福建省福清第三中學高二6班 (350315) 魏佳雪 何 燈(指導教師)
2021年10月初,我校高二年進行了第一次的月考,數(shù)學單選的壓軸題是一道空間線面成角余弦值的取值范圍求解問題.在評講試卷的時候,老師利用建系給出了該問題的一個解法,本人覺得老師的解法雖然常規(guī),但是運算量較大,事實上,利用圖形之間存在的相關(guān)關(guān)聯(lián),不需要太繁雜的計算,就能求解出該題.下面展示試題及其兩個解法.
試題已知E、F、O分別是正方形ABCD邊BC、AD及對角線AC的中點,將三角形ACD沿著AC進行翻折構(gòu)成三棱錐,則在翻折過程中,直線EF與平面BOD所成角的余弦值的取值范圍為( ).
圖1
解法一(老師的解法):由于OC⊥OB,OC⊥OD,且OB∩OD=O,所以O(shè)C⊥平面BOD,所以平面ABC⊥平面BOD.在平面BOD內(nèi)過O點作l⊥OB,因為平面ABC⊥平面BOD,且平面ABC∩平面BOD=OB,所以l⊥平面ABC.
解法二(本人的解法):如圖2所示,分別取AD、AO、AB中點H、M、G,連接FH、FM、FG、HG、GE.由于HG//BO,所以HG//平面BOD,同理可證FG//平面BOD,又HG∩FG=G,所以平面GHF//平面BOD,則直線EF與平面GHF所成的角等于為直線EF與平面BOD所成的角.因為OC⊥OB,OC⊥OD,且OB∩OD=O,所以O(shè)C⊥平面BOD,又平面GHF//平面BOD,所以O(shè)C⊥平面GHF,再結(jié)合GE//OC可得GE⊥平面GHF,所以∠EFG為直線EF與平面GHF所成的角.
圖2
解題感悟:王安石在《游褒禪山記》中有這樣的感悟:“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?,非常之觀,常在于險遠,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.對于我們的解題而言,在正確求解的前提下,如能勤反思、善總結(jié),往往能夠獲得“非常之觀”,從而有利于我們水平的提升.
指導教師點評:魏佳雪同學的解法較常規(guī)解法(建系)來說,思維量較大,需要構(gòu)造5條輔助線,但正因為她多想了一步,對題中的圖形與數(shù)量關(guān)系進行了充分的理解,所以避免了繁雜的計算,簡化了整個問題求解過程.
在教學過程中,教師可以嘗試通過具體的問題情境,讓學生充分經(jīng)歷問題的感知、表征、結(jié)構(gòu)分析、尋找策略、形成計劃、實施計劃等認知活動和反思總結(jié)等元認知活動,在活動中明晰算理、拓展思維、積累經(jīng)驗、培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng).