浙江省杭州市余杭倉前中學 (311121) 王利慶

近日，筆者聽了杭州市余杭區(qū)八年級兩位老師開設的二節(jié)同課異構公開課，課題為浙教版八年級上《4.3坐標平面內圖形的軸對稱和平移(1)》.本文就兩位老師設計的三個片段談些想法及處理意見.

甲教師片段1：在歸納出直角平面坐標系下任意一個點關于x軸及y軸的對稱點關系后，老師設計了以下一個游戲：先由一位同學任說一個點坐標，再由老師規(guī)定關于哪條坐標軸對稱，最后由知道答案的同學搶答，回答對的同學繼續(xù)上述步驟，大概持續(xù)了2分鐘.

老師設計這一環(huán)節(jié)意圖是提高學生學習積極性，鞏固新知.

課后組織的老師評課中，多位老師對甲老師設計的上述環(huán)節(jié)表示肯定，認為學生參與度高，課堂氣氛活躍，在活動中記住了點關于坐標軸對稱關系，并能熟練運用.這樣設計合理嗎？教材為什么在這里安排直角坐標平面下的平移及軸對稱變換？

教材中滲透了三個重要的數(shù)學思想方法，分別是特殊到一般數(shù)學思想、數(shù)形結合思想及建系解決問題方法.數(shù)形結合思想，是二維背景下有關數(shù)形結合思想方法的起始課.浙教版教材中七年級上第一章的《數(shù)軸》內容，利用絕對值幾何意義解決了形如求x值，求形如多個絕對值之和最值等問題，且這些問題均可利用絕對值幾何意義刻畫解決，其形象、直觀、易懂，符合初一學生認知水平及數(shù)學思維特征.

分析這位老師設計活動目標：通過師生、生生互動，促使學生熟記對稱點與已知點坐標之間關系，并能熟練輸出.學生在回答結果過程中，思維路徑是這樣的：

這是從代數(shù)形式結構向代數(shù)形式結構轉化過程，結果的輸出是建立在熟記對稱的點間的橫縱坐標變化規(guī)律基礎之上.但這個教學環(huán)節(jié)的設計，恰恰忽略了數(shù)形結合思想滲透的基本路徑.學生正確的思維過程應該是這樣的：先判斷它的位置，再找出它的對稱點，然后讀出對應的點坐標.也就是說，學生經歷數(shù)形結合的路徑是：數(shù)(建直角坐標系，找到它的位置)——形(對稱后的位置)——數(shù)(讀出對稱點的位置).經歷這樣解決問題過程中，學生先把數(shù)與其對應的形找到聯(lián)系，然后提煉數(shù)的特征，能降低“數(shù)”的抽象性，增強“數(shù)”的直觀性，減輕學生記憶負荷.并且筆者認為，作為二維背景下蘊含數(shù)形結合思想的起始課，老師有必要讓學生充分感受 “有形助數(shù)出結果”完整的思維軌跡，讓學生有充分的思考時間，不急于求成歸納、提煉，通過類似的教學活動促使學生記憶.這種慢下來經歷數(shù)形結合思想的過程，是一種數(shù)學思想內化為思考方法的路徑之一，同時也為初等函數(shù)性質的研究奠定基礎.

乙教師片段2：探究規(guī)律

探究1：如圖1，作點A關于x軸的對稱點A1，并寫出它們的坐標，再任意找一組關于x軸的對稱點，分別比較兩組對稱點的坐標，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

圖1

發(fā)現(xiàn)：________________.

探究2：如圖1，作點A關于y軸的對稱點A2，并寫出它們的坐標，再任意找一組關于y軸的對稱點，分別比較兩組對稱點的坐標，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

發(fā)現(xiàn)：________________.

坐標系背景下，通過特殊點的位置對稱，歸納這些點的共性，并探究其內在規(guī)律，這個過程體現(xiàn)“特殊到一般”的數(shù)學思想.這是一種化歸思想，為不完全歸納法.初中學習階段，由“特殊到一般”這種方法獲得的結論視為正確與可行的.但是教師在設計教學活動時，要盡可能體現(xiàn)“任意性”，使學生對得出結論的正確性增加“信度”，嘗試慢下來，讓學生充分經歷和體會.

經過研討，大家一致認為可改進設計如下：

問題1：在直角平面坐標系中，任取三個點，寫出它的坐標.

問題2：分別作出它們關于x軸和y軸的對稱點，并寫出對稱點的坐標.

問題3：觀察你所取點與對稱點的坐標，你發(fā)現(xiàn)了什么？小組同學相互交流，并嘗試歸納.

問題1是開放的，學生任意取點，在解決這個問題過程中，思維優(yōu)的孩子取的點會分布在不同象限；問題3小組內交流，互學，學習對象結果樣本也具有任意的.學生通過解決這三個問題，先獨學深入思考，再互學相互比較、促進，最后嘗試歸納特征.創(chuàng)設情境，讓學生慢下來，經歷慢過程，學生可充分體現(xiàn)“任意性”.這個慢經歷，讓學生有深入的思考，思維有充分暴露機會；這個慢經歷，學生在在互學中進一步優(yōu)化自己的思維.經歷慢過程，讓學生對特殊情況得到的結論推廣到一般情況有充分的感悟和認可；經歷慢過程，使學生對得到的結論有深度的信任.

甲教師片段3：一個零件的橫截面如圖2，請完成以下任務：

1.按合適的比例，建立直角坐標系.(圖3中一小格表示1cm).比例尺：________________.

2.寫出輪廓線各個轉折點的坐標.在求這些點的坐標時，你運用了怎樣的坐標變化規(guī)律？

圖2

圖3

3.與你的同伴比較，你們寫出的各轉折點的坐標相同嗎？為什么？

這是教材“合作學習”的內容，這個例題旨在讓學生體會圖形位置可以在直角坐標系下定量研究，體會建立“坐標系”解決問題的方法.這個例題還承載另外一個功能：讓學生比較不同的建系方法，描述圖形位置發(fā)生變化，在這個比較過程中，慢慢積累經驗：怎樣建立直角坐標系最美觀、描述點的位置最方便；建系的時候可以結合圖形自身的對稱性，通過對眾對象比較之后做出判斷，從而建立“建系優(yōu)化思想”.這個優(yōu)化提煉過程，也該慢下來，讓學生充分比較，對“優(yōu)化”有深刻體悟.只有這樣，才能內化為解決問題的活動經驗.同時，教師在教學設計過程中要把這節(jié)課承載的“解析思想”的起始課功能體現(xiàn)出來.

經研討可改進設計如下：

一個零件的橫截面如圖2，請完成以下任務：

問題1：按合適的比例，建立直角坐標系.(圖3中一小格表示1cm)比例尺：.

問題2：寫出輪廓線各個轉折點的坐標.你是怎么思考的？

問題3：你還有其他的建立直角坐標系的方法嗎？嘗試寫出點D，點A的坐標(增加備用圖)

問題4：與同桌交流各轉折點的標，分享建立直角坐標系的經驗.

改進設計后，以“問題鏈”形式呈現(xiàn)，可引導學生層層深入思考，尤其是第3問的設計，讓學生感受到結論具有多樣性，通過這三個問題的解決，對建系過程中的“優(yōu)化”思考就更顯得水到渠成.事實上，問題與問題之間的跨度為學生的多樣思維與探索提供可能；同時為學生的數(shù)學思考提供隱形的脈絡，把學生的思考逐漸引向深入，從而獲得較高認知的數(shù)學水平.