張新邦，陳德祥，王東盛，馮強(qiáng)濤

（1. 北京控制工程研究所，北京 100190； 2. 中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，成都 610207）

0 引言

磁學(xué)中關(guān)于磁場的生成和磁場強(qiáng)度的計(jì)算公式有多種論述：1）認(rèn)為磁場由磁荷產(chǎn)生，應(yīng)用磁庫侖定律計(jì)算磁荷產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度。提出磁偶極子由一對等量異號的點(diǎn)磁荷±組成，兩個(gè)點(diǎn)磁荷之間距離為，偶極子的磁矩=。2）認(rèn)為磁場由電流產(chǎn)生，應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律計(jì)算電流產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度。提出電流環(huán)生成磁矩=，其中是通過的電流，是環(huán)的面積。這兩種論述中的磁矩模型完全不一樣：偶極子模型中沒有橫截面積，電流環(huán)模型中沒有長度。兩模型對近場的計(jì)算結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，但對遠(yuǎn)場計(jì)算出的場強(qiáng)卻十分一致。于是以此為基礎(chǔ)將前兩種觀點(diǎn)結(jié)合延伸，整理得到由磁矩計(jì)算磁場強(qiáng)度的公式。在由磁矩的偶極子模型和電流環(huán)模型推導(dǎo)此公式時(shí)，文獻(xiàn)[3]的推導(dǎo)過程煩瑣低效，文獻(xiàn)[4]內(nèi)有其簡潔漂亮的推導(dǎo)過程，但其推導(dǎo)目的只是為了說明兩個(gè)模型在遠(yuǎn)距離處得到的磁場強(qiáng)度完全相同，沒有進(jìn)一步的拓展論述。

航天器磁特性試驗(yàn)研究中一個(gè)重要內(nèi)容是通過測量磁場強(qiáng)度間接獲知航天器本體磁矩，現(xiàn)已形成有效的磁試驗(yàn)規(guī)范。目前常用的方法有偶極子法、赤道作圖法和球面作圖法3 種。偶極子法是將衛(wèi)星看作磁偶極子，此法簡單，適用于對準(zhǔn)確度要求不高的場合。赤道作圖法采用多極子模型，應(yīng)用單軸轉(zhuǎn)臺使衛(wèi)星處于水平旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，在衛(wèi)星赤道平面上測量磁場強(qiáng)度，計(jì)算得到衛(wèi)星磁矩。球面作圖法是在衛(wèi)星球坐標(biāo)系中，由磁位函數(shù)的球諧分析得到磁矩的基本方程，測量中應(yīng)用二軸轉(zhuǎn)臺測量包圍衛(wèi)星的某個(gè)球面上的磁場強(qiáng)度，計(jì)算得到衛(wèi)星磁矩。赤道作圖法和球面作圖法可以得到較高測量精度（誤差＜4%）的數(shù)據(jù)，但數(shù)據(jù)處理過程比較復(fù)雜，需要專家參與。

為探索航天器內(nèi)部多磁源情況下更為簡便的磁測量新方法，本文提出新球面作圖法，即將磁矩計(jì)算磁場強(qiáng)度的公式與球面作圖法相結(jié)合，根據(jù)測得的點(diǎn)磁場強(qiáng)度計(jì)算得到航天器磁矩，并進(jìn)行仿真計(jì)算以驗(yàn)證該方法的有效性。

1 由磁矩計(jì)算磁場強(qiáng)度的公式

圖1 由磁矩求磁場強(qiáng)度示意[3]Fig. 1 Schematic diagram of magnetic field intensity calculated by magnetic moment[3]

當(dāng)物體（磁矩載體）的尺寸相對于物體到點(diǎn)的距離是小量（距離大于物體尺寸6 倍）時(shí)，則有

式中為距離，m。

式(1)內(nèi)的磁場強(qiáng)度與距離的立方成反比下降，即符合立方反比定律，所以又簡稱其為反立方公式。

2 反立方公式的一般工程應(yīng)用

對于滿足磁矩載體尺寸相對于載體到測點(diǎn)距離是小量的磁源稱之為點(diǎn)磁源，不滿足的稱為體磁源。反立方公式描述了點(diǎn)磁源與外部磁場強(qiáng)度的關(guān)系，因此當(dāng)點(diǎn)磁源和測點(diǎn)的位置已知，則由磁矩可計(jì)算出測點(diǎn)磁場強(qiáng)度，也可由測點(diǎn)磁場強(qiáng)度計(jì)算出磁矩。

對于體磁源，處理方法是將其分割成許多尺寸足夠小的符合點(diǎn)磁源要求的單元，對每個(gè)小單元應(yīng)用反立方公式，調(diào)用由點(diǎn)磁源磁矩求磁場強(qiáng)度的子程序，然后將全部小單元的結(jié)果相加得到測點(diǎn)的磁場強(qiáng)度。關(guān)鍵是需要磁源體內(nèi)磁化強(qiáng)度分布規(guī)律（如均勻磁化或磁化強(qiáng)度以某曲線分布）已知，這樣才能計(jì)算出各小單元磁矩（一般情況下可近似認(rèn)為是均勻磁化）。反之，已知測點(diǎn)磁場強(qiáng)度、體磁源磁化強(qiáng)度分布規(guī)律，在上面成果的基礎(chǔ)上，可以計(jì)算出體磁源的磁矩。理論上在磁化強(qiáng)度分布規(guī)律已知情況下，只需要一個(gè)測點(diǎn)的磁場強(qiáng)度數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出體磁源磁矩。

因此，體磁源內(nèi)磁化強(qiáng)度分布規(guī)律是關(guān)鍵。由均勻介質(zhì)組成的球形體是均勻磁化；細(xì)長圓柱體不是均勻磁化，但在圓柱體的長度與直徑之比不大時(shí)，可近似為均勻磁化。下面討論圓柱體長度與直徑之比較大時(shí)的情況。

先假設(shè)細(xì)長圓柱體（簡稱為“磁棒”）均勻磁化，應(yīng)用基于反立方公式的體磁源求外部磁場強(qiáng)度方法，得到外部磁場強(qiáng)度分布數(shù)據(jù)。再將磁棒相等于同樣長度的偶極子，應(yīng)用磁庫侖定律計(jì)算得到外部的場強(qiáng)分布數(shù)據(jù)。若這兩個(gè)結(jié)果完全一樣，則說明偶極子模型中的磁棒是均勻磁化。

但近距離測量證明偶極子模型不正確，即磁棒不是均勻磁化，尤其在圓柱體長度與直徑的比值較大情況下更是如此，因此需要研究其磁化強(qiáng)度曲線。張新邦等對此進(jìn)行了研究：以某磁力矩器為例，坡莫合金（各向同性）為磁介質(zhì)的圓柱體長0.8 m，直徑0.02 m，磁化率10 000，線圈產(chǎn)生磁場強(qiáng)度為300 A/m（軸向）；將圓柱體橫切成80 等分，得到81 個(gè)截面，計(jì)算得到各截面的磁化強(qiáng)度（見圖2），進(jìn)而得出總磁矩為24 A·m。

圖2 細(xì)長圓柱體磁化強(qiáng)度曲線[8]Fig. 2 Magnetization curve of slender cylinder[8]

工程上可將圖2 中曲線近似為余弦曲線，將實(shí)際磁化強(qiáng)度分成2 部分：一部分是直線（均勻磁化部分），其高度為；另一部分是余弦曲線（非均勻磁化部分），余弦曲線的幅值為。當(dāng)比值=/很小，表示非均勻磁化程度高，值大說明非均勻磁化程度低。如值已知，應(yīng)用反立方公式求其磁矩時(shí)只需要1 個(gè)外部測點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3 反立方公式在航天器磁測量中的應(yīng)用

進(jìn)行航天器磁測量時(shí)，如能遠(yuǎn)距離得到其磁場強(qiáng)度的準(zhǔn)確測量值，則可將其視為點(diǎn)磁源，直接根據(jù)測量值反演計(jì)算得到磁矩值；如果是近距離測量且被測部件磁特性已知（如磁力矩器），則不用轉(zhuǎn)臺，由測量值可計(jì)算出磁矩；如是近距離測量且航天器磁特性未知，則需要二軸轉(zhuǎn)臺，應(yīng)用基于反立方公式的球面作圖法（或稱為新球面作圖法）得到磁矩值。以下以衛(wèi)星為例具體說明，將其視為非均勻磁化的球體。

3.1 多磁源情況

對多磁源的分析可分2 種情況。若清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)，包括各磁源的坐標(biāo)及大小形狀等，可在衛(wèi)星周邊安裝多個(gè)磁強(qiáng)計(jì)，磁強(qiáng)計(jì)數(shù)目大于或等于磁源數(shù)目。設(shè)各磁源的磁矩為未知數(shù)，根據(jù)每個(gè)磁強(qiáng)計(jì)實(shí)際測量值等于接收的各個(gè)磁源信息的總和，以此建立方程組并求解即可。注意得到的可能是病態(tài)方程組，應(yīng)采用較多的磁強(qiáng)計(jì)和應(yīng)用最小二乘法以減小誤差。若不清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)，則應(yīng)用新球面作圖法解決。

3.2 新球面作圖法

新球面作圖法是指，在數(shù)據(jù)采集過程應(yīng)用球面作圖法思路，數(shù)據(jù)處理過程應(yīng)用反立方公式的對點(diǎn)磁源求磁矩方法，數(shù)據(jù)處理簡單方便，易于推廣應(yīng)用。如圖3 所示，坐標(biāo)系內(nèi)半徑為的大球是測量球面，半徑為的小球是衛(wèi)星本體；衛(wèi)星本身是黑盒子，不知其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

圖3 新球面作圖法示意Fig. 3 Schematic diagram of the new spherical mapping method

設(shè)衛(wèi)星總磁矩為。在大球面上均勻布置個(gè)磁場強(qiáng)度測量點(diǎn)，各點(diǎn)測量值為B(=1, 2, …,)。計(jì)算衛(wèi)星磁矩時(shí)假設(shè)衛(wèi)星為點(diǎn)磁矩，位置在坐標(biāo)原點(diǎn)，于是根據(jù)測量值B可計(jì)算出相應(yīng)的衛(wèi)星磁矩m，個(gè)測量點(diǎn)對應(yīng)有個(gè)m值。當(dāng)測量點(diǎn)數(shù)目

其中積分曲面為測量球面，為測量球面的面積。

下面通過仿真算例作進(jìn)一步說明，并對誤差進(jìn)行分析。

先假設(shè)衛(wèi)星內(nèi)部只在點(diǎn)處有點(diǎn)磁矩m（見圖4）。

圖4 新球面作圖法應(yīng)用示意圖Fig. 4 Schematic diagram of application of the new spherical mapping method

將測量球面分成面積大小基本相等的個(gè)小塊，其中某塊內(nèi)有測點(diǎn)，此塊面積為d。

根據(jù)反立方公式可以：

1）由m計(jì)算出點(diǎn)的磁場強(qiáng)度B；

2）由B計(jì)算出衛(wèi)星磁矩m（m與m有很大的差別）；

3）根據(jù)式(3)在測量球面對m求均值得到衛(wèi)星磁矩。

以上的運(yùn)算過程都是線性關(guān)系。因?yàn)?span id="syggg00" class="emphasis_italic">m的位置和點(diǎn)位置都已知，則有=Cm，其中為3 階方陣，里面元素都是常數(shù)，即m和是線性關(guān)系，同樣m和也是線性關(guān)系，于是m和是線性關(guān)系。

定義磁矩計(jì)算的相對誤差

設(shè)測量球面半徑=1 m，衛(wèi)星半徑= 0.5 m；點(diǎn)p(=,,)位于距坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)處，分別為、、軸與衛(wèi)星球面的3 個(gè)交點(diǎn)。

對測量球面分割成塊，m(=,,)的值分別取3 個(gè)單位矢量，于是應(yīng)用式(4)得到9 個(gè)磁矩計(jì)算值的相對誤差，取其中最大值w。當(dāng)m取其他值，則是3 個(gè)單位矢量的疊加，應(yīng)用式(3)得到的相對誤差由于疊加原理也小于w。衛(wèi)星體內(nèi)其他任意點(diǎn)與原點(diǎn)的距離都不大于，所以其他點(diǎn)的計(jì)算誤差也小于w。

再假設(shè)衛(wèi)星體內(nèi)有眾多的點(diǎn)磁矩m，由于各m與其對應(yīng)的計(jì)算均值同樣是線性關(guān)系，應(yīng)用疊加原理，所有點(diǎn)磁矩組合后的計(jì)算誤差也小于w，即應(yīng)用新球面作圖法的計(jì)算誤差小于w（忽略了敏感器測量誤差等其他因素）。

在衛(wèi)星實(shí)體和測量球面確定后，計(jì)算誤差w主要與測點(diǎn)數(shù)有關(guān)，按照上面條件進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表1 所示。可見：隨著測點(diǎn)數(shù)的增大，誤差越來越??；當(dāng)趨于無窮大則誤差趨于0。

表1 測點(diǎn)數(shù)與相對誤差Table 1 Number of measuring points vs. relative error

按照上述方法，對衛(wèi)星內(nèi)部有3 個(gè)點(diǎn)磁矩的情況進(jìn)行仿真計(jì)算。其中，磁矩的單位為A·m，位置的單位為m。設(shè)3 個(gè)點(diǎn)磁矩值分別為m=[10,0, 0]，m=[0, 15, 0]，m=[0, 0, 20]；位置分別為=[0.5, 0, 0]，=[ 0, 0.5, 0]，=[ 0, 0, 0.5]；衛(wèi)星實(shí)際總磁矩=[10, 15, 20]。應(yīng)用新球面作圖法，測點(diǎn)數(shù)取60，計(jì)算得到衛(wèi)星磁矩=[9.98, 14.91,20.41]；計(jì)算誤差w=1.6%。

3.3 新球面作圖法小結(jié)

1）新球面作圖法需要測量包圍衛(wèi)星的某個(gè)球面上磁場強(qiáng)度。設(shè)半徑為大球是測量球面，半徑為小球是衛(wèi)星實(shí)體；=/，一般要求≥2，因?yàn)樵酱笥?jì)算誤差越小。但的增大會使測點(diǎn)信號減弱，所以需要有一個(gè)合適的值。

2）測量中需要測點(diǎn)是均勻分布，由于無法在球面布置完全均勻的測量點(diǎn)，所以將測量球面分成許多（個(gè)）面積相等或相近的小塊，設(shè)某小塊的面積d，小塊上有一個(gè)測量點(diǎn)，其測量計(jì)算得到磁矩為，對與d的積求和，再除以測量球面積即為衛(wèi)星磁矩。

3）在和確定后，計(jì)算誤差w隨著測點(diǎn)數(shù)的增加而減小，若趨于無窮大則w趨于0。

4 結(jié)束語

由磁矩計(jì)算磁場強(qiáng)度的反立方公式直接描述了磁場強(qiáng)度與磁矩間的關(guān)系，與球面作圖法結(jié)合，為航天器磁試驗(yàn)中的本體磁矩測量等工作提供了一種易于推廣的新方法。

1）反立方公式描述了點(diǎn)磁源與外部磁場強(qiáng)度的關(guān)系。對于體磁源可將其分割成許多小單元，然后對每個(gè)小單元按點(diǎn)磁源處理。關(guān)鍵是需要磁源體內(nèi)磁化強(qiáng)度分布規(guī)律，一般情況下可近似認(rèn)為體磁源是均勻磁化。

2）細(xì)長圓柱體（如磁力矩器）是一類特殊的體磁源，當(dāng)圓柱體長度與直徑之比較大時(shí)，其體內(nèi)非均勻磁化現(xiàn)象明顯，工程上可將其非均勻磁化部分的磁化強(qiáng)度曲線近似為余弦曲線。

3）測量衛(wèi)星磁矩時(shí)，若清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)（包括內(nèi)部各磁源坐標(biāo)及大小形狀等），可在衛(wèi)星周邊安裝多個(gè)磁強(qiáng)計(jì)，建立磁強(qiáng)計(jì)測量值與衛(wèi)星內(nèi)部各磁源信息的方程組并求解即可。

4）若不清楚衛(wèi)星內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可應(yīng)用新球面作圖法，即在采集數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)用球面作圖法的思路，在數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)用基于反立方公式的由場強(qiáng)計(jì)算點(diǎn)磁矩方法，計(jì)算出本體磁矩。在測量點(diǎn)數(shù)≥30 時(shí)，相對誤差≤4%。