，場變化劇烈，因此電極部分需要網(wǎng)格較密，然后到其他部分剖分逐漸稀疏，以減少不必要的網(wǎng)格并提高計(jì)算速度。

采用上述原理中分場疊加的方法，先分3次對電極T，A，B分別加電流源，選擇適合恒定電流場的求解器求解，然后提取數(shù)據(jù)，并根據(jù)分場疊加后所得的I_A，I_B公式求出兩回路電極處的電流，繪制出回路電極A，B處的電流大小I_A，I_B隨上層與下層地層的電導(dǎo)率對比度的變化圖，如圖3所示。

圖2中的結(jié)果與文獻(xiàn)中兩層無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中多電極電流場分布的解析解結(jié)果一致，說明了在兩層導(dǎo)電煤質(zhì)中若存在多個電極時(shí)可采用疊加法原理來分析電流分布，同時(shí)驗(yàn)證了有限模型來模擬無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中電流場的分布的準(zhǔn)確性。