徐建東

摘? 要：現(xiàn)象教學是從現(xiàn)象出發(fā)進行的教學;專題復習要讓學生系統(tǒng)地把握所學知識，構建完整的知識體系. 現(xiàn)象教學視角下的專題復習教學倡導學生參與探究活動，注重知識的自主生成，是新課程理念在課堂教學中的具體落實.

關鍵詞：現(xiàn)象教學;專題復習;教學范式

現(xiàn)象教學是從現(xiàn)象出發(fā)進行的教學. 這里的現(xiàn)象可以是生活中的現(xiàn)象，也可以是學科中的現(xiàn)象，但其中隱含著豐富的教學內容. 現(xiàn)象教學注重生成，強調對學生問題意識的培養(yǎng)，主張學生參與真實的探究，注重過程性評價. 專題復習是課堂教學的基本課型之一，以某個專題為主對基本概念、公式、定理等進行全面的梳理和歸納，并要將其應用于具體的問題中. 專題，可以視為大概念、大單元、項目或主題，并在相應觀念的指引下設計出各自的教學方式. 更可以視為數(shù)學現(xiàn)象，設計出現(xiàn)象教學的方法. 相比于新課教學階段，在復習教學階段學生有更豐富的知識儲備及更強的綜合分析能力，因而當把專題視為數(shù)學現(xiàn)象時，他們能夠進行多角度的探究，開展多種形式的數(shù)學活動，進行更為全面的知識整合和素養(yǎng)生成. 本文以一節(jié)立體幾何專題復習課的設計與實施為例，闡述現(xiàn)象教學視角下的專題復習教學嘗試.

一、現(xiàn)象教學視角下的專題復習教學實錄

題目? 如圖1，已知邊長為[a]的正方體[ABCD-ABCD，]點[P]為面對角線[BC]上的一個動點，當點[P]沿著[BC]運動時，嘗試探究過點[P]的線（或面）與平面[ACD]的位置關系.

教師給學生呈現(xiàn)了一個數(shù)學現(xiàn)象：一個具有開放性的立體幾何問題，其中蘊含了可供研究的素材. 學生在面對“運動的點P”時，能體驗到空間點、線、面及其位置關系，知道有些關系（數(shù)量的、位置的）在變化，于是提出問題，隨之產(chǎn)生探究的欲望. 進而在師生、生生的互動交流中進行思維的碰撞和提升，從而達到提升“四基”，發(fā)展“四能”的教學目標.

師：大家能想象出這個運動過程嗎？有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：當點[P]在線段[BC]上移動時，點[P]經(jīng)過的路徑[BC]始終與平面[ACD]平行.

師：如何驗證其正確性？

新課程倡導培養(yǎng)學生“三會”，即會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界，強調要讓學生經(jīng)歷知識形成的全過程. 顯然，生1根據(jù)“點動成線”及線面平行的判定定理得到了結論，這是一種數(shù)學直覺，但僅憑直覺判斷不一定準確，需要經(jīng)過理性的思辨認證，教師要給學生提供梳理思路的時間和空間，讓學生用數(shù)學語言準確論證其猜想的正確性，在論證的過程中學會學習.

生1：點[P]的運動路徑為線段[BC，] 易得[BC∥AD.] 根據(jù)線面平行的判定定理，可以得到[BC∥]平面[ACD.]

師：很好，生1利用線面平行的判定定理證明了他的猜想是正確的，即當點[P]在線段[BC]上運動時，點[P]的運動路徑始終與平面[ACD]平行.（教師在黑板上簡要書寫結論和線面平行的判定定理.）

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

此題具有較大的開放性，可供學生探究的內容非常豐富. 根據(jù)教師的預設，本節(jié)課需要復習的知識點包括線線位置關系、線面位置關系、面面位置關系、線面角、面面角、體積等.

生2：點[P]到平面[ACD]的距離是一個定值.

師：如何驗證其正確性？

生2：根據(jù)生1的結論[BC∥]平面[ACD，] 易得點[P]到平面[ACD]上的距離處處相等，即可等價轉化為點[B]到平面[ACD]的距離. 根據(jù)等體積轉化法，得[VB-ACD=][VD-ABC.] 可求出點[B]到平面[ACD]的距離為定值，即動點[P]到平面[ACD]的距離為定值.

生3：還可以轉化為點[D]到平面[ACD]的距離，同樣可以利用等體積法轉化，得[VD-ACD=VD-ACD.] 進一步求得點[D]到平面[ACD]的距離為定值，即動點[P]到平面[ACD]的距離為定值，且定值為[33a.]

師：很好，生2和生3在生1結論的基礎上求出了點[P]到平面[ACD]的距離，并在求解的過程中進行了多次等價轉換，體現(xiàn)了生2和生3對于點到平面的距離概念的深刻理解，以及對等體積轉換的熟練運用. 歸根結底，體現(xiàn)了生2和生3對數(shù)學核心概念的熟練掌握. 大家還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生4：我發(fā)現(xiàn)三棱錐[P-ACD]的體積是一個定值.

師：生4的結論很明顯，大家看出來了嗎？請生4簡要說明一下理由.

對于明顯的結論要督促學生嚴謹論證說明，這是數(shù)學學科培養(yǎng)學生嚴謹科學、實事求是的學習和生活準則，體現(xiàn)了數(shù)學學科中的德育教育.

生4：根據(jù)生2的結論，可知點[P]到平面[ACD]的距離是一個定值，且[△ACD]的面積是一個定值，根據(jù)錐體體積計算公式[VP-ACD=13S△ACDh，] 可得三棱錐[P-ACD]的體積為定值[16a3].

師：很好，生4在生2結論的基礎上猜測并證明了三棱錐[P-ACD]的體積是一個定值，體現(xiàn)了生4善于用數(shù)學眼光來觀察圖形，用數(shù)學思維來思考問題，抓住了動態(tài)問題中的不變量，得到了一個一般性的結論. 大家繼續(xù)挖掘，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：連接線段[CP，] 可以求出直線[CP]與平面[ACD]所成角的正弦值范圍（最值）.

師：很好，剛才找的都是定值，生5挖掘出了一個范圍，說一下你的思路.

范圍問題的探究是較高層次數(shù)學直覺思維作用的結果，通過生生互動可以促進學生之間數(shù)學思維的碰撞，激發(fā)學生對學習內容的探究熱情.

生5：如圖2，連接線段[CP，] 根據(jù)生2的結論可知點[P]到平面[ACD]的距離為定值[33a，] 再假設直線[CP]與平面[ACD]所成的角為[θ，] 則[sinθ=hCP.] 因為[h]是一個定值，所以直線[CP]和平面[ACD]所成角的正弦值由線段[CP]的長度來決定. 在等腰直角三角形[CBC]中，[CP]的取值范圍為[22a，a，] 故可以求出直線[CP]與平面[ACD]所成角的正弦值的取值范圍為[33， 63.]

師：很好，生5在生2結論的基礎上猜測并求出了直線[CP]與平面[ACD]所成角的正弦值的范圍（最值）.? 其利用線面角的概念，將線面角正弦值的取值范圍轉化為線段[CP]的取值范圍，并求出了最后答案，體現(xiàn)出生5數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學建模等多個方面的素養(yǎng). 大家已經(jīng)挖掘出了4個結論，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：連接[AP，] 則[AP]與平面[ACD]平行.

師：生6又挖掘出了一個定量問題，請說明其正確性.

生6：如圖3，連接[AB，AC，AP，] 易得[AB∥DC，][AC∥AC.] 根據(jù)面面平行的性質定理，可得平面[ACD∥]平面[ABC.] 因為[AP?]平面[ABC，] 所以[AP]與平面[ACD]平行.

師：非常好，生6利用面面平行的判定定理，得到了[AP]與平面[ACD]平行.

生7：我發(fā)現(xiàn)二面角[P-AD-C]是一個定值.

師：說明其正確性.

生7：如圖4，連接[AP，DP，] 易得[BC∥AD.] 所以點[P]到線段[AD]的距離處處相等， 所以二面角[P-AD-C]的大小不受點[P]位置的影響，是一個定值.

本節(jié)課通過學生的探究實踐，得到了一系列結論，主要用到的知識點歸納如下.

（1）線面平行的判定定理.

（2）三棱錐體積公式和等體積法求點面距離.（這里涉及點到平面距離的轉移.）

（3）空間線面角的求解.

（4）面面平行的判定定理.

（5）空間二面角的求解.

二、基于現(xiàn)象教學的教學反思

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）在基礎知識和基本技能的基礎上增加基本數(shù)學思想方法和基本活動經(jīng)驗，更加關注學生的課堂參與度，強調讓學生親身經(jīng)歷問題的探究過程和知識形成的過程. 現(xiàn)象教學符合《標準》理念，通過讓學生獨立分析呈現(xiàn)的數(shù)學現(xiàn)象，抽象出數(shù)學研究對象并對其進行研究分析，學生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，在問題解決的過程中掌握了數(shù)學概念，提升了在生活和學習中面對實際問題的分析和處理能力，進而實現(xiàn)了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升.

現(xiàn)象教學理念貫穿于本節(jié)課的全過程，其基本教學流程如圖5所示.

首先，學生直觀感知教師所呈現(xiàn)的數(shù)學現(xiàn)象，通過對數(shù)學現(xiàn)象的觀察和分析，憑借數(shù)學直覺做出不同的猜想或判斷. 這其實是第一次數(shù)學抽象的過程，即由數(shù)學現(xiàn)象到數(shù)學問題的抽象. 其次，學生要通過邏輯推理去論證自己的猜想或判斷的正確性. 這是從感性認識到理性認識的過程，也就是現(xiàn)象教學中的現(xiàn)象分析環(huán)節(jié). 學生在論證過程中會不斷調用原有的知識結構，也就是通常說的儲備知識或者基礎，學生原有的知識結構決定了其是否能夠順利完成論證過程. 這個過程是學生知識增長、能力發(fā)展和素養(yǎng)提升的關鍵環(huán)節(jié). 在對猜想或判斷進行正確論證（或者論證其是錯誤的）后，將進入意義生成環(huán)節(jié). 意義生成環(huán)節(jié)是學生實現(xiàn)由感性猜想到理性論證的過程，是一個從模糊到逐漸清晰的認知過程. 在這個過程中，學生將逐步經(jīng)歷獲取新知、發(fā)展能力和提升素養(yǎng)的體驗. 從意義生成的角度來看，每一次學習都是一次創(chuàng)造. 接下來就是規(guī)范表達與知識結構化環(huán)節(jié)，這個環(huán)節(jié)將實現(xiàn)知識的同化和順應，真正促使學生獲取新知、發(fā)展能力和提升素養(yǎng)，這也是實現(xiàn)教學目標的重要節(jié)點. 這個環(huán)節(jié)需要教師很好地發(fā)揮主導作用，既不能包辦，也不能放任. 現(xiàn)象教學的最后一個環(huán)節(jié)就是新知識在具體問題中的應用.

概括地說，現(xiàn)象教學就是要引導學生對具體數(shù)學現(xiàn)象自主進行分析和研究，在分析和研究的過程中學會分析、研究的方法和技能，并運用所學方法和技能去解決新的、陌生的數(shù)學現(xiàn)象. 學生在這個過程中掌握知識、提升技能、發(fā)展素養(yǎng)，同時學會學習.

三、結束語

學習貴在思考，思考貴在有疑惑. 能啟發(fā)學生思考的教學、能調動學生學習的教學才是有效的教學，現(xiàn)象教學能積極調動學生的思考和探究，啟發(fā)學生思維，培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界，在讓學生掌握“四基”的同時提升“四能”，最后形成數(shù)學學科核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]孫四周. 現(xiàn)象教學[M]. 長春：吉林教育出版社，2018.

[2]孫四周. 思維的起源[M]. 北京：中國國際廣播出版社，2019.

[3]祁平. 基于探究的數(shù)學教學的哲學思考[J]. 數(shù)學通報，2014，53（8）：22-28.

[4]弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學[M]. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1999.